İspat:
Herhangi
bir ağaçtaki en çok yaprak sayısı m olduğuna göre,her
Ağacın 0,1,2,3,...veya m yaprağı olacaktır.Yerde
sıralanmış m+1
Kutu olduğunu ve bunların sırasıyla
0,1,2,3,... m sayılarıyla etki-
letmiş olduğunu düşünün. Şimdi de dünyadaki
ağaçları(uygun
biçimde küçültülmüş boyutlarla)sırayla
odaya aldığımızı düşünün
Her ağacı onun yaprak sayısıyla etiketlenmiş kutuya koyun (yap-
raksız bir ağaç 0 etiketli kutuya , 1
yapraklı ağaç 1 etiketli kutuya,
2 yapraklı bir ağaç 2 etiketli kutuya,
vb.)
Yanlızca m + 1 kutumuz var ve hipotezden
dolayı bundan çok
sayıda ağaç var. Öyleyse, dünyadaki bütün
ağaçlar odaya getiril-
diğinde, kutulardan birinde en az iki ağaç
olacaktır. Öyleyse, en
az iki ağacın aynı sayıda yaprağı vardır
( eğer 1729 numaralı ku-
tuda, örneğin, iki ağaç varsa bu iki ağacın
yaprak sayısı tam ola-
rak 1729’ dur).
İspatın iki estetik ilkeyi de sağladığını görmek için, ispattaki
temel fikrin
matematikte güvercin-evi ilkesi olarak
bilinen ilke olduğuna dikkat edelim.
Sezgisel olarak aşikar olan bu ilke, eğer
yuva deliklerinden daha çok gü-
vercininiz varsa,o zaman deliklerin
birinde en az iki güvercininiz olduğun
söyler. Bu ilkenin matematiğin
“kombinasyonlar” [ combinatorics ] dalında
geniş kullanımı ve büyük önemi
vardır;gerçekle matematiğin zor ve sonlu
sayıda sayma problemlerinin var olduğu
bütün diğer dallarında da. Bu nedenle ispatın maksimal uygulanabilirlik
ilkesini sağladığını iddia etmeye hakkımız vardır.
Ayrıca, parantez içindeki fazladan açıklamalar kaldırıldığında, ispat minimallik ilkesine de ( bir matematikçi bu ispatı bir satırla yazabilir:
”Teorem , güvercin-evi ilkesinin bir
sonucudur”)uygun olur.Böylece hem mak-
simallık hem de minimallık ilkeleri
geçerlidir. Bu nedenle de sonuç “zarif”
tir ( Ayrıca şaşırtıcıdır da ).
Ağaçlar ve yapraklar hakkında, odadan hiç
çıkmadan bir sonuç ispatlanmış görüyorsunuz.
Gerçekte, teoremi ispatlamak için ağaçlar ve yapraklar hakkında t > m +
1’ den başka bir-
şey bilmemize gerek yok. Hiçbir gözlem
gerekmiyor; gereken yalnızca salt düşünce.