RELATIVIDAD DE VELOCIDADES RECTILÍNEAS Y UNIFORMES PARA
OBSERVADORES EN REPOSO O NO ACELERADOS
En la realidad cotidiana no tenemos problemas
para determinar la velocidad que lleva un objeto con respecto a nosotros
(tomando nuestro sistema de referencia como reposo absoluto). Ésta vendría
definida por la relación que existe entre la distancia y el tiempo, v=s/t. Es
posible medir el tiempo que emplea un objeto, que pasa por delante de nosotros,
en hacer una distancia concreta. La división de ambas nos daría la velocidad
media del objeto en ese intervalo de tiempo y en esa distancia concreta. Esto es
posible a velocidades muy pequeñas con respecto a la velocidad de la luz (c).
Pero, ¿qué ocurre a velocidades más cercanas a la de la luz? Veámoslo
con un experimento imaginario. Supongamos que un objeto lleva la velocidad de la
luz. Al mismo tiempo imaginemos que tenemos delante de nosotros un muro de
piedra con dos únicos agujeros por los que podemos ver el otro lado (ver Fig.1).Supongamos que el objeto traza una trayectoria rectilínea y que pasa por
los puntos A y B, que serían los puntos en los que el observador vería el
objeto. Supongamos también que la distancia existente entre A y B, sea l, y la
distancia entre A y O (el observador) son iguales, mientras que la distancia
entre B y O es de l/4.
Con estos datos imaginemos que nos encontramos en el lugar de O y que
queremos medir la velocidad media del objeto entre A y B (por eso sólo vemos al
objeto en dos puntos). Para que nosotros veamos el objeto en A, la luz reflejada
en el objeto para que nosotros podamos verlo ha tenido que llegar a nosotros.
Pero como el objeto está en movimiento avanzará la misma distancia que
necesita la luz para que la veamos, dado que la velocidad del objeto también es
c. Es decir, que cuando nosotros veamos el objeto en A, la luz habrá recorrido
la distancia AO=l y el objeto habrá recorrido la misma distancia l de modo que
se encontrará en B. Resumiendo: vemos el objeto en A y se encuentra en B.
En cuanto vemos pasar el objeto por A nos giramos instantáneamente para
poder verlo en B. Como el objeto se encuentra en B la luz que nos mostrará el
objeto recorrerá la distancia BO=l/4. Si la distancia lla recorren tanto la luz como el objeto en un tiempo t, la distancia l/4
la hará la luz en t/4.
Analicemos entonces y determinemos desde nuestro punto de vista en reposo
o no-acelerado la velocidad del objeto. Para nosotros desde que vemos el objeto
en A hasta que lo vemos en B pasan t/4. Como sabemos que la distancia es l,
porque la podemos medir, calculemos la velocidad: v=s/t=l/(t/4)=4l/t pero como
c=l/t, entonces v=4c. La velocidad media del objeto, desde nuestro punto de
vista, en ese intervalo es 4 veces mayor que la velocidad de la luz, cosa que
difiere de la base en la que la velocidad de la luz es límite para cualquier
objeto en cualquier sistema de referencia y en cualquier medio.
Símbolos
Antes de comenzar con el cálculo de la velocidad en un modo continuo (y no
simplemente la velocidad media) adjunto aquí una lista de símbolos con su
significado para facilitar el correcto seguimiento de las operaciones:
-v:
velocidad teórica del objeto
-drc:
distancia diferencial que realiza la luz
-drv:
distancia diferencial que realiza el objeto
-dt:
tiempo requerido por la luz para desplazarse drc o por el objeto en
desplazarse drv
-r:
distancia entre el objeto y el observador en un instante t
-r’:
distancia entre el objeto y el observador dt o drv posterior a t
-ti:
tiempo que tarda la luz en llegar al observador desde el primer punto, teniendo en cuenta que el objeto
le “come” terreno a la luz
-tf:
tiempo que tarda la luz en llegar al observador desde el segundo punto
-dt’:
tiempo que transcurre entre que vemos el objeto en el primer punto hasta que lo vemos en el
punto dt o drv posterior (tf-ti)
-v’:
velocidad del objeto
observada
-c:
velocidad de la luz
-l:
distancia entre el segundo punto y el punto de la trayectoria más cercano al
observador
-d:
distancia mínima entre el observador y la trayectoria del objeto
Cálculo de la
velocidad de forma continua
Vamos a calcular ahora como afecta esto a la velocidad observada desde un
sistema de referencia en reposo pero ya no calculando la velocidad media sino la
velocidad en cada instante: v’=drv/dt’ donde drv será
la distanciaque recorre el objeto
en el intervalo dt’ y éste será calculado por la resta del tiempo de r’ y
de r, es decir, la diferencia de tiempo que hay desde que se ve el objeto en el
primer punto hasta que se ve en el punto drv posterior (ver Fig.2).
Cuando
vemos el objeto en el segundo punto, drv posterior, habrá
transcurrido el tiempo dt y la luz habrá recorrido drc. Es decir, la
diferencia de tiempo que hay desde cada vez que vemos el objeto será la resta
entre el tiempo final e inicial. El tiempo final será tf=r’/c y el
tiempo inicial será ti=(r-drc)/c dado que la luz habrá
avanzado drc en el tiempo dt que es lo que tarda el objeto en llegar
al segundo punto. En este instante a la luz le quedahasta nosotros r-drc desde el primer punto y r’ desde el
segundo. Con lo cual la diferencia de tiempos será:
es decir que la velocidadestará definida por: &nb
Como
calcular la distancia existente entre el objeto y nuestro sistema de referencia
(O) puede resultar incómodo se puede expresar esa misma fórmula en función de la
distancia más corta entre la trayectoria del objeto y O (d siempre igual) y la distancia entre el objeto y el punto de la
trayectoria más cercano a nosotros (l) del modo siguiente:
Sustituyendo
esto en la ecuación anterior nos queda de la siguiente manera:
O
si se prefiere dejar en función de dt en vez de drv y drc:
Conclusiones
Una
de las conclusiones que queda clara es que si la velocidad del objeto v es
v<<c, v’ será igual que v dado que (l2+d2)1/2
– ((l+vdt)2 + d2)1/2 será mucho más
pequeño que cdt, quedando en la ecuación v’= cvdt/cdt = v.
Al
leer que la velocidad observada puede ser mayor que la velocidad de la luz podría
surgir el siguiente razonamiento: “pero como un objeto no puede alcanzar nunca
la velocidad de la luz este experimento no es válido”. Lo que ocurre es que
aunque el objeto lleve una velocidad menor que c, el efecto se seguirá
produciendo porque el objeto siempre avanzará mientras la luz hace su
recorrido. Cuanto mayor sea la velocidad del objeto más se notará esta
diferencia y por el contrario cuanto más se acerque esa a velocidades
cotidianas (v<<c) menos se notará este efecto.
Otro razonamiento que podría
surgir sería que la velocidad que nosotros vemos no es la real. Pero, ¿quién
es capaz de determinar cuál es la velocidad real de un objeto? Como escribe Stephen W.
Hawking en “Historia del tiempo”: “Ninguna medida de cualquier
observador particular es más correcta que la de cualquier otro observador, sino
que todas son equivalentes y además están relacionadas entre sí”, y
esta relación es la descrita en el punto anterior. La velocidad real se podría
definir si la luz llegara de forma instantánea hasta nosotros cosa que no
ocurre. Parece que esto ocurre cuando la velocidad del objeto es mucho menor comparada
con la velocidad de la luz, tal y como estamos acostumbrados habitualmente. La
velocidad es la que cada uno percibe desde su sistema de referencia.
Por otro lado queda claro que en la velocidad que lleva un objeto y que
es medida por un observador, influye el sentido que lleva dicho objeto dado que
al acercarse se apreciará una velocidad mayor que la “real” y al alejarse
ésta será menor. De la misma manera la velocidad del objeto disminuirá
mientras se acerca a nosotros y seguirá disminuyendo cuando se aleje de
nosotros, siendo la velocidad que observamos en el punto más cercano a nosotros
de la trayectoria del objeto, la velocidad que más se asemeja a la velocidad
teórica del objeto. En la siguiente gráfica está calculada la velocidad
para los siguientes valores dentro de la formula extraída en el apartado
anterior: d=200.000km, l es la medida del eje OX, drv y drc son
iguales (es decir que v=c) y valen 0,1, en el eje OY aparece la velocidad y dt
vale 0,1.
Se aprecia
como la velocidad es mayor cuanto más alejado esté el objeto de nosotros y
cuando el objeto esta delante de nosotros, l=0, la velocidad del objeto es
V=3,07(100.000km/s) prácticamente la velocidad de la luz. Luego seguirá disminuyendo pero
cada vez menos. La explicación de que la velocidad en el punto más cercano a
nosotros es la que más se asemeja a la teórica es por un efecto parecido a la
simultaneidad de sucesos de A. Einstein. Cuando nos encontremos en una situación
simétrica perpendicular a la trayectoria con respecto a los dos puntos entre
los que medimos la velocidad, la velocidad que midamos será la teórica porque
r y r' serán iguales con lo cual r'/c - (r-drc)/c será drc/c=dt.
Así pues v'= drv/dt = v. Por eso aunque en el punto 0 de la gráfica
no nos encontremos en una posición del todo simétrica es prácticamente
simétrica y la velocidad resulta ser 3,07(100.000km/s).
Esta variación de la velocidad no sólo se
apreciará con nuestros sentidos sino que se puede apreciar con aparatos que
reciban señales luminosas o electromagnéticas, tales como radares. Así que
podría demostrarse con un aparato lo suficientemente preciso.
En definitiva, "la velocidad de un objeto depende de
la dirección y sentido que tenga éste con respecto al observador así como de
la distancia al observador".
Agradeceré cualquier tipo de comentario al respecto.
Pero, ¿qué ocurre a velocidades más cercanas a la de la luz? Veámoslo
con un experimento imaginario. Supongamos que un objeto lleva la velocidad de la
luz. Al mismo tiempo imaginemos que tenemos delante de nosotros un muro de
piedra con dos únicos agujeros por los que podemos ver el otro lado (ver Fig.1).
Supongamos que el objeto traza una trayectoria rectilínea y que pasa por
los puntos A y B, que serían los puntos en los que el observador vería el
objeto. Supongamos también que la distancia existente entre A y B, sea l, y la
distancia entre A y O (el observador) son iguales, mientras que la distancia
entre B y O es de l/4. 
