Entrou para a escola particular Harberdashers, e aos 20 anos foi para a Escola de Arquitetura. Lá conheceu o baixista Roger Waters e o baterista Nick Mason. Fizeram um grupo na faculdade e escolheram seis meses depois Syd Barrett para a guitarra.
O único nascido em Londres entre os integrantes do Pink Floyd, Richard Wright sempre foi o terceiro compositor e vocalista do grupo, tal como como George Harrison nos Beatles, John Entwistle no The Who e John Paul Jones no Led Zeppelin.
Como compositor Wright contribuía com duas ou três músicas por álbum, ou colaborava na estruturação de obras coletivas como "Echoes" ou "Time". Dark Side of the Moon (1973) representa seu ápice no Pink Floyd: os teclados se equiparam a guitarra de David Gilmour e participou na composição de cinco das dez músicas. Em Wish You Were Here (1975), onde seus teclados estão onipresentes, Wright trouxe grandes contribuições para o álbum, sobretudo na suíte "Shine On You Crazy Diamond".
A partir do disco Animals (1977) iniciou-se o processo de domínio do Pink Floyd por Roger Waters, apesar de neste disco Rick Wright ter realizado um competente trabalho no comando dos teclados da banda.
O sucesso começou a afetar as relações pessoais dentro do grupo. Trabalhos solo eram a única saída para os demais integrantes da banda e Wright realizou Wet Dream em 1978, acompanhado por Mel Collins (sax), Snowy Whithe (guitarra), Larry Steele (baixo) e Reg Isadore (bateria).