UNIVERSIDAD YACAMBU

Licenciatura Virtual en Contaduría Pública.

Prof. Sandi Quintero.

Participante: Nelson Torcate Méndez

Trabajo Nº 3: Estadística Inferencial

Nociones Fundamentales de Probabilidad.

 

INTRODUCCIÓN:

Se presenta el presente trabajo como requisito de la asignatura Estadística Inferencial, con la finalidad adquirir los conocimientos que permitirán conformar la base estadística para predecir eventos futuros, para lo cual se debe estudiar situaciones actuales aplicando  métodos, herramientas y técnicas estadísticas para analizar información, de un volumen importante de datos, de interés, para la Gerencia Estratégica de las organizaciones. Este trabajo se estructuro en 17 a saber: Probabilidad y Experimento Aleatorio, Espacio muestral y eventos, Probabilidad de ocurrencia de un evento, Definición axiomática de Probabilidad, Teorema básicos de Probabilidad, Probabilidad en espacios muéstrales finitos, Métodos de Conteo y Regla de multiplicación, Permutaciones, Combinaciones, Muestreo y Muestras, Sucesos Dependientes e Independientes, Probabilidad Condicional, Sucesos Mutuamente Excluyentes, Distribución de Probabilidad, Distribución Normal. Tabla de Distribución, Distribución Binomial y Distribución Poisson

 

RESUMEN:

El trabajo de investigación presenta en forma muy sucinta los principales conceptos sobre probabilidad entendiéndose a esta como: la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un gran número de veces. Esto se denomina estabilidad de las frecuencias relativas, o ley de los grandes números. Igualmente nos paseamos por los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral al que entendemos como: al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Se revisan los teoremas básicos de la probabilidad los cuales son: El Teorema de la suma, el teorema de la multiplicación y el teorema de Bayes. Se realiza un revisión a los principios y técnicas de conteo resaltando la Permutación y la Combinación, a esta revisión hay que agregarle la revisión de los conceptos de muestreo, muestra y todos los demás conceptos asociados.

Para finalizar el trabajo se conceptualiza distribución de probabilidades y se resaltan las definiciones de las distribuciones: Normal, Binomial y Poisson.

 

DESARROLLO:

1.- Probabilidad y Experimento Aleatorio.

Concepto de Probabilidad.

La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un gran número de veces. Esto se denomina estabilidad de las frecuencias relativas

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

 • Al suceso imposible le corresponde el valor 0

• Al suceso seguro le corresponde el valor 1

• El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1

Experimento Aleatorio.

Es aquel cuyos posibles resultados se conocen, pero en el que es imposible saber previamente cual será el resultado en una determinada experiencia.

Características de un experimento aleatorio:

1.      Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las condiciones.

2.      Aunque en general no podemos especificar cual será el resultado particular, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

3.      Cuando el experimento se repite un gran número de veces, aparece un patrón definido o regularidad. Esta regularidad hace posible la construcción de un modelo preciso con el cual podemos analizar el experimento.

2.- Espacio muestral y eventos.

Espacio muestral:

Para cada experimento E definimos el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de E. Usualmente se designa este conjunto como S.

El espacio muestral, de acuerdo con el número de resultados posibles, puede ser: finito, infinito numerable, infinito no numerable.

Eventos:

Un evento A (respecto a un espacio muestral particular S asociado a un experimento E) es simplemente un conjunto de resultados posibles. En terminología de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral S. Esto implica que S también es un evento así como lo es el conjunto vacío. Cualquier resultado individual también puede considerarse como un evento.

Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1.      Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2.      Obtener un número primo y par B = {2}

3.      Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos Complementarios: Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no están en este evento. Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: A^c = B y B^c = A

Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.

Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.

Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral.

3.- Probabilidad de ocurrencia de un evento:

Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral E está formado por un número n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir {e1, e2,..., en}

Si n1 resultados constituyen el subconjunto o suceso A1, n2 resultados constituyen el subconjunto o suceso A2 y, en general, nk resultados constituyen el subconjunto o suceso Ak de tal forma que:

Es decir, que la probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables que integran el suceso A Regla de Laplace para E finitos y el número de casos posibles del espacio muestral E.

Para que se pueda aplicar la regla de Laplace es necesario que todos los sucesos elementales sean equiprobables, es decir:

Siendo A= La probabilidad verifica las siguientes condiciones:

• La probabilidad de cualquier suceso es siempre un número no negativo entre 0 y 1

• La probabilidad del suceso seguro E vale 1

• La probabilidad del suceso imposible es 0

• La probabilidad de la unión de varios sucesos incompatibles o excluyentes A1, A1,..., Ar es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos

Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso

La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej: En un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del proceso de fabricación

Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de probabilidad

4.- Definición axiomática de Probabilidad:

La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general

5.- Teoremas básicos de Probabilidad:

Los tres teoremas básicos que hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy fueron los teoremas de la suma, de la multiplicación y de la probabilidad total. Aunque ni Fermat ni Pascal no Huygens los idearon, en sus escritos aparecen ya de una forma implícita y utilizada correctamente.

Teorema de la Suma.

Pascal dio a entender implícitamente que sabia como calcular los casos favorables de un suceso A si conocía los casos favorables de unos Aj disjuntos cuya unión es A (es decir, si los Aj son una partición de A). Jakob Bernoulli también fue consciente de ello, y fue más allá al darse cuenta de que la probabilidad de la unión no es la suma de las probabilidades si los sucesos no son disjuntos, aunque no supo dar la razón. Previamente, Cardano había expresado un resultado similar en términos de casos en vez de probabilidades. No fue ninguno de ellos quien formulo finalmente el teorema de la suma de las probabilidades, sino el reverendo ingles Thomas Bayes (1702.1761), cuyo trabajo fue leído póstumamente, en 1763. En esta obra, Bayes da la primera definición explicita de sucesos disjuntos él los llamo “inconsistentes” y enuncio la formula ahora conocida:

P {AUB}  = P {A}  + P {B} -  P {A∩ B}

Teorema de la Multiplicación.

Del mismo modo, el teorema de la multiplicación de probabilidades era conocido por casi todos los estudiosos a través de cálculos particulares. Sin embargo, fue Abraham De Moivre (1667.1754) el primero que los enuncio con autoridad. En la introducción a su obra Doctrina de las Posibilidades de 1711, De Moivre presento el importante concepto de independencia de sucesos aleatorios; así, escribió:

“Diremos que dos sucesos son independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relación con el otro”

Y procedió a definir los sucesos dependientes:

“Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos influye en la probabilidad de ocurrencia del otro”. Una vez hecho esto, De Moivre lo aplico al cálculo de probabilidades:

“La probabilidad de ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos dividida por la probabilidad de que el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. Esta regla puede generalizarse para varios sucesos”.

El caso de varios sucesos lo describía así:

“Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo, y así. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demás; el segundo debe considerarse con la condición de que el primero ha ocurrido: el tercero con la condición de que tanto el primero como el segundo han ocurrido, y así. De aquí, la probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las probabilidades”.

O en notación moderna:

P {A₁ ∩ A_2… A_n} = P {A₁} * P {A₂ | A₁}. P {A₃ | A₁ ∩ A₂}…*  P {A_n | A₁ ∩… A_n-1}

De Moivre acompaño sus afirmaciones con ejemplos resueltos. También fue consciente de que lo verdaderamente difícil de este teorema es descubrir cuando dos sucesos son o no independientes.

Teorema de Bayes:

El trabajo de De Moivre obtuvo una gran difusión, así que el merito de Bayes no fue tanto la originalidad sino expresar la probabilidad condicional en función de la probabilidad de la intersección:

P {A | B} = P {A∩ B} / P {B}

Además, el honor del teorema que lleva su nombre no es completamente suyo, ya que el no estaba en condiciones de formular con probabilidades totales. Fue Pierre.Simon Laplace (1749.1827) quien desarrollo la mayor parte del teorema de Bayes en su Experiencia en la Filosofía de la Teoría de la Probabilidad (1812).

Sea A un suceso que ocurre en conjunción con uno y solo uno de los n sucesos disjuntos B₁… B_n. Si se sabe que el suceso A ha ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad de que el suceso Bj también? Laplace respondió de la siguiente manera:

“La probabilidad de existencia de una de esas causas es igual a una fracción con un numerador igual a la probabilidad del suceso que se sigue de esta causa y un denominador que es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las posibles causas. Si estas diferentes causas a priori no son equiprobables, entonces en lugar de tomar la probabilidad del evento que sigue a cada causa, se toma el producto de esta probabilidad veces la probabilidad de la causa”.

 Esta enrevesada receta puede escribir en notación moderna:

P {B_i | A} = P {Bi} * P {A | Bi} / ∑^∞_i=1 P {A | B¡} * P{B¡}

Laplace aplico el teorema a problemas de la mecánica celeste, la estadística medica e, incluso, a la jurisprudencia. Al igual que los otros dos teoremas, el Teorema de Bayes ya se usaba anteriormente, aunque nunca había sido formulado.

6.- Probabilidad en espacios muéstrales finitos:

Un espacio muestral finito S: Es equiprobable si todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrencia.

La condición de equiprobabilidad debe justificarse cuidadosamente.

Ejemplos.

1) Sea E: lanzamiento de un dado simétrico y S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces S es un espacio equiprobable.

2) Sea E: lanzamiento de una moneda equilibrada y S= {c, s} entonces S es un espacio equiprobable.

3) Sea E: dos lanzamientos de una moneda y S = {(c, c),(c, s), (s, c) , (s, s)} , entonces s es un espacio equiprobable.

4) Sea E: dos lanzamientos de una moneda y S = {0, 1, 2} donde 0, 1 y 2 indican el número de caras obtenidas, entonces S no es un espacio equiprobable, pues

{O} es equivalente a {(s, s)}

{1} es equivalente a {(c, s), (s, c)}

{2} es equivalente a {(c, c)}

Asignación de probabilidad en espacios finitos equiprobables: Si todos los resultados de un experimento son igualmente posibles (equiprobables) y hay n resultados posibles cada uno con probabilidad constante p se debe cumplir que:

ⁿ

∑ p = np = 1, de donde p = 1/n, es decir, todos los

_i=1

 

Sucesos elementales tienen probabilidad igual a 1/n.

Si A es un suceso cualquiera asociado a un espacio equiprobable y r es el número de resultados en A, P(A)= r * 1/n = r/n, o expresado de otra manera número de casos favorables a A P(A)= #A / #S = número de casos totales

Ejemplo:

1. Se lanzan dos monedas idénticas, calcular:

a)       la probabilidad de obtener dos caras.

b)       b) la probabilidad de obtener una cara.

Solución.

S= {(c, c), (c, s),(s, c),(s, s)} es un espacio equiprobable para el experimento.

a) P (dos caras) = P ({(c, c)}) = #A / #S = 1/4

b) P(una cara) = P({(c, s), (s,c)}) = #A / #S = 2/4 = 1/2

7.- Métodos de Conteo. Regla de multiplicación.

Principio fundamental del conteo.

Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuo con el procedimiento n2 maneras diferentes y si después de efectuados estos, n3 otro procedimiento de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de formas o maneras en los que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1· n2 · n3··· nr = nt.

El número total (nt) de formas o maneras en que puede realizarse un evento es

n1 ·n2 · n3··· nr = nt

Demostración: Por inducción sobre el número de eventos tenemos que para el primer evento, tenemos n₁ formas de hacerlo y no hay nada que probar. Supongamos que para k-1 eventos el número de maneras en que suceden es n₁n₂...n_k-1 entonces, para los k eventos, tenemos que para cada uno de los n_k eventos tenemos n₁n₂...n_k-1 maneras de realizarlos, por lo que existen n₁n₂...n_k formas de que los eventos sucedan, por lo tanto queda probado el principio fundamental de conteo.

Ejemplo: Supongamos que existe un código de seguridad que intercala dos letras con dos números y deseamos saber el número de códigos que se pueden emitir en total:

Tomemos 26 letras y 10 números, entonces el número sería de:

26*10*26*10 = 676,000 códigos

La Técnica de la Multiplicación: La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay  n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.

En términos de fórmula: Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos =  3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos  de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo: Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

8.- Permutaciones:

Es un arreglo en orden particular que forma un conjunto.

El número de permutaciones de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos distintos es o, en forma factorial donde:

n = tamaño de la población

r = tamaño de la muestra

En ocasiones es necesario tomar de una lista de n objetos, r elementos y colocarlos en un orden determinado, a esto se le llama una permutación de los n objetos r tomados. La notación que utilizaremos será nPr, que dice que de n objetos permutamos r de ellos, claro está que esta función está definida en los números enteros y que no es posible que r>n, porque no podríamos tomar más objetos que los n disponibles.

Teorema:

Hipótesis: Existen n elementos de los cuales se eligen en orden r.

Conclusión: Entonces el número de posibles formas en que se elijan los elementos es: nPr=n!/(n-r)!=(n-r+1)*(n-r+2)*…*(n)

Demostración :

Por inducción, si deseamos tomar un solo elemento, existen efectivamente n formas de hacerlo que coincide con la hipótesis del teorema, supongamos que para r-1 elementos a tomar, en realidad existen n!/(n-r+1)! formas de hacerlo.

Desarrollemos esta última expresión: 1*2*3*...(n-r+1)*(n-r+2)*...*n/(1*2*3*...*(n-r+1))=(n-r+2)* (n-r+3)*...*n, entonces para tomar el r- ésimo elemento tendríamos el número de formas en que suceden los eventos anteriores y el número de formas en que sucede el último evento (de acuerdo con el principio general de conteo) por lo tanto, para tomar el r-ésimo elemento, existen n-r+1 formas de hacerlo, debido a que se han sacado (r-1) elementos (n-(r-1))=n-r+1, por lo tanto, obtenemos que el número de formas para tomar los r elementos es: (n- r+1)*(n- r+2)*…*(n)= nPr

Corolario:

Hipótesis: Se tienen n elementos y se eligen n al azar

Conclusión: La forma en que se pueden extraer es n!

La demostración es obvia sustituyendo n en lugar de r en el teorema precedente.

Permutaciones con repeticiones:

Teorema:

Hipótesis: Sea el número de objetos de los cuales hay n₁ iguales entre sí, n₂,... n_k iguales entre sí.

Conclusión: n!/ (n₁!...n_k!)

Es el número de permutaciones distintas de dichos objetos.

Demostración: Supongamos que tenemos 1 objeto que se repite n₁ veces y que n es un número cualquiera, entonces tenemos que existen r=n-n₁ objetos distintos entre sí, los cuales se agrupan en n!/(n-r)! formas distintas, con lo que tenemos que el teorema cumple para el caso 1.

Supongamos que hay k-1 objetos que se repiten n₁, n₂,..., n_k-1 veces respectivamente y que el número de formas en que se permutan es m!/(n₁!*n₂!*...*n_k-1!)         Donde m=n₁+n₂+...+n_k-1, entonces, si ahora introducimos n_k-1 elementos de un k-ésimo objeto, entonces tenemos que el mismo se repite n_k veces, por el principio fundamental de conteo, entonces habría m!/(n₁!*n₂!*...*n_k-1!),  multiplicado por el número de formas en que se puede permutar dicho elemento, lo cual es n!/(n-n_k)!, pero si tomamos n= n₁+n₂+...+n_k, tendremos que n=m+n_k Þ m=n-n_k , de donde el número de formas en que se pude agrupar es (m!/(n₁!*n₂!*...* n_k-1!))*( n!/(n- n_k)!)= (m!/(n₁!*n₂!*...*n_k-1!))*(n!/(m)!)= n!/(n₁!...n_k!) que es lo que se deseaba mostrar.

9.- Combinaciones:

Para estudiar este problema, démonos una colección de n objetos. Entonces si tomamos r elementos sin importar el orden en que los tomemos, decimos que hemos realizado una combinación de r elementos de los n disponibles. El número posible de combinaciones de r elementos de n disponibles lo denotaremos por: nCr

Teorema:

Hipótesis: Existen n elementos en un conjunto de los cuales se toman r.

Conclusión: El número de posibles combinaciones es:

nCr = n!/(r!*(n-r)!)

Demostración: Sabemos que si tomamos r elementos de una colección de n, si nos fijamos del ordenen que lo tomamos, tenemos n!/(n-r)!, pero a la vez, si consideramos que en una combinación no importa el orden. Sabemos que para colocar r elementos en r posiciones hay r! formas de hacerlo, así que para cada una de las n!/(n-r)! formas en que se pueden tomar los elementos hay que quitar r!, tenemos que precisamente hay n!/ (r!*(n-r)!) distintas combinaciones de r elementos de n posibles.

10.- Muestreo y Muestras:

Muestreo: Es la actividad por la cual se toman ciertas muestras de una población de elementos de los cuales vamos a tomar ciertos criterios de decisión, el muestreo es importante porque a través de él podemos hacer análisis de situaciones de una empresa o de algún campo de la sociedad.

Terminología básica para el muestreo:

Los nuevos términos, los cuales son frecuentemente usados en inferencia estadística son:

Estadístico:
Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de una muestra , tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una muestra.

Parámetro:
Una parámetro es una medida usada para describir alguna característica de una población, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una población.

Muestra estadística es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística.

Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma. Para cumplir esta característica la inclusión de sujetos en la muestra debe seguir una técnica de muestreo. En tales casos, puede obtenerse una información similar a la de un estudio exhaustivo con mayor rapidez y menor coste (véanse las ventajas de la elección de una muestra, más abajo).

Por otra parte, en ocasiones, el muestreo puede ser más exacto que el estudio de toda la población porque el manejo de un menor número de datos provoca también menos errores en su manipulación.

El número de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el de la población, pero suficiente para que la estimación de los parámetros determinados tenga un nivel de confianza adecuado. Para que el tamaño de la muestra sea idóneo es preciso recurrir a su cálculo.

11.- Sucesos Dependientes e Independientes.

Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )

Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )

12.- Probabilidad Condicional: 

Llamamos probabilidad condicionada del suceso  B  respecto del suceso  A, y lo denotamos por  P (B │ A)  al cociente

 

P (B │ A) = P (A ∩ B) / P (A)

 

Ejemplo: Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos  

A  = "la suma de los puntos es siete" y

B  = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso B │ A    es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4)  y (4,3). Por tanto,

P (B │ A) = 2/6 =1/3

13.- Sucesos Mutuamente Excluyentes.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B C =

14.- Distribución de Probabilidad.

Una distribución de probabilidad la podemos concebir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Dada una variable aleatoria x la función de distribución de probabilidad F(x) asigna a un evento definido sobre x una probabilidad.

Entonces la probabilidad P (X ≤ x) es: F(x) = P (X ≤ x)

Una función de distribución ha de cumplir 3 condiciones:

1. lim_x→∞ F(x) = 0 y lim_x→∞ F(x) = 1

 2. Es continua por la derecha

3. Es monótona no decreciente

La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad f(x). Es decir, se calcula directamente según:

-Si x es una variable aleatoria discreta

            _x

F(x) = ∑_t→∞f(t)

           

 

-Si x es una variable aleatoria continúa

            _x

F(x) = ∫t_→∞ f(t)

Propiedades

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b) serán mutuamente excluyentes y su suma es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos entonces que: P (X ≤ b) = P (X ≤ a) + P (a < X ≤ b)

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

15.- Distribución Normal. Tabla de Distribución.

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

• Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.

• Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

La función de densidad está dada por:

Donde (Μ) es la media y (sigma) es la desviación estándar ( es la varianza).

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

• Caracteres morfológicos de individuos
• Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco
• Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos
• Caracteres psicológicos como el cociente intelectual
• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
• Valores estadísticos muéstrales como la media

16.- Distribución Binomial:

Es una distribución de probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes, cada uno de los cuales tiene probabilidad θ de ocurrir. (La distribución de Bernoulli es una distribución binomial con n = 1). Su distribución de probabilidad está dada por:

para , siendo las combinaciones de n en x (n elementos tomados de x en x)

Por ejemplo, la distribución binomial se usa para encontrar la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En este caso se tiene que y resulta:

Su media y su varianza son:

Experimento binomial: La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones:

• El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija antes del experimento.
• Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en dos posibles resultados, que se denotan por éxito (S) o fracaso (F) (p(S)+p (F)=1).
• Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.
• La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro.

Siguiendo estas premisas, la variable aleatoria binomial X está definida como

X = el número de S entre los N intentos.

17.- Distribución Poisson.

Es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles"). El trabajo estaba enfocado en ciertas variables aleatorias N que cuentan, entre otras cosas, un número de ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es λ, entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un entero no negativo, k = 0, 1, 2,...) es igual a:

Dónde

• e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),
• k! es el factorial de k,
• k es el número de ocurrencias de un evento,
• λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.

Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas.

Su media y su varianza son:

Como una función de k, ésta es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede ser vista como un caso limitante de la distribución binomial.

La distribución Poisson es también llamada Poissoniana, análogamente al término Gaussiana para una distribución de Gauss o distribución normal.

 

INFOGRAFIA:

1. http://personales.com/espana/madrid/Apuntes/probabi.htm
2. http://eio.usc.es/eipc1/MATERIALES/921104734.pdf
3. http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/1p.htm
4. http://cablemodem.fibertel.com.ar/coya/formulas/est/E01.2.html
5. http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definiciones.html
6. http://html.rincondelvago.com/probabilidad_2.html
7. http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema15.pdf
8. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/salinero_probabilidad.pdf
9. http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/lb/ciencias_agronomicas/rustoma01/02.html
10. http://mx.geocities.com/fracosta11/tconteo.html
11. http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml
12. http://es.wikipedia.org/wiki/Muestra_estad%C3%ADstica
13. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/5.html
14. http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
15. http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad
16. http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial
17. http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Poisson