COROLARIO(TEO. WEIERSTRASS)
Sean (E,d) un espacio metrico, X un subconjunto compacto de E y f:X-->R una aplicacion continua.Entonces existen a,b pert X tales que f(a)=max f(X)  f(b)=min f(X)
DEMO:
Como fd es contnua y X es compacto, f (X) es un subconjunto compacto de R y por tanto es cerrado y acotado.
 Como f(X) es acotado, existen =sup f(X) y =inf f(X) y al ser f(X) cerrado, , pert f(X) por lo que son max y min respectivamente.
 Por tanto existen a,b pert X tales que f(a)= y f(b)=.
este resultado suee expresarse diciendo: Toda funcion real continua definida sobre un compacto alcanza su maximo y su minimo absoluto.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LOS INCREMENTOS FINITOS

Sean f,g:[a,b]-->R dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b).
 Entonces existe c pert (a,b) tal que [f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c) 
DEMO: Consideremos la funcion h: [a,b] -->R    
h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a))]f(x). La funcion h es continua en [a,b], derivable en (a,b) y ademas h(a)=h(b).
 Aplicando el teorema de Rolle, existe c pert (a,b) tal que h'(c)=0. Como h'(x)=[f(b)-f(a)]g'(x)-[g(b)-g(a)]f'(x) queda  probado.