FUNCIONES HIPERBOLICAS *********SH(X)=(EXPX-EXP(-X))/2          CH(X)=(EXPX+EXP(-X))/2          TH(X)=(EXP(2X)-1)/(EXP(2X)+1)
INDUCCION :                     1+2+3+...=N(N+1)(2N+1)/6     1+2+3+...=N(N+1)/4
TABLA INFINITESIMOS EQUIVALENTESLN(1+)<>        (1+)-1<>n  LN(1-)<>-       SIN()<>     1-COS <>^2/2    TAN()<>     (K^)-1<>LN(K)   ASN()<>     (e^)-1<>        ATN()<>
TIPOS DE INFINITOS *************LOG<<<POT<<EXPON<<POT.EXPON     STIRLING ***********************n!=1*2*3*4*..<>neSQR(2pin)   SEMIFACTORIAL ******************(2n)!!=2*4*6*8*10*..=2n!       (2n+1)!!=(2n+1)!/(2n)!
TIPOS DE MEDIAS *************** DADA UNA SUCESION Xn(X1,X2..)   ARITMETICA:(X1+X2+...+Xn)/n     GEOMETRICA:(X1X2.....Xn)^(1/n)  ARMONICA:[1/X1+1/X2+..1/Xn]/n   S.ARMONICA: Hn=LN(n)+c+En(-->0)
CRITERIO LINEAL CONVERGENCIA    DADA UNA SUCESION Xn            SEA n UNA SUC QUE-->dist de 0 ELIJO UN in tal que            1)lim(n->inf) in  =0 \i        2)[1<->n](in)-->             3)[1n]+[2n]+..+[nn]<K        11n+22n+..+nnn-->=lim
FORMULITAS A RECORDAR ********* a-b=(a-b)(a+ab+b)           a+b=(a+b)(a-ab+b)           a+b=(a+ab2+b)(a-ab2+b)  a-b=(a-b)(a+b)(a+b)         a-b=(a-b)(a+ab+ab+ab+b) ""+""=""+"""""-"""+""""-"""+""  x+1=(x+x2+1)(x-x2+1)
x+x+1=(x+x+1)(x-x+1)
METODO DE HERMITE ************* (P/Q) = A/D + (B/C) siendo    D(X)=m.c.d(Q;Q') C=Q/D          A y B son polinomios un grado menor que sus  denominadores
METODO ALEMAN ******************P/(ax+bx+c) = Q(x)+dx/()  donde Q es un grado menor que P


 Integral indefinida 
Raccionales: P=C*Q+R.grado P<Q
Tipo(SINx,COSx): [1] imp SIN,COScambio TAN(x/2)=t,COSx=1-t2/1+t2SINx=2t/1+t2,dx=2dt/1+t2 [2] parSIN,COS cambio TANx=t,COS2x=1/1+t2,SIN2x=t2/1+t2,dx=dt/1+t2 [3] imp SIN par COS cambio COSx=t [4] par SIN imp COS cambio SINx=t
Hermite: D=mcd(Q,Q`),C=Q/D.I=A/D+I(B/C)
Tipo(x,SQR(ax2+bx+c)): [1] a>0 cambio SQR(-)=SQR(a)x+t [2] c>0 cambio SQR(-)=tx+SQR(c) [3] a<0 yc<0 cambio SQR(-)=t(x-x`) x`raizde (-)
Tipo(I(dx/SQR(ax2+bx+c))): [1] a>0 y b2-4ac<0, I=(ARGHYPSIN((ax+b/2)/SQR(ac-b2/4))/SQR(a)) [2] a>0 y b2-4ac>0, I=(argch((ax+b/2)/SQR(b2/4-ac))/SQR(a)) [3] a<0 I=(ASN(-ax-b/2)/SQR(b2/4-ac))/SQR(-a)
Aleman: I(P/SQR(-))=Q*SQR(-)+I(k/SQR(-)) Q 1 grado < que P
Tipo I(dx/((ax+b)^n*SQR(-)): cambio ax+b=1/t
Sust. trig: [1] SQR(a2-x2) mediante x=aSINt =aCOSt [2] SQR(x2-a2) mediante x=aSECt =aTANt [3] SQR(a2+x2) mediante x=aTANt=aSECt
 Integral definida 
Longitudes: [1] implicitas, L=I(a-b)SQR(1+y`2)dx [2] param, L=I(t1-t2)SQR(xt`2+yt`2)dt [3] polares, L=I(alf1-alf2)SQR(ro2+roalf`2)dalf
Areas: [2] parm, A=I(t1-t2)(y(t)x`(t))dt [3] polares, A=1/2*I(alf1-alf2)(f(alf)2)dalf
Areas de revolucion: [1] eje OX,A=2PI*I(a-b)y*SQR(1+y`2)dx [2] eje OY, A=2PI*I(c-d)x*SQR(1+x`2)dy
Volumenes de revolucion: [1] ejeOX, V=PI*I(a-b)y2dx [2] eje OY, V=PI*I(c-d)x2dy
Volumenes de seccion conocida:  V=I(a-b)S(x)dx
 Maximos y minimos  Jacobiano:hor(esp final),vert(esp inicial)
Gradiente: Nabla*f(a)
Derivada direccional en a: Dvf(a)=GRAD*v
Plano tangente: z=GRAD*(x-a)
M y m en V.V:
[1] R2-R: J=0,saco puntos criticos. (a) H<0 p.d.s. (b) H>0,a11<0-M,a11>0-m,a11=0-nada. H=0 nada
[2] R3-R: (a) m si a11,A33,H>0 (b) M si a11,H<0 y A33>0 (c) otracosa nada
 TRIGONOMETRIA 
SIN(X+(-)Y)=SINXCOSY+(-)COSXSINYCOS(X+(-)Y)=COSXCOSY-(+)SINXSINYSIN2X=2SINXCOSX,COS2X=COS^2X-SIN^2X
REGLA SIN: A/SINA=B/SINB
REGLA COS: A2=B2+C2-2BCCOSA
BOLZANO-WEIW.                      Todo subconjunto infinito y acotado tiene al menos un punto de acumulacion.                  DEMO: Como el conjunto A  tiene infinitos elementos, existe una suceson Xn de elementos distintos dos a dos contenida en A.
 Esta sucesion tiene una subsucesion monotona que esta contenida en A.  Como A esta acotado, la sucesion lo esta y es convergente.Llamemos x a su limite. Al ser los elementos de la sucesion distintos y ser la sucesion monotona
entonces es estrictamente monotona y su limite es x(distinto de los elementos).que es punto de acumulacion de A, por lo que A'distinto de vacio.                xpertenece A' si, y solo si, exis Xn incluida A,Xndistinx/x=Lxn

TEOREMA DE BOLZANO O DE LOS CEROS

  Sea f:[a,b]-->R una funcion continua
        Si f(a)f(b)<0, existe al menos un punto c perten(a,b) tal que f(c)=0*sea f:(a;b)->R     DEMO:La condicion f(a)f(b)<0 nos dice que f(a) y f(b) tienen signos distintos.Suponemos q f(a)<0<<f(b). Dividimos el intervalo en dos partes iguales siendo el
punto de division a+b/2. Si f(a+b/2)=0, el teorema esta demostrado.                             Si f(a+b/2)>0. Sea [a1,b1]=[a,a+b/2] y si f[a+b/2]<0,sea [a1,b1]=[a+b/2,b].
El nuevo intervalo[a1,b1] verifica tambien la condicion f(a1)<0<f(b1) y ademas su longitud es la mitad que la del intervalo original. Repetimos indefinidamente el proceso. Si en alguno de los pasos la imagen del punto medio del intervalo es cero: el teor.
esta demostrado. De no ser asi tenemos una sucesion de intervalos cerrados [a,b]incluido[a1,b1]inclui...[an,bn]incluis... cuyas longitudes tienden a cero. Por  el principio de los intervalos encajados de CANTOR existe un    unico punto c tal que
  c pertence inter(n=1-%)[an,bn] Como c= lim an = lim bn y como f es continua                    f(c)=limf(an)<=0 ya q f(an)<0    """" bn >=0"""" bn> para to n  Luego f(c)=0, y comof(a y f(b dist0, c=/a,b.Portantocpert (a,b)
PUNTO FIJO                       Sea (E,d) un esp metrico completo y f:E---->E una aplicacion contractiva en E. Entonces existe un unico punto a pertE/f(a)=a   DEMO: Sea \ la cte. cotrespondiente a la aplicacion f y sea x0 un punto cua=quiera de E.
Formamos la sucesion             x1=f(x0),x2=f(x1),..,xn=f(xn-1)...Veamos que esta sucesion es de Cauchy Primero calculamos la distancia entre dos terminos consecutivos de la suesion:         d(xn+1,xn)=d(f(xn),f(xn-1))< =   \d(xn,xn-1)<=\^2d(xn-1,xn-2)<=
\^nd(x1,x0). Dadosp,n,se,tiene  d(xn+p,xn)<=d(xn+p,xn+p-1)+.+d(xn+1,xn)<=(\^n+p-1.+\^n)d(x1,x0)<[S\^i]d(x1,x0)=d(x1,x0)/1-\*\^n y como \<1, \^n tiende a cero cuabdo n tiende a infinito.       Se sigue que la sucesion s de CAUCHY
y como el espacio es completo tiene limite. Sea a=limxn . Como f es continua, f(a)= lim f(xn)=  lim xn+1=a por lo que a es punto fijo. Este punto a es unicoya que si existe un punto,b,yal que f(b)=b tendriamosd(a,b)=d(fa,fb)<=\d(a,b)<d(a,b)ya
 q 0<\<1CONTRADICCION

TEOREMA DE HEINE-CANTOR

Sean (E,d1),(F,d2) dos espacios metricos,X yn subconjunto de E yf:X ---->F una aplicacion continua.Si Xes compacto f es uniformemente continua en X.            DEMO: Como f es continua en X,dado un $>0, para cada x pert X existe rx tal que
f[B(x,rx)interscX]incluid(f(x),$/2) consideremos las bolas B[x,rx/2]. Es claro que x inclui UNION(xpertX)b[x,rx/2].               Como las bolas consideradas son abiertas, tenemos un cubrimiento abiwrto de X, que es compactoAsi, existen x1,x2,.xn tales q
XinlcuiU(i=1-n)Bixi,rxi/2].     Sea &=min[rx1/2,...,rxn/2].Vamosa comprobar que este & es el que buscamos. Sean x',x'' pertX tales q d1(x',x'u)<&. Como x' pertXincluU(i=1-n)B[xi,rxi/2] existe xk tal que x'pertB[xk,rxk/2]    y asi d1(x'',xk)<
=d1(x'',x')+d1
(x',xk)<&+rxk/2<=rxk/2*2=rxk porloqx'' pert  B(xk;r xk). Ademas x' pertenece tambien a esta bola y como                         f[B(x,rxk)interscX]incluB(f(xk),&/2) tenemos que f(x'),f(x'')pertB(xk,&/2). Por tanto,          d2(f(x'),f(x'')<=d2(f(x')
,f(xk)
+d2(f(xk),f(x''))<&/2+$/2=&     SE SIGUE QUE F ES UNIFORMEMENTE        C O N T I N U A
RELACION ENTRE LIM FUNC. Y DE S. Sean (e,d1),(F,d2) dos espaciosmetricos,X un subconjunto de E yf:X--->F una aplicacion. Si a es un, punto de acumulacion,son equivalentes: 1.- existe lim f(x) 2.- Para toda sucesion Xn(n1-%)incluX,xn,=/a para to n a=limxn
existe limf(xn.Si se cumplecon),lim f(x)= lim f(xn) para todas las sucesiones indicadas en 2.   DEMO: 1->2. trivial             2 ->1: En primer lugar veamos que, con esra hipotesis, el lim f(xn) es el mismo para todas las su
para todas las siucesiones indicdas en 2. y supongamos que      lim,f(xn)=L y lim f(x'n)=L'. Si formamos la sucesion (zn)(1-%)  asi: z2n=x' , z2n-1=xn          es inmediato que zn(1-%)inclX,  zn=/a pa to n y lim zn=a. Por tanto, existe lim f(zn)=L''.
Por otra parte, como xn(1-%) es una subsucesion de zn(1-%),(f(xn))(1-%) es subsucesion de (f(zn )(1-&) por lo q (f(xn))(1-) debetener el mismi lim que (f(zn)).
Se sigue que L=L', y las dos sucesiones tienen el mismo im.      Supongamos que f no tiene lim  en el punto a.  Entonces ese lim comun a todas las sucesioness  (f(xn))(1-) L no puede verificar la deginicon de limite de la
funcion f cuando x tiende a a(ya que supone;os que ese liite mo existe). Asi existe una bola de centro L y radio &,B(L,&) tal que para toda bola B(a,\) el conjunto f[(B(a,\)/-a-)intersX]no esta contenido en B(l,&). Como est
se verifica para todo \, se verificara para los valores particulares de\=1/n,n pert N. Asi para cada valor n pertN existe xn tal que xn pert [B(a,1/n)/-a-]incluX y f(xn) no pert B(L,&).
Se sigue q la sucesion xn(1-) esta contenida en X,xn distinto de a para todo n y lim f(xn) fistinti L. Tenemos una contradiccion. Se sigue que existe limf(x) y qye vale L            x->a
R ES UN ESPACIO METRICO COMPLETO Sea xn(1-) una sucesion de Cauchy en R.Sabemos que esta sucesion tiene una subsucesion monotona(xnk)(k=1-). Como toda sucesion de Cauchy esta acotada, (xn) y
por tanto (xnk) esta acotada. Se sigue que (xnk) es convergente.Toda sucesion de cauchy que tiene una subsucesion convergente es convergente. Por tanto xn es convergente y R es COMPLETO
RK ES UN E. METRICO COMPLETO      Sea xn una sucesion de Cauchy en RK. Entonces las sucesiones de numeros reales formadas por sus conponentes son todas ellas  de cauchy, y al ser R completo, son,convergentes.xn conv, y RK COMPLETO.
COMPACIDAD EN E. METRICOS       ** Sea (E,d) un e.m. y A un subcj E - cubrimiento.-deA a toda familia de conjuntos @=!Ai;ipertI! TAL Q A <INCL UipertI Ai.          Si los el. de @ son abiertos es un cubrimiento abierto.
. subcubrimiento.- subfamilia de @ que sigue siendo un cubrimiento de A.
T1. Sea (E,d) un e.m. y A un subconjunto de E. Diremos que A es un CONJUNTO COMPACTO si,de todo cubrimiento abierto de A puede extraerse un subcubrimiento finito.
T2. Sea (e,d) un e.m. y A un subconj de E. A es compacto si y solo si toda sucesion xn <inc A tiene una subsucesion convergente cuyo lim pert a A
T3. Un subconjunto de E es compacto si,y solo si es cerrado y acotado.                          DEMO:Suponemos que X es COMPACTO, veamos que es cerrado y acota X es cerrado: Para ello compro
probaremos que R/X es abiero. Sea y un punto cualquiera de R/X. Para cada x pertX, sea &x=1/2!x-y!.   La familia !B(x,&x);xpertX! es un cubrimiento abrieto de X. Como X,exs compacto, existen x1,...,xn tales q xinncluiU(i=1-)B(xi,&xi), y por tanto
inters(i=1-n)(R/B(xi,&xi))icluR/X.  Ademas para cada xi, B(y,&xi)intersB(xi,&xi)=0              para todo i=1,..,n, por lo q    B(y,&)incluR/B(xi,&xi).         Si &=mim(&x1,..,&xn), setiene q B(y,&)incluB(y,&xi),  y asi,
B(y,&)iclui inter(i=1-n)(R/B(xi,&xi))incluiR/X  por loq y es un punto inetrior de R/X. Se sigue que R/X es avierto y X es cerra .X es ACOTADO: consideremos la familia @=!(-n,n);npertN!. Es evidente que @ es un cubrimiento abierto de X. Por ser X
 compacto,
existe un subcubrimiento finito !(-n1,n1),..,(-nk,nk)!. Sea m=  mas(n1,..,nk). Es evidente que  x inclu U (i=1-x) (-ni,ni)= (-m,m) y X esta acotado
- Suponga;os ahora que X es cerrado, acotado y no compacto. Sea @ un cubrimiento abierto de X del que no se puede extraer un subcubrimiento finito. Como X es acotado,existe un intervalo [a,b],
tal q Xiinc[a,b]  Dividios el inetrvalo en, dos partes iguales. sea [a1,b1] una,de esas dos ;itades, precisamente la que verifi
ca que los puntos conetnidos en ella no pueden se rcubiertos por una familia finita de elementosde@. si esto sucede con las dos pares, timamos una xualquiera de ella.
la longitud de[a1,b1] es (b-a)/2repitamos el rpoceso con[a1,b1] obteniendo entonces un intervalo[a2,b2] que verifica lo mismo que el anterior. si,repetimos indefinida;ente el proceso, obtememos una sucesion de intervalos cerados que verifican
[a,b]>incl[a1,b1]>[a2,b2]..[an,bn]...  Como ya sabemos por0el teorema de los intervalos encajados de Cantor, existe un unico    x pert inters(n=1-inf)[an,bn].  Veamos que x pert X-=X.
Dado cualquier &>0, consideremos el intervalo (x-&,x+&). Como   long[an,bn]=b-a/2 existe n0 tal q lon [an0,bn0]<& y por tanto,
dado que x pert[an0,bn0],[an0,bn0]<incl(x-&,x+&]. Como en [an0,bn0] hay puntos de X, XINTERS(x-&,x+&)=/0 y asi, x perX-=X.
veamos la contradicion. como xpertX,.EXISTE UN Apert@ tal q xpertA. Como A es abierto, existe un\>0 tal que (x-\,x+\)<incl A.
repitiendo kas consideraciones que acabamos de hacer sobre la longitud de los intervalos, existe0n1 tal que [an1,bn1]<inc(x-\,x+\)<incluA.
asi lis puntos deX que se encuentran en [an1,bn1] pueden cubrirse mediante un unico abierto A mientras que la eleccion de estos intervalos se ha echo de forma que los puntos de X de uno de
estos intervalos no pudieran ser recubiertos por un numero finito de elementos de @. Por tanto  X ES COMPACTO.

PROPOSICION 1.                                                                 F es integrable si y solo si para todo >0 existe P pert P(I) tal que S(f,P)-s(f,P)<.
DEMO:
 Supongamos que f es integrable sobre I. Entonces (-a,b)f=(a,b-).
Por otra parte, para cada>0 existen particiones P1,P2 de P(I) tales que      (-a,b)f-s(f,P1)</2   S(f,P2)-(a,b-) f<.
Por lo tanto, S(f,P2)-s(f,P1) < y si P=P1 U P2, S(f,P)-s(f,P)  S(f,P2)-s(f,P1) < .
Imaginemos que se cumple la condicion y que f es integrable. Entonces suponemos que (a,b-)f-(-a,b)f>0
Sea =(a,b-)f-(-a,b). Entonces, existe una particion P pert P(I) tal que    S(f,P)-s(f,P)<. Pero como =(a,b-)f-(-a,b)fS(f,P)-s(f,P)< llegamos a una contradicion. Por tanto (a,b-)=(-a,b)f.
y f es intergable sobre I.


PROPOSICION 2.

Si  f:[a,b] --> R es una funcion continua, f es integrable.
DEMO. Como f es una funcion continua sobre el intervalo[a,b] que es compacto, f es uniformemente continua.
|x'-x"| <  ==> |f(x')-f(x")|</b-a.
Sean P pert P(I),P=P(x0,...,xn) tal que |xi-xi-1|<, para todo i=1,..,n. Como f es continua en cada intervalo [xi,xi-1], existen i,i pert[xi-1,xi] tales que f(i)=Mi y f(i)=mi. Asi, como i,i pert [..]  se 
tiene que |i-i| <  y por tanto | Mi-mi|=|f(i)-f(i)</b-a.
Se sigue que   S(f,P)-s(f,P)=(i=1,n)(Mi,mi)(xi-xi-1)</b-a(xi-xi-1)=/b-a(b-a)=, y por tanto f es integrable RIEMANN en I.

PROPOSICION 3.

Si f:[a,b] --->R es monotona, f es integrable.
DEMO: Se pueden dar dos situaciones

fa=fb: En este caso, como f es monotona, f es constante y por tanto continua, y por tanto es interable.

fa distinta de fb: supongamos que f es creciente. Dado un >0, sea P pert P(I), P=P(x0,...,xn) tal que |xi-xi-1|</fb-fa para todo i=1,..,n.Entonces    S(f,P)-s(f,P)=(i=1,n)(Mi-mi)(xi-xi-1)=
(i=1,n)(f(xi)-f(xi-1))(xi-xi-1)</fb-fa *(i=1,n)(f(xi)-f(xi-1))=/fb-fa*(Fb-fa)=. Se sigue que f es integrable.
      Una condicion necesaria y suficiente para que una funcion acotada f:[a,b]-->R sea integrable Riemann es que el conjunto de puntos de discontinuidad de f pueda ser recubierto con familias de intervalos abiertos cuya suma de longitudes 
sea menor que un cierto  fijado al azar.

TEOREMA 1:  Si f es una funcion integrable, su funcion integral f es continua en I.

DEMO: Como f es integrable, es acotada. Sea h una cota de f, esto es |f(x)|h para todo x pert. a I. Sea x0 un punto cualquiera de I. ComoF(x)-F(x0)=(a,x)f-(a,x0)f=(x0,x)f.
Si x>x0 .- |Fx-Fx0|=|(x0,x)f|(x0,x)|f| h*(x0,x)1=h*(x-x0)
y si x<x0 .- |Fx-Fx0|=|(x0,x)f|=|(x0,x)f|(x,x0)|f|h* (x,x0)1=h(x0,-x)
De todos modos |Fx-Fx0| h*|x-x0|.
Por lo tanto, dado un >0, basta tomar un</k para tener la continuidad de F en x0. Como x0 es un punto cualquiera se sigue que F es continua en todo I.

REGLA DE BARROW.
Sea f una funcion continua en I. Si g es una primitiva de f se tiene que(a,b)=gb-ga.
DEMO: Sea F la funcion integral de f, como ya hemos indicado F-g=C, donde C es una cte.. Ahora bien 0=(a,a)f=F(a)=g(a)+C. por lo que C= -g(a). Asi (a,b)f=Fb=gb+C= gb - ga.
    Este resultado es cierto en condiciones mas generales. Y se puede obtener el siguiente resultado.
Sea una funcion definida en I continua salvo en un conjunto numerable de puntos y g otra funcion definida en I y derivable en I salvo en otro conjunto numerable de puntos y tal que g'= f en todos aquellos puntos en que
 g es derivable. Entonces (a,b)= gb - ga.


TEOREMA 2: Sea (fn)(n=1,) una sucesion de funciones continuas en I. Si f es el limite uniforme de (fn)(n=1,), f es continua en I.
DEMO: Sea x0 un punto de I. Debemos probar que f es continua en x0, esto es que para todo >0 existe un  >0 tal que |x-x0|< (x pert I) ==> |fx - fx0|<.Dado 0, como f= lim fn(unif), existe n0 tal que nn0 ==> |fx - fn(x)|</3 para todo x pert I. 
Por otra parte fn0 es continua en I y por tanto en 0. Asi dado un >0, existe un >0 tal que |x-x0|<  (x pert I) ==> |fn0(x)-fn0 x0 | /3.
Compriobamos que este  es el que buscamos:
|x -x0| < (x pert I)  ==> |fx - fx0 |=|fx - fn0(x) + fn0 (x)-fn0(x0)+fn0(x0)-f(x0)| |fx - fn0(x)|+|fn0(x)- fn0 (x0)|+|fn0(x0)-f(x0)|< /3+/3+/3=.
Asi f es continua en x0, y como el razonamiento seguido es valido para todo x0 pert I, f es continua en I.


TEOREMA 3: Sea (fn)(n=1,) una sucesion de funciones derivables sobre I tal que:
a/ existe un punto c pert. I tal que (fn(c))(n=1,) es converg.
b/ La sucesion de las derivadas (fn')(n=1,) converge uniformemente sobre I a una funcion .
Entonces se verifica:
1.- La sucesion (fn)8N=1,) converge uniformemente sobre I a una funcion f.
2.- La funcion f es derivable y f'=.
DEMO 1: Para comprobar que (fn)(n=1,) converge uniformemente sobre I veremos que es uniformemente de Cauchy en I.
|fn(x)-fm(x)|=|fn(x)- fn(c)+fn(c)-fm(c)+fm(c)-fm(x)|=|(fn - fm)(x)- (fn - fm)(c)+fn (c)-fm(c)| |(fn - fm)(x)-(fn-fm)(c)|+|fn(c)-fm(c)|.
Aplicando el teorema del valor medio a fn-fm, existe un  comprendico entre x y c tal que (fn-fm)(x)-(fn-fm)(c)=(fn-fm)'()(x-c)=(fn'()-fm'())(x-c).
Asi, |fn(x) - fm(x)|  |fn'() - fm'()||x-c| + |fn(c)-fm(c) |fn'()-fm'()|(b-a) + |fn(c)-fm(c)|.
Por a/, dado un >0 existe un n1 tal que n,m n1 ==> |fn (c)-fm(c)|</2.
y por b/, existe n2 tal que n,m n2 ==> |fn(x)-fm(c)|< /2(b-a).
Si n0=max(n1,n2), se tiene n,m  n0 ==> |fn(x)-fm(x)|<  para todo x pert. I por lo que (fn)(n=1,) es uniformemente de Cauchy en I. Por tanto (fn)(n=1,) es uniformemente convergente. Sea f su limite.

DEMO 2.-Sea x0 un punto cualquiera de I y veamos que f es derivable en x0. Para cada n pert. a N definimos  gn:I -->R  gn(x)= (fn(x)-fn(x0)/x-x0 si x distinto x0. gn(x0)=fn`(x0).
Cada una de estas funciones es continua. Compruebo que la sucesion (gn)(n=1,)  converge uniformemente: Si x dist. x0.
|gnx-gmx|=|fnx-fnx0-fmx+fmx0|/|x-x0|=|(fn-fm)(x)-(fn-fm)(x0)|/|x-x0|=|[fn`()-fm()](x-x0)|/|x-x0|=|fn`()-fm`()| y como |gnx0-gmx0|=fn`(x0)-fm`(x0)| al ser (fn`)(n=1,) uniformemente de cauchy,(gn)(n=1,) es uniformemente de cauchy,
 por lo que converge uniformemente a una funcion g que sera continua.  Compruebo ahora la derivabilidad de f.
lim(x-->x0) fx-fx0/x-x0= lim(..) [lim(n) fn(x)-fnx0/x-x0]= lim(x-X0)[lim(n)gn(x)]= lim(x.) g(x)=g(x0)=lim(n)fn`(x0)=(x0).
Luego se sigue que f es derivable y f`=.


TEOREMA:Sea (fn)(n=1,) una sucesion de funciones integrables Riemann sobre I=[a,b] que converge uniformwemente sobnre I a f.
 Entonces f es integrable Riemann en I y lim(n)(a,b)fn=(a,b)f=(a,b)lim(n)fn.
DEMO: Veamos que f es integrable Riemann. Para ello, dada una particion de I, P(x0,,,xk), sean Mi=sup f(x), mi=inf f(x),Mn,i=sup fn(x),mn,i=inf fn(x) cuando x pert.[xi-1,xi]. Entonces S(f,P)-s(f,P)=
 (i=1,k)(Mi-mi)(xi-xi-1)=(i=1,k)[Mi-Mn,i+Mn,i-mn,i+mn,i-mi](xi-xi-1)(i=1,k)|Mi-Mn,i|(xi-xi-1)+ S(fn,P)-s(fn,P)+(i=1,k)|mn,i-mi|(xi-xi-1).
Como f=lim(n) fn uniforme, dado >0 existe un n0 tal que nn0 ==>|fn(x)-f(x)</3(b-a) para todo x pert. [a,b]. Asi fijado un nn0 f(x)-/3(b-a)< fn(x) < f(x)+ /3(b-a) y por tanto Mi-/3(b-a)Mn,iMi+/3(b-a) es decir |Mi-Mn,i|/3(b-a)
 y de igual forma, |mi-mn,i|/3(b-a).
Por otra forma como fn es integrable, dado el  anterior, existe P0 tal que S(fn,P0)-s(fn,P0)</3. Si sustituimos en el primer desarrollo de la 1emostracion obtenemos S(f,P0)-s(f,P0)< y asi f es integrable.
Ademas si n0 es el anterior, nn0==>|(a,b)f - (a,b)fn|=(a,b)(f-fn)|(a,b)|f-fn|< (a,b)/3(b-a)=/3<.
Por tanto (a,b)f= lim(n)(a,b) fn, como queria demostrar.

RADIO DE CONVERGENCIA
Dada una serie de potencias (n=0,) an(x-x0), el intervalo de convergencia es (x0-,x0+).
TEO. FORMULA DE CAUCHY-HADAMARD
Sea (n=0,)anx una serie de potencias. El radio de convergencia   viene dado por =1/lim()|an| donde se toma = + si lim() |an|=0 y >=0 si lim()|an|=+.
DEMO: Consiceremos la serie (n=0,)|an||x| y estudiamos su convergencia por el metodo de la raiz m-sima. Tenemos:
lim()|an||x| = |x| lim()|an| siempre que ese lim sea menor que uno la serie es convergente, y si es mayor que 1 no lo es. Por tanto la serie converge absolutamente pra todo x si |x|<1/lim()|an| y diverge en otro caso, siempre 
que lim()|an| sea distinto de 0 y de . Si lim () |an|=0, la serie converge independientemente del valor de x y si lim()... =+ la serie diverge para todo x distinto de cero
RAMA PARABOLICA                 LIM(N->INF) f(x)/x=+-inf OY     """"""""""" f(x)=inf ]  O                   f(x)/x=0 ]  Y
BASE DE LOGARITMO               LOGARITMO BASE B DE X ===========LOGARITMO BASE b DE X PARTIDO DEL LOGARITMO BASE b DE B
SUMAS IMPORTANTES *****         SUM(0,INF) X^N/N!=e^X           SUM(1,INF) 1/N^2=PI^2/6         SUM(1,INF) 1/(2K-1)^2=PI^2/8    SUM(1,INF) 1/(2K+1)^2=PI^2/8-1                                  HIPERGEOMETRICAS ******         SI An+1/An=(n+)/(n+)
suma=A1*/(--)
MAS SUMAS IMPORTANTES ********* 1/1^2+1/2^2+...+1/N^2=PI^2/6    1/1^2-1/2^2+...-1/N^2=PI^2/12
FORMULA DE VOLUMEN PRISMATOIDE  V=(H/6)(B+b+4BaseMedia)
ECUACIONES DIFERENCIALES ****   HOMOGENEAS : v=y/x                        dy/dx=v+dv/dx         BERNOULLI: dy/dx=P(x)y+Q(x)y         cambio y=z^(1/(1-n))      LINEAL : y'+Py=Q                soluc: y=[e^(-pdx)][k+Qe^(pdx)*dx]=0
REDUCIBLES A HOMOGENEAS ******* (ax+by+c)dx+(px+qy+r)dy=0       si se cortan en (,) cambio:   x=X+ ,,, y=Y+,,dx=dX,,dy=dY   SI SON PARALELAS a/p=b/q<>c/r=& z=px+qy,a=&p,b=&q
EC. DIFERENCIALES COMPLETAS     f(D)y=k  y=z+k/An,,y'=z',,etc.  f(D)y=P(x) soluc. Yh+Yp         Yp=polin de coef.indt grado P(x)lo derivo  sustituyo y saco a,b,c etc.
ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS  A)RAIZ SIMPLE: Ce^(x)         B)MULTIPLE  ord n:[(Co+C1x+...+Cn-1x^(n-1)]e^(x)              por cada raiz compleja +i     se toma C1[e^(x)]COS(x)+C2[e^(x)]SIN(x)
D)POR CADA PAR DE RAICES COMPLEJAS MULTIPLES ORDEN H            [(C1e^(x)COS(x)+C2e^(x)SIN(x)]*x^0+...+[C(2n+1)..+C(2n+2)]x^(h-1)
SOLUCION PARTICULAR Yp          a) F(X) CONTIENE x SE TOMA (Ao+A1x+A2x^2+..+Ax)               b)F(x) contiene e se considera Ae                           c)F(x) CONTIENE UN TERMINO COS(X) o SIN(x) se toma aCOS(x)+bSIN(x)
DESARROLLOS EN SERIE ********** a=1+LNa/1!*x+..+(LNa)/n!*x   sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+(-1)x^(2n+1)/(2n+1)!                      cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+..+(-1)(x^2n)/(2n)!                       (1+x)^a=1+a/1!*x+a(a-1)/2!*x^2+..+a(a-1)(a-2)..(a-n+1)/n!*x
TANx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315  thx=="-     +       -           argthx=.5*LN[(1+x)/(1-x)]========x+x^3/3+..+x^(2p+1)/(2p+1)     atanx mismo athx pero (-1)     asinx=x+x^2/(2*3)+(1*3)/(2*4)x^4+...+(1*3*..*(2n-1))/((2*4*..*2n)*x^(2n+1)/(2n+1)
arccosx=pi/2-arcsinx
VOLUMENES DE REVOLUCION         CARTES.:OX=ydx de Xo a X1    OY=2xydx                      POLARES 2/3rosen(fi)d(fi)    AREAS DE REVOLUCION             CARTES=A=2y[1+(Y'x)]dx      PAR=A=2y(t)*[(X't)+(Y't)]dtPOLARES=2灊SIN()[+']d
CALCULO DE LIMITE DE SUCESIONES (a,b)f=lim(n>inf) b-a/n por********por sum(i=1,n)f(a+i(b-a)/n)
CALCULO DE LONGITUDES ********* CARTES L=[1+(y')]dx          PARAME L=[(x')+(y')]dt      POLAR  L=[+']d
AREAS PLANAS                    PARAMET A=y(t)x'(t)dt          POLARES A=(1/2)d     1 a 2
