PROPOSICION 1.                                                                 F es integrable si y solo si para todo >0 existe P pert P(I) tal que S(f,P)-s(f,P)<.
DEMO:
 Supongamos que f es integrable sobre I. Entonces (-a,b)f=(a,b-).
Por otra parte, para cada>0 existen particiones P1,P2 de P(I) tales que      (-a,b)f-s(f,P1)</2   S(f,P2)-(a,b-) f<.
Por lo tanto, S(f,P2)-s(f,P1) < y si P=P1 U P2, S(f,P)-s(f,P)  S(f,P2)-s(f,P1) < .
Imaginemos que se cumple la condicion y que f es integrable. Entonces suponemos que (a,b-)f-(-a,b)f>0
Sea =(a,b-)f-(-a,b). Entonces, existe una particion P pert P(I) tal que    S(f,P)-s(f,P)<. Pero como =(a,b-)f-(-a,b)fS(f,P)-s(f,P)< llegamos a una contradicion. Por tanto (a,b-)=(-a,b)f.
y f es intergable sobre I.


PROPOSICION 2.

Si  f:[a,b] --> R es una funcion continua, f es integrable.
DEMO. Como f es una funcion continua sobre el intervalo[a,b] que es compacto, f es uniformemente continua.
|x'-x"| <  ==> |f(x')-f(x")|</b-a.
Sean P pert P(I),P=P(x0,...,xn) tal que |xi-xi-1|<, para todo i=1,..,n. Como f es continua en cada intervalo [xi,xi-1], existen i,i pert[xi-1,xi] tales que f(i)=Mi y f(i)=mi. Asi, como i,i pert [..]  se 
tiene que |i-i| <  y por tanto | Mi-mi|=|f(i)-f(i)</b-a.
Se sigue que   S(f,P)-s(f,P)=(i=1,n)(Mi,mi)(xi-xi-1)</b-a(xi-xi-1)=/b-a(b-a)=, y por tanto f es integrable RIEMANN en I.

PROPOSICION 3.

Si f:[a,b] --->R es monotona, f es integrable.
DEMO: Se pueden dar dos situaciones

fa=fb: En este caso, como f es monotona, f es constante y por tanto continua, y por tanto es interable.

fa distinta de fb: supongamos que f es creciente. Dado un >0, sea P pert P(I), P=P(x0,...,xn) tal que |xi-xi-1|</fb-fa para todo i=1,..,n.Entonces    S(f,P)-s(f,P)=(i=1,n)(Mi-mi)(xi-xi-1)=
(i=1,n)(f(xi)-f(xi-1))(xi-xi-1)</fb-fa *(i=1,n)(f(xi)-f(xi-1))=/fb-fa*(Fb-fa)=. Se sigue que f es integrable.
      Una condicion necesaria y suficiente para que una funcion acotada f:[a,b]-->R sea integrable Riemann es que el conjunto de puntos de discontinuidad de f pueda ser recubierto con familias de intervalos abiertos cuya suma de longitudes 
sea menor que un cierto  fijado al azar.

TEOREMA 1:  Si f es una funcion integrable, su funcion integral f es continua en I.

DEMO: Como f es integrable, es acotada. Sea h una cota de f, esto es |f(x)|h para todo x pert. a I. Sea x0 un punto cualquiera de I. ComoF(x)-F(x0)=(a,x)f-(a,x0)f=(x0,x)f.
Si x>x0 .- |Fx-Fx0|=|(x0,x)f|(x0,x)|f| h*(x0,x)1=h*(x-x0)
y si x<x0 .- |Fx-Fx0|=|(x0,x)f|=|(x0,x)f|(x,x0)|f|h* (x,x0)1=h(x0,-x)
De todos modos |Fx-Fx0| h*|x-x0|.
Por lo tanto, dado un >0, basta tomar un</k para tener la continuidad de F en x0. Como x0 es un punto cualquiera se sigue que F es continua en todo I.

REGLA DE BARROW.
Sea f una funcion continua en I. Si g es una primitiva de f se tiene que(a,b)=gb-ga.
DEMO: Sea F la funcion integral de f, como ya hemos indicado F-g=C, donde C es una cte.. Ahora bien 0=(a,a)f=F(a)=g(a)+C. por lo que C= -g(a). Asi (a,b)f=Fb=gb+C= gb - ga.
    Este resultado es cierto en condiciones mas generales. Y se puede obtener el siguiente resultado.
Sea una funcion definida en I continua salvo en un conjunto numerable de puntos y g otra funcion definida en I y derivable en I salvo en otro conjunto numerable de puntos y tal que g'= f en todos aquellos puntos en que
 g es derivable. Entonces (a,b)= gb - ga.


TEOREMA 2: Sea (fn)(n=1,) una sucesion de funciones continuas en I. Si f es el limite uniforme de (fn)(n=1,), f es continua en I.
DEMO: Sea x0 un punto de I. Debemos probar que f es continua en x0, esto es que para todo >0 existe un  >0 tal que |x-x0|< (x pert I) ==> |fx - fx0|<.Dado 0, como f= lim fn(unif), existe n0 tal que nn0 ==> |fx - fn(x)|</3 para todo x pert I. 
Por otra parte fn0 es continua en I y por tanto en 0. Asi dado un >0, existe un >0 tal que |x-x0|<  (x pert I) ==> |fn0(x)-fn0 x0 | /3.
Compriobamos que este  es el que buscamos:
|x -x0| < (x pert I)  ==> |fx - fx0 |=|fx - fn0(x) + fn0 (x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)| |fx - fn0(x)|+|fn0(x)- fn0 (x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< /3+/3+/3=.
Asi f es continua en x0, y como el razonamiento seguido es valido para todo x0 pert I, f es continua en I.


TEOREMA 3: Sea (fn)(n=1,) una sucesion de funciones derivables sobre I tal que:
a/ existe un punto c pert. I tal que (fn(c))(n=1,) es converg.
b/ La sucesion de las derivadas (fn')(n=1,) converge uniformemente sobre I a una funcion .
Entonces se verifica:
1.- La sucesion (fn)8N=1,) converge uniformemente sobre I a una funcion f.
2.- La funcion f es derivable y f'=.
DEMO 1: Para comprobar que (fn)(n=1,) converge uniformemente sobre I veremos que es uniformemente de Cauchy en I.
|fn(x)-fm(x)|=|fn(x)- fn(c)+fn(c)-fm(c)+fm(c)-fm(x)|=|(fn - fm)(x)- (fn - fm)(c)+fn (c)-fm(c)| |(fn - fm)(x)-(fn-fm)(c)|+|fn(c)-fm(c)|.
Aplicando el teorema del valor medio a fn-fm, existe un  comprendico entre x y c tal que (fn-fm)(x)-(fn-fm)(c)=(fn-fm)'()(x-c)=(fn'()-fm'())(x-c).
Asi, |fn(x) - fm(x)|  |fn'() - fm'()||x-c| + |fn(c)-fm(c) |fn'()-fm'()|(b-a) + |fn(c)-fm(c)|.
Por a/, dado un >0 existe un n1 tal que n,m n1 ==> |fn (c)-fm(c)|</2.
y por b/, existe n2 tal que n,m n2 ==> |fn(x)-fm(c)|< /2(b-a).
Si n0=max(n1,n2), se tiene n,m  n0 ==> |fn(x)-fm(x)|<  para todo x pert. I por lo que (fn)(n=1,) es uniformemente de Cauchy en I. Por tanto (fn)(n=1,) es uniformemente convergente. Sea f su limite.

DEMO 2.-Sea x0 un punto cualquiera de I y veamos que f es derivable en x0. Para cada n pert. a N definimos  gn:I -->R  gn(x)= (fn(x)-fn(x0)/x-x0 si x distinto x0. gn(x0)=fn`(x0).
Cada una de estas funciones es continua. Compruebo que la sucesion (gn)(n=1,)  converge uniformemente: Si x dist. x0.
|gnx-gmx|=|fnx-fnx0-fmx+fmx0|/|x-x0|=|(fn-fm)(x)-(fn-fm)(x0)|/|x-x0|=|[fn`()-fm()](x-x0)|/|x-x0|=|fn`()-fm`()| y como |gnx0-gmx0|=fn`(x0)-fm`(x0)| al ser (fn`)(n=1,) uniformemente de cauchy,(gn)(n=1,) es uniformemente de cauchy,
 por lo que converge uniformemente a una funcion g que sera continua.  Compruebo ahora la derivabilidad de f.
lim(x-->x0) fx-fx0/x-x0= lim(..) [lim(n) fn(x)-fnx0/x-x0]= lim(x-X0)[lim(n)gn(x)]= lim(x.) g(x)=g(x0)=lim(n)fn`(x0)=(x0).
Luego se sigue que f es derivable y f`=.


TEOREMA:Sea (fn)(n=1,) una sucesion de funciones integrables Riemann sobre I=[a,b] que converge uniformwemente sobnre I a f.
 Entonces f es integrable Riemann en I y lim(n)(a,b)fn=(a,b)f=(a,b)lim(n)fn.
DEMO: Veamos que f es integrable Riemann. Para ello, dada una particion de I, P(x0,,,xk), sean Mi=sup f(x), mi=inf f(x),Mn,i=sup fn(x),mn,i=inf fn(x) cuando x pert.[xi-1,xi]. Entonces S(f,P)-s(f,P)=
 (i=1,k)(Mi-mi)(xi-xi-1)=(i=1,k)[Mi-Mn,i+Mn,i-mn,i+mn,i-mi](xi-xi-1)(i=1,k)|Mi-Mn,i|(xi-xi-1)+ S(fn,P)-s(fn,P)+(i=1,k)|mn,i-mi|(xi-xi-1).
Como f=lim(n) fn uniforme, dado >0 existe un n0 tal que nn0 ==>|fn(x)-f(x)</3(b-a) para todo x pert. [a,b]. Asi fijado un nn0 f(x)-/3(b-a)< fn(x) < f(x)+ /3(b-a) y por tanto Mi-/3(b-a)Mn,iMi+/3(b-a) es decir |Mi-Mn,i|/3(b-a)
 y de igual forma, |mi-mn,i|/3(b-a).
Por otra forma como fn es integrable, dado el  anterior, existe P0 tal que S(fn,P0)-s(fn,P0)</3. Si sustituimos en el primer desarrollo de la 1emostracion obtenemos S(f,P0)-s(f,P0)< y asi f es integrable.
Ademas si n0 es el anterior, nn0==>|(a,b)f - (a,b)fn|=(a,b)(f-fn)|(a,b)|f-fn|< (a,b)/3(b-a)=/3<.
Por tanto (a,b)f= lim(n)(a,b) fn, como queria demostrar.

RADIO DE CONVERGENCIA
Dada una serie de potencias (n=0,) an(x-x0), el intervalo de convergencia es (x0-,x0+).
TEO. FORMULA DE CAUCHY-HADAMARD
Sea (n=0,)anx una serie de potencias. El radio de convergencia   viene dado por =1/lim()|an| donde se toma = + si lim() |an|=0 y >=0 si lim()|an|=+.
DEMO: Consiceremos la serie (n=0,)|an||x| y estudiamos su convergencia por el metodo de la raiz m-sima. Tenemos:
lim()|an||x| = |x| lim()|an| siempre q	ue ese lim sea menor que uno la serie es convergente, y si es mayor que 1 no lo es. Por tanto la serie converge absolutamente pra todo x si |x|<1/lim()|an| y diverge en otro caso, siempre 
que lim()|an| sea distinto de 0 y de . Si lim () |an|=0, la serie converge independientemente del valor de x y si lim()... =+ la serie diverge para todo x distinto de cero