4

4. Varianza de la regresión de la muestra

Es un modo alternativo de hacer contrastes sobre el coeficiente a₁. Consiste en descomponer la variación de la variable Y de dos componentes: uno la variación de Y alrededor de los valores predichos por la regresión y otro con la variación de los valores predichos alrededor de la media. Si no existe correlación ambos estimadores estimarían la varianza de Y y si la hay, no. Comparando ambos estimadores con la prueba de la F se contrasta la existencia de correlación. Para el ejemplo:

A partir de una muestra aleatoria, la teoría estadística permite:
i) estimar los coeficientes a _i del modelo (hay dos procedimientos: mínimos cuadrados y máxima verosimilitud que dan el mismo resultado).
ii) estimar la varianza de las variables Y|x_illamada cuadrados medios del error y representada por s² o MSE. A su raíz cuadrada se le llama error estándar de la estimación.
iii) conocer la distribución muestral de los coeficientes estimados, tanto su forma (t) como su error estándar, que permite hacer estimación por intervalos como contrastes de hipótesis sobre ellos.

Ejemplo 3 : Para el diseño del ejemplo una muestra produce los siguientes datos:

X (sal) Y (Presión)

1,8 100

2,2 98

3,5 110

4,0 110

4,3 112

5,0 120

La "salida" de un paquete estadístico es:

86,371 presión arterial media sin nada de sal.
6,335 aumento de presión por cada gr de sal; como es distinto de 0 indica correlación. La pregunta es ¿podría ser 0 en la población? En términos de contrastes de hipótesis

H₀ : a₁= 0
H₁: a₁ ¹ 0

según iii)

análisis de la regresión y análisis de la varianza
Desarrollo: Cualquiera que sea el origen de los datos experimentales que deseamos analizar para extraer conclusiones prácticas (p.ej., planillas de operación, ensayos preprogramados intencionalmente, etc.) debemos recurrir a la estadística para que nos oriente en la tarea. La forma más poderosa, quizás, de analizar estos datos es mediante los dos tipos de análisis mencionados en el título. Ambos tipos están ligados entre sí por una teoría coherente que permite transformar uno de los dos tipos de análisis en el otro.

Empecemos por el modelo más simple. Sea un modelo lineal y de un único factor X. Este modelo lineal, llamado tambien de primer orden, resulta ser

OMEGA = b₀ + b₁X

modelo denominado de regresión, donde OMEGA es el criterio a maximizar, b₀ es la ordenada al origen y b₁ es la pendiente de la recta. Ya que las incógnitas o parámetros b₀ y b₁ son solamente dos, nos alcanzan dos niveles distintos para la variable X para identificarlos. Sin embargo, habrá que repetirlos para no dejarnos confundir por el error experimental.

Este caso sencillo se puede mirar también desde otra óptica. Un modelo equivalente, denominado de análisis de la varianza, es el de escribir

OMEGA = mu + alfa_i + e _ij

donde mu = el valor medio del ensayo, alfa es la incidencia sobre los resultados del factor X que estamos midiendo y e es el error experimental.

Para entender este modelo afirmemos que el resultado de una tentativa en el nivel i durante la replicación j , es:

gamma_ij = gamma_ij
     i = 1,2,.., n (niveles) y
     j = 1,2,... m (replicaciones)
Sumando y restando a la igualdad tanto el promedio de todas las n.m tentativas, gamma_n como el promedio de los m ensayos realizados en el nivel i del único factor, gamma_i., llegamos a que

gamma_ij = gamma_.. + (gamma_i. - gamma_..) + (gamma_ij> - gamma_i.)

donde los tres sumandos que han quedado explícitos son, respectivamente,

mu, la media,

alfa_i, la influencia del factor y

e_ij , el error experimental.

Así como está autorizado usar el modelo de regresión, es equivalente usar el modelo de análisis de la varianza, que contrasta la incidencia del factor con respecto a la incidencia del error experimental.

EJEMPLO NUMÉRICO

Repitamos tres veces un ensayo con un único factor, temperatura, en dos niveles,

0 (baja temperatura, digamos 105º) y

1 (alta temperatura, 110º)

Las eficiencias ("OMEGA") obtenidas en las seis corridas (que se estiman suficientes para conocer el error experimental), son:

-----------   Nivel 0    Nivel 1

  Réplica 1     79     90

  Réplica 2     80     91

  Réplica 3     81     89
      Niveles  i = 0, 1
      Réplicas j = 0,1,2
A simple vista ya se puede analizar este sencillo caso, donde no cabe duda que es preferible usar 110º en lugar de 105º. Pero para aplicar las fórmulas previas, podemos resolver el problema por análisis de la regresión y luego por análisis de la varianza.

ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN

---- f_i x_i y_i = gamma_ij K_i

--- 1 0   79   80

--- 1 0   80   81

--- 1 0   81   82

--- 1 1   90   92

--- 1 1   91   93

--- 1 1   89   91

SIGMA 6 3 510 519

MATRIZ DE CUADRADOS, DE PRODUCTOS CRUZADOS Y DE CÁLCULOS DE DOOLITTLE

---- (1) x_i y_i K_i

f_i 6 3 510 519 = 6+3+510

f_ix_i - 3 270 276 = 270 +3+3

f_iy_i - - 43504 44284 = 43504+510+270

Fila 4 - 1,5 15 16,5 = 1,5+15

Fila 5 - - 154 169 = 15+154

Fila 6 - - 4 4 = 4
Cálculos
b₁₁ = (3) - (3/6)(3) = 1,5
b₁₂ = (270) - (3/6)(510) = 15
b₁₃ = (276) - (3/6)(519) = 16,5
b₂₂ = (43504) - (510/6)(510) = 154
b₂₃ = (44284) - (510/6)(519) = 169
c₁₁ = (154) - (15/1,5)(15) = 4
c₁₂ = (169) - (15/1,5)(16,5) = 4
Cálculos de parámetros
x^raya = 3/6 = 0,5
y^raya = 510/6 = 85
b = b_{12/b₁₁ = 10
a = y^raya- bx^raya = 85 - (10)(0,5) = 80.}
Regresión:

OMEGA = 80 + 10 X
X = 0 si nivel = 0
x = 1 si nivel = 1
Se deduce que el máximo de OMEGA se logra con el nivel 1 (alta temperatura).

ANALISIS DE LA VARIANZA
x_.. = mu = media de los seis ensayos = 510/6 = 85
gamma_0. = media de los ensayos a nivel 0 = (79+80+81)/3 = 80

gamma_1. = media de los ensayos a nivel 1 = (90+91+89)/3 = 90

e₀₁ = gamma₀₁ - gamma_0. = 79 - 80 = -1

e₀₂ = gamma₀₂ - gamma_0. = 80 - 80 = 0

e₀₃ = gamma₀₃ - gamma_0. = 81 - 80 = 1

e₁₁ = gamma₁₁ - gamma_1. = 90 - 90 = 0

e₁₂ = gamma₁₂ - gamma_1. = 91 - 90 = 1

e₁₃ = gamma₁₃ - gamma_1. = 89 - 90 = -1

alfa₀ = gamma_0. - gamma_.. = 80 - 85 = -5

alfa₁ = gamma_1. - gamma_.. = 90 - 85 = 5

Entonces, p. ej., para

gamma_ij = gamma_.. + (gamma_i. - gamma_..) + (gamma_ij - gamma_i.) =  gamma_.. - alfa_i) + e_ij
gamma₀₂ = gamma_.. +  alfa₀) + e₀₂ = 85 - 5 + 0 = 80 (nivel 0, réplica 2)
_{Prueba de la importancia del factor
temperatura:}

_{En el caso del análisis de la regresión se debe probar que la pendiente 10
no admite el 0 como solución, o sea que beta no es cero. (beta es el
verdadero valor de la pendiente, b es la pendiente muestral).}

_{En el caso del análisis de la varianza, se debe probar que la variabilidad
del factor alfai es significativa, pese a la influencia del error
experimental eij, con su propia variabilidad.}

_{Resolveremos esto último calculando las variabilidades de los distintos
paréntesis del modelo, o sea del paréntesis para alfa y del paréntesis para
el error. La variabilidad surge de elevar al cuadrado el paréntesis para
cada caso particular y sumar, segun la siguiente tabla}
_{gamma_ij

gamma_..

gamma_i.

(gamma_i.
- gamma_..)
(gamma_ij
- gamma_i.)
(gamma_i.
- gamma_..) ²
(gamma_ij -
gamma_i.) ²

79

85

80

80-85=-5

79-80= -1

25

1

80

85

80

80-85= -5

80-80= 0

25

0

81

85

80

80-85

81-80= 1

25

1

90

85

90

90-85= 5

90-90= 0

25

0

91

85

90

90-85 = 5

91-90= 1

25

1

89

85

90

90-85 = 5

89-90 = -1

25

1

---

---

---

---

SIGMA:

150

4}
_{Los dos paréntesis a los cuales nos estamos refiriendo ya han sido
analizados más arriba, en el modelo de análisis de la varianza. La
conclusión a la cual llegamos, hasta esta altura del análisis, es que la
suma de los cuadrados (SC) del primer paréntesis vale 150, mientras que el
segundo tiene su proia SC valiendo 4. Es habitual ubicar prolijamente esa
valiosa información en tablas llamadas de análisis de la varianza, en
conjunto con los grados de libertad (GL) y de los cuadrados medios (CM) que
surgen de la división SC/GL. O sea que la única información faltante es la
de los GL, que se calculan restando uno al número de datos, que aquí son
seis (restando quedan GL = 5). Si tenemos seis datos y la suma de ellos,
podemos alterar (un poco) a lo sumo cinco cualesquiera y el sexto queda
esclavizado en un valor que respeta la suma.}

_{La primera fuente de variación se ha referido alfai con dos niveles. Es un
único factor, caso en que restando uno al 2 de los niveles queda GL = 1. El
otro casillero vacante se llena por diferencia, o sea 5-1 = 4. F (parámetro
del análisis de la varianza) se calcula como cociente entre CM del factor y
CM del error.}
_{TABLA DE ANALISIS
DE LA VARIANZA (ANOVA)

FUENTE DE VARIACION
SC
GL
CM
F

primer paréntesis para X, el factor

150
1
150
150***

segundo paréntesis para error

    4
4
    1
----

(gamma_ij-gamma_..)²
para TOTAL
154
4
---
---}
_{Esta tabla es crucial en el estudio del método de análisis de la varianza.}

_{Nota 1 - La variabilidad total es la suma de la variabilidad del factor
(primer paréntesis) más la variabilidad del error (segundo paréntesis).
Sumando miembro a miembro queda (gammaij-gamma..), la variabilidad total por
todo concepto. Tenemos todos los datos para calcular su cuadrado:}
_{Dato número

gamma_ij

gamma_..

diferencia

(diferencia)²

1

79

85

-6

36

2

80

85

-5

25

3

81

85

-4

16

4

90

85

5

25

5

91

85

6

36

6

89

85

4

16

---

---

---

SIGMA =

154}
_{que, por supuesto, no difiere de lo obtenido en la tabla de anova. Esto
verifica lo afirmado por la teoría: las variabilidades parciales son
aditivas y la suma da lugar a la variabilidad total.}

_{Nota 2 - No se acostumbra dividir 154 por 5 puesto que el resultado no tiene
uso alguno.}

_{Nota 3 - A partir de este sitio la palabra alfa deja de ser incidencia del
factor: es nivel de significación estadística. En la última columna aparece
el contraste de F, que se usa para contrastar dos variabilidades o
varianzas. El casillero con tres asteriscos se obtiene dividiendo el CM del
factor por el CM del error y, para probar que el factor es importante,
debiera ser numericamente grande. Así resultó en este caso, ya que
contrastando el valor de 150 con las tablas de valores críticos de F, así se
verifica. La tabla de F tiene tres parámetros. Dos de ellos son los grados
de libertad del numerador y del denominador (no confundir) y el tercero es
la probabilidad. Se acostumbra poner asteriscos (si corresponde) a
continuación del valor numérico de F. Un asterisco significa alfa = 0,05 o
menos; dos significan alfa = 0,01 o menos; tres significan alfa = 0,001 o
menos. Siempre F debe ser lo más grande posible (una cola) pues el valor
esperado del numerador es mayor que el valor esperado del denominador,
cuando H0 (H0 es la hipótesis nula que afirma que ambas medias son iguales).
Por eso se entra siempre en tablas con p = 1 - alfa (una cola).}

_{Nota 4 - Un lector cuidadoso puede observar que el 154 y el 4 aparecen tanto
en el análisis de la regresión ya hecho y en el reciente análisis de la
varianza. ¿A qué conclusión puede llevar esa coincidencia? Una de ellas es
que se podrían replantear las conclusiones del análisis de la regresión bajo
la cómoda forma de una tabla de análisis de la varianza, que apaenas difiere
en el tema de las fuentes de variación con respecto a la forma previa.}
_{REGRESION
PRESENTADA COMO ANOVA

FUENTES DE VARIACION

SC
GL
CM
F

Regresión (beta distinta de
0)
b₁₂-c₁₁
= 150
1
150
150***

Residual (error
experimental)
c₁₁ =           4

4
    1
---

Total
b₁₂ =       154

5
----
----

Nota
5 - Hay recursos algebraicos para calcular en forma breve algunos de los
valores que aparecen en las tablas y despejar de ellos el resto. No son los
que aquí se han seguido. Es frecuente calcular la SC del error o residual
por diferencia entre el total y las otras fuentes.
Con
este ejemplo numérico concluye el muy abreviado tratamiento de dos temas tan
importantes como el análisis de la regresión y el de la varianza para
modelos de primer orden. Los tratamientos de segundo orden o superior quedan
postergados hasta ver "número y selección de niveles".
El
lector debe darse cuenta que el análisis final de los numerosos diseños
mencionados previamente es muy conveniente que se realice a la manera de la
reciente tabla de REGRESION PRESENTADA COMO ANOVA.}
Regresión Lineal Múltiple

Se trata de predecir el valor de una variable respuesta (y) como función lineal de una familia de m variables explicativas (x₁, x₂, ..., x_m), a partir de una muestra de tamaño n cuyas observaciones se ordenan matricialmente:

siendo y_i la i-ésima variable respuesta y x_i,j la j-ésima variable explicativa asociada a la observación i.

Así las cosas, se trata de ajustar los datos a un modelo de la forma

bajo las siguientes hipótesis:

Los residuos e_i son normales de media 0 y varianza común desconocida ; además, estos residuos son independientes.

El número de variables explicativas (m) es menor que el de observaciones (n); esta hipótesis se conoce con el nombre de rango completo.

No existen relaciones lineales exactas entre las variables explicativas.

El estimador del vector paramétrico es

siendo

habiéndose indicado la transposición matricial mediante el superíndice T.

El estimador insesgado de la varianza , conocido con el nombre de varianza residual, tiene por expresión

El coeficiente de determinación corregido, definido como

siendo

mide el ajuste del modelo, se interpreta como el porcentaje de variación de la variable respuesta explicada por el modelo; así, cuanto más se acerque R² a 100, con más confianza se podrá considerar el modelo lineal como válido.

El contraste de regresión es imperativo a la hora de diagnosticar y validar el modelo que se está ajustando; consiste en decidir si realmente la variable respuesta y es función lineal de las explicativas x₁, x₂, ..., x_m. Formalmente, el contraste se plantea en los siguientes términos:

H₀: "no existe dependencia lineal: "

frente a la alternativa:

H₁: "sí existe alguna dependencia lineal: ".

El estadístico de contraste es

que se distribuye como una F_m,n-m-1 de Snedecor. El contraste se realiza con un nivel de significación del 5%.

Caso

En una muestra de 25 hospitales, el analista ha recogido los siguientes datos sobre el costo anual en 1988 (variable respuesta), así como sobre el personal sanitario y el número de camas durante el msmo año.

Coste
hospitalario Personal
sanitario Número
de camas

1000 100 300

750 50 150

500 25 100

350 15 70

400 20 80

750 30 100

850 70 200

450 30 90

450 35 100

... ... ...

Se quiere ajustar un modelo lineal que devuelva el coste de mantenimiento hospitalario en función del personal sanitario y del número de camas.

En primer lugar observamos que el número de variables explicativas es 2, por lo que se necesitan estimar tres parámetros de regresión: 222.28 para el término independiente, 1.28 para la variable personal sanitario y 2.24 para el número de camas. La desviación típica residual y el coeficiente de determinación corregido toman los valores 107.80 y 76.49%, respectivamente. Finalmente, el contraste de regresión rechaza la hipótesis de independencia al nivel del 5%, dando a entender que no hay indicios de que el modelo lineal

y = 222.28 + 1.28 x₁ + 2.24 x₂

deba ser rechazado. Sin embargo, un análisis más detallado muestra que la inclusión de la variable personal sanitario no aporta información relevante, de modo que al eliminarla se obtiene el modelo

y = 232.34 + 2.55 x₂,

con una desviación típica residual de 106.08 y un coeficiente de determinación de 77.23%, parámetros de diagnóstico ligeramente mejores que los anteriores. Para comprobar estos resultados, eliminar en el panel superior de entrada los datos centrales (100, 50, 25, 15, etc.) y volver a pulsar la barra central.

(Fuente: Colectivo Dr. Arruga (1999) Economía de la salud. Estadística para médicos. Clínica asistida por computadora.. CIE IE Dossat 2000, Madrid.)

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análisis de la regresión y análisis de la varianza

Empecemos por el modelo más simple. Sea un modelo lineal y de un único factor X. Este modelo lineal, llamado tambien de primer orden, resulta ser

OMEGA = b₀ + b₁X

Este caso sencillo se puede mirar también desde otra óptica. Un modelo equivalente, denominado de análisis de la varianza, es el de escribir

OMEGA = mu + alfa_i + e _ij

donde mu = el valor medio del ensayo, alfa es la incidencia sobre los resultados del factor X que estamos midiendo y e es el error experimental.

Para entender este modelo afirmemos que el resultado de una tentativa en el nivel i durante la replicación j , es:

gamma_ij = gamma_ij

Sumando y restando a la igualdad tanto el promedio de todas las n.m tentativas, gamma_n como el promedio de los m ensayos realizados en el nivel i del único factor, gamma_i., llegamos a que

gamma_ij = gamma_.. + (gamma_i. - gamma_..) + (gamma_ij> - gamma_i.)

donde los tres sumandos que han quedado explícitos son, respectivamente,

mu, la media,

alfa_i, la influencia del factor y

e_ij , el error experimental.

Así como está autorizado usar el modelo de regresión, es equivalente usar el modelo de análisis de la varianza, que contrasta la incidencia del factor con respecto a la incidencia del error experimental.

EJEMPLO NUMÉRICO

Repitamos tres veces un ensayo con un único factor, temperatura, en dos niveles,

0 (baja temperatura, digamos 105º) y

1 (alta temperatura, 110º)

Las eficiencias ("OMEGA") obtenidas en las seis corridas (que se estiman suficientes para conocer el error experimental), son:

A simple vista ya se puede analizar este sencillo caso, donde no cabe duda que es preferible usar 110º en lugar de 105º. Pero para aplicar las fórmulas previas, podemos resolver el problema por análisis de la regresión y luego por análisis de la varianza.

ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN

MATRIZ DE CUADRADOS, DE PRODUCTOS CRUZADOS Y DE CÁLCULOS DE DOOLITTLE

OMEGA = 80 + 10 X

Se deduce que el máximo de OMEGA se logra con el nivel 1 (alta temperatura).

ANALISIS DE LA VARIANZA

_{Prueba de la importancia del factor
temperatura:}

_{En el caso del análisis de la regresión se debe probar que la pendiente 10
no admite el 0 como solución, o sea que beta no es cero. (beta es el
verdadero valor de la pendiente, b es la pendiente muestral).}

_{En el caso del análisis de la varianza, se debe probar que la variabilidad
del factor alfai es significativa, pese a la influencia del error
experimental eij, con su propia variabilidad.}

_{Resolveremos esto último calculando las variabilidades de los distintos
paréntesis del modelo, o sea del paréntesis para alfa y del paréntesis para
el error. La variabilidad surge de elevar al cuadrado el paréntesis para
cada caso particular y sumar, segun la siguiente tabla}

TABLA DE ANALISIS DE LA VARIANZA (ANOVA)

_{Esta tabla es crucial en el estudio del método de análisis de la varianza.}

_{Nota 1 - La variabilidad total es la suma de la variabilidad del factor
(primer paréntesis) más la variabilidad del error (segundo paréntesis).
Sumando miembro a miembro queda (gammaij-gamma..), la variabilidad total por
todo concepto. Tenemos todos los datos para calcular su cuadrado:}

_{que, por supuesto, no difiere de lo obtenido en la tabla de anova. Esto
verifica lo afirmado por la teoría: las variabilidades parciales son
aditivas y la suma da lugar a la variabilidad total.}

_{Nota 2 - No se acostumbra dividir 154 por 5 puesto que el resultado no tiene
uso alguno.}

REGRESION PRESENTADA COMO ANOVA

Nota 5 - Hay recursos algebraicos para calcular en forma breve algunos de los valores que aparecen en las tablas y despejar de ellos el resto. No son los que aquí se han seguido. Es frecuente calcular la SC del error o residual por diferencia entre el total y las otras fuentes.

Con este ejemplo numérico concluye el muy abreviado tratamiento de dos temas tan importantes como el análisis de la regresión y el de la varianza para modelos de primer orden. Los tratamientos de segundo orden o superior quedan postergados hasta ver "número y selección de niveles".

El lector debe darse cuenta que el análisis final de los numerosos diseños mencionados previamente es muy conveniente que se realice a la manera de la reciente tabla de REGRESION PRESENTADA COMO ANOVA.

-----------	Nivel 0	Nivel 1
Réplica 1	79	90
Réplica 2	80	91
Réplica 3	81	89

----	f_i	x_i	y_i = gamma_ij	K_i
---	1	0	79	80
---	1	0	80	81
---	1	0	81	82
---	1	1	90	92
---	1	1	91	93
---	1	1	89	91
SIGMA	6	3	510	519

----	(1)	x_i	y_i	K_i
f_i	6	3	510	519 = 6+3+510
f_ix_i	-	3	270	276 = 270 +3+3
f_iy_i	-	-	43504	44284 = 43504+510+270
Fila 4	-	1,5	15	16,5 = 1,5+15
Fila 5	-	-	154	169 = 15+154
Fila 6	-	-	4	4 = 4

gamma_ij	gamma_..	gamma_i.	(gamma_i. - gamma_..)	(gamma_ij - gamma_i.)	(gamma_i. - gamma_..) ²	(gamma_ij - gamma_i.) ²
79	85	80	80-85=-5	79-80= -1	25	1
80	85	80	80-85= -5	80-80= 0	25	0
81	85	80	80-85	81-80= 1	25	1
90	85	90	90-85= 5	90-90= 0	25	0
91	85	90	90-85 = 5	91-90= 1	25	1
89	85	90	90-85 = 5	89-90 = -1	25	1
---	---	---	---	SIGMA:	150	4

Dato número	gamma_ij	gamma_..	diferencia	(diferencia)²
1	79	85	-6	36
2	80	85	-5	25
3	81	85	-4	16
4	90	85	5	25
5	91	85	6	36
6	89	85	4	16
---	---	---	SIGMA =	154

FUENTES DE VARIACION	SC	GL	CM	F
Regresión (beta distinta de 0)	b₁₂-c₁₁ = 150	1	150	150***
Residual (error experimental)	c₁₁ = 4	4	1	---
Total	b₁₂ = 154	5	----	----

Coste hospitalario	Personal sanitario	Número de camas
1000	100	300
750	50	150
500	25	100
350	15	70
400	20	80
750	30	100
850	70	200
450	30	90
450	35	100
...	...	...

análisis de la regresión y análisis de la varianza

Empecemos por el modelo más simple. Sea un modelo lineal y de un único factor X. Este modelo lineal, llamado tambien de primer orden, resulta ser

OMEGA = b0 + b1X

Este caso sencillo se puede mirar también desde otra óptica. Un modelo equivalente, denominado de análisis de la varianza, es el de escribir

OMEGA = mu + alfai + e ij

donde mu = el valor medio del ensayo, alfa es la incidencia sobre los resultados del factor X que estamos midiendo y e es el error experimental.

Para entender este modelo afirmemos que el resultado de una tentativa en el nivel i durante la replicación j , es:

gammaij = gammaij

Sumando y restando a la igualdad tanto el promedio de todas las n.m tentativas, gamman como el promedio de los m ensayos realizados en el nivel i del único factor, gammai., llegamos a que

gammaij = gamma.. + (gammai. - gamma..) + (gammaij> - gammai.)

donde los tres sumandos que han quedado explícitos son, respectivamente,

mu, la media,

alfai, la influencia del factor y

eij , el error experimental.

Así como está autorizado usar el modelo de regresión, es equivalente usar el modelo de análisis de la varianza, que contrasta la incidencia del factor con respecto a la incidencia del error experimental.

EJEMPLO NUMÉRICO

Repitamos tres veces un ensayo con un único factor, temperatura, en dos niveles,

0 (baja temperatura, digamos 105º) y

1 (alta temperatura, 110º)

Las eficiencias ("OMEGA") obtenidas en las seis corridas (que se estiman suficientes para conocer el error experimental), son:

A simple vista ya se puede analizar este sencillo caso, donde no cabe duda que es preferible usar 110º en lugar de 105º. Pero para aplicar las fórmulas previas, podemos resolver el problema por análisis de la regresión y luego por análisis de la varianza.

ANÁLISIS DE LA REGRESIÓN

MATRIZ DE CUADRADOS, DE PRODUCTOS CRUZADOS Y DE CÁLCULOS DE DOOLITTLE

OMEGA = 80 + 10 X

Se deduce que el máximo de OMEGA se logra con el nivel 1 (alta temperatura).

ANALISIS DE LA VARIANZA

Prueba de la importancia del factor temperatura:

En el caso del análisis de la regresión se debe probar que la pendiente 10 no admite el 0 como solución, o sea que beta no es cero. (beta es el verdadero valor de la pendiente, b es la pendiente muestral).

En el caso del análisis de la varianza, se debe probar que la variabilidad del factor alfai es significativa, pese a la influencia del error experimental eij, con su propia variabilidad.

Resolveremos esto último calculando las variabilidades de los distintos paréntesis del modelo, o sea del paréntesis para alfa y del paréntesis para el error. La variabilidad surge de elevar al cuadrado el paréntesis para cada caso particular y sumar, segun la siguiente tabla

TABLA DE ANALISIS DE LA VARIANZA (ANOVA)

Esta tabla es crucial en el estudio del método de análisis de la varianza.

Nota 1 - La variabilidad total es la suma de la variabilidad del factor (primer paréntesis) más la variabilidad del error (segundo paréntesis). Sumando miembro a miembro queda (gammaij-gamma..), la variabilidad total por todo concepto. Tenemos todos los datos para calcular su cuadrado:

que, por supuesto, no difiere de lo obtenido en la tabla de anova. Esto verifica lo afirmado por la teoría: las variabilidades parciales son aditivas y la suma da lugar a la variabilidad total.

Nota 2 - No se acostumbra dividir 154 por 5 puesto que el resultado no tiene uso alguno.

REGRESION PRESENTADA COMO ANOVA

Nota 5 - Hay recursos algebraicos para calcular en forma breve algunos de los valores que aparecen en las tablas y despejar de ellos el resto. No son los que aquí se han seguido. Es frecuente calcular la SC del error o residual por diferencia entre el total y las otras fuentes.

Con este ejemplo numérico concluye el muy abreviado tratamiento de dos temas tan importantes como el análisis de la regresión y el de la varianza para modelos de primer orden. Los tratamientos de segundo orden o superior quedan postergados hasta ver "número y selección de niveles".

El lector debe darse cuenta que el análisis final de los numerosos diseños mencionados previamente es muy conveniente que se realice a la manera de la reciente tabla de REGRESION PRESENTADA COMO ANOVA.

OMEGA = b₀ + b₁X

OMEGA = mu + alfa_i + e _ij

gamma_ij = gamma_ij

Sumando y restando a la igualdad tanto el promedio de todas las n.m tentativas, gamma_n como el promedio de los m ensayos realizados en el nivel i del único factor, gamma_i., llegamos a que

gamma_ij = gamma_.. + (gamma_i. - gamma_..) + (gamma_ij> - gamma_i.)

alfa_i, la influencia del factor y

e_ij , el error experimental.

_{Prueba de la importancia del factor
temperatura:}

_{En el caso del análisis de la regresión se debe probar que la pendiente 10
no admite el 0 como solución, o sea que beta no es cero. (beta es el
verdadero valor de la pendiente, b es la pendiente muestral).}

_{En el caso del análisis de la varianza, se debe probar que la variabilidad
del factor alfai es significativa, pese a la influencia del error
experimental eij, con su propia variabilidad.}

_{Resolveremos esto último calculando las variabilidades de los distintos
paréntesis del modelo, o sea del paréntesis para alfa y del paréntesis para
el error. La variabilidad surge de elevar al cuadrado el paréntesis para
cada caso particular y sumar, segun la siguiente tabla}

_{Esta tabla es crucial en el estudio del método de análisis de la varianza.}

_{Nota 1 - La variabilidad total es la suma de la variabilidad del factor
(primer paréntesis) más la variabilidad del error (segundo paréntesis).
Sumando miembro a miembro queda (gammaij-gamma..), la variabilidad total por
todo concepto. Tenemos todos los datos para calcular su cuadrado:}

_{que, por supuesto, no difiere de lo obtenido en la tabla de anova. Esto
verifica lo afirmado por la teoría: las variabilidades parciales son
aditivas y la suma da lugar a la variabilidad total.}

_{Nota 2 - No se acostumbra dividir 154 por 5 puesto que el resultado no tiene
uso alguno.}