La Verdadera Paradoja de los Gemelos.
(Primera
redacción: 27 de noviembre de 1999
Última
modificación: 16 de septiembre de 2001.)
Como comenté en la página principal, en los desarrollos que siguen doy por sentado que el lector está familiarizado con la paradoja de los gemelos de la relatividad especial de Einstein. La función de esta página es la de agregar algunos puntos de vista propios.
Los físicos que trabajan en las áreas principales de investigación suelen considerar esta paradoja como un mero entretenimiento o incluso niegan la existencia de una paradoja. La razón principal de restar valor a esta paradoja es la de que involucra aceleraciones entre los sistemas inerciales y, por lo tanto, se escapa del campo de validez de la relatividad especial. Sin embargo existen fuertes razones para considerar con seriedad la paradoja de los gemelos dentro de la estructura lógica de la relatividad especial de Einstein. Entre otras razones puede citarse:
La paradoja de los gemelos es un resultado del postulado de la constancia de la velocidad de la luz.
En la "explicación" o "resolución" clásica se arguye que los gemelos se diferencian (son no-equivalentes) porque uno de ellos fue sometido a aceleraciones y el otro no. Bien trataré de mostrar dos análisis diferentes de por qué esta explicación no es satisfactoria.
Primer análisis
Esta paradoja puede plantearse de diferentes formas que no pueden “justificarse”.
Ejemplo 1: Los dos gemelos usan naves idénticas que parten en sentidos opuestos y se someten a las mismas aceleraciones y los dos dan la vuelta a un tiempo prefijado (usando relojes que eran idénticos en reposo). En este caso cuando se enfrentan, cuál es el mas joven?. Durante todo el trayecto cada uno "vio" que los relojes del otro atrasaban, pero cuando se enfrentan (los dos en reposo) los dos no pueden seguir sosteniendo que el otro es más joven.
Ejemplo 2: Una variante muy simple del caso anterior. Se comprobó el atraso de los relojes en movimiento mediante relojes en orbita, con respecto a relojes fijos a la tierra. OK. Pero que pasa si se ponen en orbita dos astronautas con relojes idénticos, empleando órbitas con giros opuestos alrededor de la tierra (por todo lo demás las orbitas serían idénticas). Bien, los dos relojes deben atrasar con respecto al reloj estacionario. Y deben atrasar lo mismo porque el fenómeno no puede depender de si el giro es en el sentido de las agujas del reloj o el contrario. Sin embargo, de acuerdo a la relatividad especial uno debe atrasar con respecto al otro debido a la traslación relativa. Einstein mismo aceptó durante el desarrollo de la teoría general, que, en primera aproximación la relatividad especial trabaja en sistemas sometidos a campos gravitatorios leves. De todos modos el problema es solo cualitativo. Los dos relojes están sometidos al mismo movimiento, pero se desplazan entre si. Según la RE cada uno debería observar que el otro atrasa. Pregunta: qué pasa cuando, completando cada giro, se enfrentan?. En ese caso la lectura de los relojes se hace en forma simultánea (a través de las escotillas enfrentadas). Y no es posible que cada uno observe que las lecturas del otro están atrasadas con respecto a las propias, pues ambos relojes coinciden en espacio y tiempo.
Resumiendo: Cada reloj debe atrasar con respecto al otro pues no hay gemelo "preferencial". Y sin embargo la lectura directa impide que ambos vean simultáneamente que el reloj del otro atrasa.
Consecuencia: !Paradoja!.
Por supuesto que esto puede plantearse en orbita alrededor de la Via Lactea o con respecto al cúmulo de virgo. Personalmente no le veo salida a la contradicción.
Segundo análisis
Supongamos que la explicación clásica es correcta. Eso significa que si uno de los sistemas sufre aceleraciones diferentes al otro, se rompe la equivalencia entre sistemas en movimiento lineal relativo uniforme. En ese caso tambalea todo el edificio de la Relatividad. Porque la pregunta pasa a ser la siguiente: Cuando dos sistemas se están moviendo uno con respecto al otro, esa traslación no es el resultado de aceleraciones diferentes sufridas en algún momento de la historia previa de ambos sistemas?. A modo de ejemplo, las teorías cosmológicas aceptadas actualmente (Big-Bang-Inflación, etc) suponen que la expansión era uniforme al comienzo de la historia del cosmos. Para que dos sistemas se crucen en sus trayectorias actuales, tienen que haber sufrido cambios de velocidad en el pasado.
Y no puedo creer que la paradoja de los gemelos se resuelve sólo porque conozco cuales fueron las aceleraciones previas. Debo entender que quienes adhieren a la explicación clásica aceptan que el sistema que no sufrió aceleraciones es un sistema privilegiado. Y en ese caso, dicho razonamiento nos llevaría a creer que existen sistemas privilegiados en el Universo: Aquellos que no sufrieron aceleraciones desde la creación del mismo!. Y no habría sistemas equivalentes puesto que cada uno sufrió cambios diferentes en la historia de velocidades.
Observación:
La primera referencia a lo que actualmente se conoce como paradoja de los gemelos la realizó Einstein en su artículo de 1905. Es muy ilustrativo analizar su propia explicación al respecto. En ese caso Einstein detalló una experiencia (sólo imaginable en ese momento) de sistemas en movimiento relativo, empleando términos como los siguientes:
"...
A partir de esto se obtiene la siguiente llamativa consecuencia. Si en los puntos A y B del sistema rígido K hay relojes estacionarios que son sincrónicos de acuerdo con las observaciones realizadas en el mismo sistema estacionario K, y si el reloj de A se mueve con la velocidad v hacia B, entonces, a su arribo a B los dos relojes dejarán de ser sincrónicos. El reloj trasladado desde A hasta B atrasará con respecto al reloj que permaneció estacionario en B de acuerdo con la magnitud:
1 t v2
----------
2 c2
siendo t el tiempo involucrado en el traslado.
Parece razonable que este resultado es igualmente válido si el traslado de A hacia B procede a través de una poligonal, e incluso si los puntos A y B son coincidentes (salida desde A, recorrido de una poligonal y retorno al mismo punto).
Si asumimos que el resultado probado para una poligonal es también válido para una línea curva continua, obtenemos el siguiente resultado: Si uno de los dos relojes sincrónicos de A se mueve en una curva cerrada con velocidad constante hasta que retorna a A, y el viaje consume t segundos, de acuerdo con las indicaciones del reloj que permaneció en reposo, el reloj viajero atrasará
1 t v2
----------
2 c2
en el momento de su retorno al punto de partida.
De esta forma concluimos que un reloj en el Ecuador debe marchar más lentamente (por una muy pequeña cantidad) que un reloj similar situado en un polo, si todo el resto de las condiciones son idénticas.
...."
Para pensar, verdad?. En 1905 no había relojes que permitieran esa comparación y era impensable hablar de relojes en órbita. Pero esa experiencia fue hecha realmente y los resultados hasta donde he recibido información resultaron polémicos (se obtuvieron cosas diferentes en vuelos hacia el Este que hacia el Oeste).
De todos modos esto nos lleva a mi primer análisis. Si con giros Este-Oeste y Oeste-Este, se obtuviera el mismo atraso con respecto al reloj estacionario, cómo es posible que no haya atrasos entre sí para los dos relojes que estaban en movimiento relativo (y al doble de velocidad relativa por girar en sentido opuesto)?.
Conclusiones principales de esta página:
Nota
Si después de analizar en detalle el contenido de esta página, su punto de vista es algo así como: "De acuerdo, no puedo encontrar la manera de justificar la resolución de la paradoja de los gemelos planteada en estos términos, pero eso no significa nada puesto que los resultados experimentales demuestran la validez de la RE", eso significa que usted todavía cree que el efecto demuestra la causa. En otras palabras, si el acontecimiento A implica que se obtenga el resultado B, como B realmente sucede, está demostrado que A ocurrió. En términos divertidos, usted estaría de acuerdo con el científico que concluyó que "La araña sin patas es sorda", cuando después de cortarle la octava pata dejo de responder a los estímulos auditivos. Muchísimas causas (o teorías) pueden conducir al mismo efecto (fórmulas para describir el mundo físico).
Tenía intención de reformular esta página, pues en base a los comentarios recibidos, supuse que había cosas que no estaban suficientemente bien documentadas. Debo aclarar que soy reacio a releer las cosas que escribo al poco tiempo de haberlo hecho. En general me siento, escribo algo (sin mucho libreto previo) y lo reviso varios meses después. En esas condiciones muchas veces tengo la sensación de estar leyendo cosas escritas por otra persona (con la que básicamente coincido en las apreciaciones) y me sorprendo de haber realizado comentarios que no tengo idea de dónde los saqué (es una experiencia entretenida).
Bien, luego de releer esta página, no puedo menos que coincidir cien por ciento con el autor, de modo que decidí no cambiarla, pero sí agregar un comentario:
Estaba cursando el quinto año de la escuela primaria (sexto del EGB como se llama ahora) cuando la maestra (maravillosa "señorita" Rita) nos pidió que definiéramos un triángulo con nuestras propias palabras. El resultado fue sorprendente y divertido. Luego de intentar algo así como "es una figura triangular" y otras variantes poéticas, al cuarto o quinto intento, alguien (María Eugenia?) llegó a aproximarse a una definición razonable diciendo "es una figura con tres líneas rectas que se cortan". La "malvada" señorita dibujó las tres líneas cortándose en un solo punto. Cumplía con la definición pero no era un triángulo. Pero estábamos acercándonos a una definición correcta y éramos varios los que desesperadamente levantábamos la mano para dar la respuesta que creíamos irrebatible.
Nos quedamos con la mano levantada, pues la señorita, viendo que estábamos llegando, decidió darnos la respuesta. Sólo para completar la historia, si mal no recuerdo, lo que dijo fue: "es el espacio (o la figura) geométrico delimitado por tres líneas rectas que se cruzan de a pares".
OK, la definición oficial resultó irrefutable. No había manera de hacer una figura que cumpliera con la definición y que no fuera un triángulo.
El objetivo del ejercicio era doble. Estábamos por empezar a trabajar en el mundo de los triángulos y necesitábamos una definición adecuada. Y además nos enseñó la importancia de las definiciones correctas y no ambiguas o falsas. Pero también nos enseñó (sin quererlo) que la autoridad (ella) podía fijar el límite de lo que quería que descubriéramos con nuestras propias deducciones y tanteos. La autoridad podía quedar mal parada si los alumnos llegábamos a la conclusión correcta sin su ayuda. Y, por favor, no estoy criticando la manera de llevar la clase. Al contrario, al menos en mi caso logró sobradamente el objetivo que se había fijado. Sólo quiero resaltar que el que está al frente de la enseñanza está al control de las variables del aprendizaje.
Y volviendo a la paradoja de los gemelos. No hay curso de relatividad donde no se discuta esta paradoja. Imposible no hacerlo. Si hasta el mismo Einstein la introdujo en su trabajo de 1905 para ejemplificar las consecuencias de su teoría. Pero cuando las papas queman y los alumnos empiezan a encontrar fallas en la respuesta oficial, todos los profesores hacen lo mismo: Dicen algo así como: "Bueno, en realidad, esta paradoja se resuelve con la relatividad general (y por lo tanto no es una paradoja), pero esa es una teoría mucho más complicada. Y la relatividad especial no es adecuada para resolver problemas con aceleraciones". Y punto. Todos nos quedamos con la mano levantada esperando una aclaración mejor. La gran mayoría nunca toma un curso de relatividad general. Y los que lo toman suelen estar más preocupados por las ecuaciones que por los conceptos, de modo que la paradoja de los gemelos es un tema siempre pendiente.
Y recurrir a que la relatividad especial no contempla aceleraciones es una falacia grosera (conciente o inconciente) pues se la declara perfectamente apta para estudiar aceleradores de partículas, donde sus respuestas son impecables.
Y en la versión que planteo con dos observadores en órbitas idénticas pero con giros opuestos cualquier efecto de aceleraciones previas debe ser idéntico (de otro modo las órbitas no serían las mismas) y la gravedad es constante y exactamente la misma sobre ambos observadores. Por lo tanto los efectos de las velocidades relativas entran dentro del campo de la relatividad especial (es sólo cuestión de hacer el desarrollo de Einstein de simultaneidad y sincronismo para este caso). Y la respuesta es incongruente (los dos relojes no pueden atrasar uno con respecto al otro pues, cuando se cruzan, ambos observadores pueden ver (a través de las escotillas) ambos relojes simultáneamente (en el mismo punto del espacio).
Y la conclusión es simple: Un planteo que conduce a una paradoja real (no aparente) debe tener algún fallo.
NOTA: Con respecto a la aplicabilidad de la RE a sistemas no inerciales quizás sea adecuado citar algunos párrafos escritos por Millikan (experimentador y teórico notable, entre cuyos logros figura la determinación de la carga del electrón) en su libro "Electrones, Protones, Fotones, Neutrones y Rayos Cósmicos" escrito a mediados de los años 30 y publicado en español por Espasa-Calpe Argentina en varias ediciones desde 1944).
Haciendo referencia a la explicación de la estructura fina de los espectros, justificada por la corrección relativista de las supuestas órbitas elípticas de los electrones (propuesta por Sommerfeld), dice:
....
El procedimiento teórico adoptado aquí es, en parte, el mismo que empleó Einstein para explicar la precesión en el perihelio de Mercurio, o sea es otro ejemplo de la aplicación de las leyes de la mecánica celeste al dominio de la mecánica atómica. La predicción cuantitativa, sin embargo, de la precesión del perihelio de Mercurio involucra la teoría General de la Relatividad en tanto que la predicción mencionada sólo está relacionada con la relatividad Especial, dado que la fuerza gravitatoria entre el núcleo y el electrón es prácticamente nula. Esta interpretación relativista de Sommerfeld, de la estructura fina introdujo nuevas posibilidades para la predicción espectroscópica, que tuvieron un éxito extraordinario entre 1919 y 1924 (período en el que se hicieron avances maravillosos en el desarrollo de la teoría atómica).
....
Y más adelante, luego de desarrollar los detalles de la aplicación dice (en texto resaltado):
....
Ninguna fórmula teórica de la historia de la física ha alcanzado triunfos más sensacionales que la fórmula de la relatividad de Sommerfeld en su aplicación a la estructura fina espectroscópica.
....
Y, entonces.... ¿Dónde queda la no aplicabilidad de la RE a sistemas acelerados no gravitatorios?.