TEOREMA 4
Sean (E,d1),(F,d2) dos espacios metricos, X incluido totalmente en E y f:X --> F una aplicacion continua. Si X es compacto, f(X) lo es.

DEMO:
Sea B un cubrimiento abierto de f(x). Compruebo que existe un subcubrimiento finito. Como f es continua, para cada B pert B existe A abierto en E tal que  A interseccion X = f^-1[B inter f (X)].
Defino como A a la familia formada por todos los abiertos A que obtengo de este modo. Compruebo ahora que A es un cubrimiento abierto de X.
 Para cada x pert X, f(x) pert f(X) y como B es cubrimiento de f(X), existe B pert B tal que f(x) poert B. 
Asi, x pert f^-1 [ B intersec f(X)]= A inters B
por lo que x pert A. 
Se sigue que A es cubrimiento abierto de X.
Al ser X compacto, existen A1,...,An pert A tales que X incluido totalmen U(i=1,n) Ai.
  Luego x= U(i=1,n) (ai interse X),  y asi, f(X)= U(i=1,n) f(Ai inters X)=U(i=1,n) [Bi inter f(X)] incluid totalmente U(i=1,n)Bi donde cada Bi es el abierto de B al que corresponde Ai. 
Obtengo asi un cubrimiento, finito de f(X) a partir de B, y al ser B arbitrario, f(X) es compacto.
este resultado se suele enunciar diciendo: la imagen continua de un compacto es un compacto.

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