Эконометрика тема модель множественной регрессии конспект

Оценка параметров линейной модели множественной регрессии. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии. МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ. Цель . необходимо научиться определять параметры уравнения множественной линейной регрессии, используя ме­тод наименьших квадратов (МНК), рассчитывать коэффициент множественной корреляции.

Ключевые слова . линейная модель множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, коэффициент множественной детерминации, индекс корреляции. 1. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии.

2. Оценка параметров линейной модели множественной регрессии. 3. Множественная и частная корреляция. Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно действующих факторов. В качестве примера такой связи можно рассматривать зависимость доходности финансовых активов от следующих факторов: темпов прироста ВВП, уровня процентных ставок, уровня инфляции и уровня цен на нефть.

В связи с этим возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной у от нескольких объясняющих факторных переменных х 1 . х 2 ,…, х n . оказывающих на нее влияние.

Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа . Как и в парной зависимости, используются разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.

В линейной множественной регрессии параметры при количественной объясняющей переменной интерпретируется как среднее изменение результирующей переменной при единичном изменении самой объясняющей переменной и неизменных значениях остальных независимых переменных.

Пример. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением: где у – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс.тг. х 1 – среднемесячный доход на одного члена семьи, тыс.тг. х 2 – размер семьи, человек.

Эконометрика тема модель множественной регрессии конспект - не

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс.тг. расходы на питание возрастут в среднем на 350 тг.

при том же размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 тг. В степенной функции коэффициенты b j являются коэффициентами эластичности.

Они показывают, на сколько процентов в среднем изменяется результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов.

Пример. Предположим, что при исследовании спроса на мясо получено уравнение где у – количество спроса на мясо, Следовательно, рост цен на 1% при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63%. Увеличение дохода на 1% обуславливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11%.

где b 0 . b 1 ,…,b k – параметры модели, а ε – случайный член, называется классической нормальной линейной регрессионной моделью . если выполняются следующие условия (называемые условиями Гаусса-Маркова): 1. Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю, т.е. . 2. Дисперсия случайного члена должна быть постоянной для всех наблюдений, т.е. . 3. Случайные члены должны быть статистически независимы (некоррелированы) между собой, . 4. - есть нормально распределенная случайная величина.

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются методом наименьших квадратов. При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии. Так, для уравнения система нормальных уравнений составит: Ее решение может быть осуществлено методом Крамера: где ∆ - определитель системы, а получаются путем замены соответствующего столбца определителя системы столбцом свободных членов.

Рассмотрим линейную модель зависимости результативного признака у от двух факторных признаков и . Эта модель имеет вид: Для нахождения параметров и решается система нормальных уравнений: Парная регрессия может дать хороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь.

Поведение отдельных экономи­ческих переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обес­печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно­го исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.

е. пост­роить уравнение множественной регрессии: Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты — частные производные потребления по соответствующим факторам : в предположении, что все остальные постоянны. В 30-е гг. XX в. Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительской функции. С того времени исследователи неод­нократно обращались к проблеме ее совершенствования.

Совре­менная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: где С — потребление; у — доход; Р — цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z — ликвидные активы. Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций; при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов эконометрики.

Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Построение уравнения множественной регрессия начинается с решения вопроса о спецификации модели.

Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор фак­торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам. 1 Они должны быть количественно измеримы. 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - наличие высокой линейной связи между всеми или несколькими факторами.

Причинами возникновения мультиколлинеарности между призанками являются: 1. Изучаемые факторные признаки, характеризуют одну и ту же сторону явления или процесса. Например, показатели объема производимой продукции и среднегодовой стоимости основных фондов одновременно включать в модель не рекомендуется, так как они оба характеризуют размер предприятия; 2. Использование в качестве факторных признаков показателей, суммарное значение которых представляет собой постоянную величину; 3.

Факторные признаки, являющиеся составными элементами друг друга; 4. Факторные признаки, по экономическому смыслу дублирующие друг друга. 5. Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между признаками является превышение парным коэффициентом корреляции величины 0,8 (rxi xj) и др. Мультиколлинеарность может привести к нежелатель­ным последствиям: 1) оценки параметров становятся ненадежными, обна­руживают большие стандартные ошибки и меняются с из­менением объема наблюдений (не только в величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

2) затрудняется интерпретация параметров множест­венной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированны; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл; 3) нельзя определить изолированное влияние факторов на результативный показатель.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией (Ryx1 Rx1x2) может привести к ненадежности оценок коэф-ов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретированными. Включаемые во множ.регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.

Если факторы коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

наша команда выполняет работы по Эконометрике под заказ (рефераты, решение задач, ответы на вопросы, контрольные работы и т.д.) Выполнение в кратчайшие сроки по приятным ценам! Заполните форму ниже, и получите ответ в течении 25 минут. Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора, дополнительно включенного в модель Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора, дополнительно включенного в модель - раздел Финансы, ЛЕКЦИЯ 1 1.

Под редакцией И. И. Елисеевой Эконометрика, М. Финансы и статистика, -2001 г Статистическая Значимость Множественной Регрессии В Целом, Та. Статистическая значимость множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера: где D факт .

- факторная сумма квадратов на одну степень свободы; D ост. -остаточная сумма квадратов на одну степень свободы; R 2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации; k - число параметров при переменных х ; n - число наблюдений.

Фактическое значение F – критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: k и n-k-1 . Если фактическая величина критерия Фишера больше его табличного значения, то построенная многофакторная модель признается статистически значимой. В эконометрических исследованиях оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель, т.

к. не все факторы могут значительно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака, и, кроме того, они могут вводиться в модель в разной последовательности. Мерой для оценки включения фактора в модель служит ч астный F – критерии, т е. F xi . Частный F – критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнении или, другими словами, оценивает целесообразность включения фактора в модель.

Частный F – критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительного включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом.

В общем виде для фактора х i частный F – критерий определится как Предположим, что оценивается значимость влияния х 1 . как дополнительно включенного в модель фактора. Используем следующую формулу: В числителе формулы показан прирост доли объясненной вариации у за счет дополнительного включения в модель фактора х 1 .

Фактическое (расчетное) значение частного F – критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и n-k-1 . Если фактическое значение частного критерия Фишера F xi превышает табличное, то дополнительное включение фактора x i в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии b i при факторе .

х 1 статистически значим. Для двухфакторной модели оценка целесообразности включения одного фактора после другого осуществляется по формулам: Если уравнение содержит более двух факторов, например , то определяется последовательно F – критерий для уравнения с 1-ым фактором х 1 .

далее F – критерий для дополнительного включения фактора х 2 и, наконец, F – критерий для дополнительного включения в модель фактора х 3 . в этом случае F – критерий для дополнительного включения фактора х 2 является последовательным в отличие от F – критерия для дополнительного включения в модель фактора х 3 .

который является частным F – критерием . ибо оценивает значимость фактора в предположении, что он включен в модель последним. Оценка статистической значимости коэффициентов чистой регрессии производится с помощью t - критерия Стьюдента по формулам: m bi - стандартная ошибка коэффициента регрессии b i .

она может быть определена по формуле: R 2 yx 1 x 2… xp - множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом; R 2 xix 1 x 2… xp - тот же показатель детерминации для зависимости фактора x i со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии; n -k-1 – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений. Как видим, чтобы воспользоваться данной формулой необходима матрица межфакторной корреляции и расчет по ней соответствующих коэффициентов детерминации: R 2 xix 1… xp .

Поэтому проще воспользоваться формулой . С t - критерием Стьюдента связан именно частный критерий Фишера. Существует взаимосвязь между квадратом частного коэффициента корреляции и частным F – критерием .

а именно: где квадрат частного коэффициента корреляции фактора x i с у при неизменном уровне всех других факторов; доля остаточной дисперсии для уравнения регрессии, включающего все факторы, кроме фактора x i ; доля остаточной дисперсии для уравнения регрессии с полным набором факторов; Величина F – критерия, оценивая значимость уравнения регрессии в целом, характеризует одновременно и значимость коэффициента (индекса) множественной корреляции.

Аналогично можно оценивать и существенность частных показателей корреляции. Если величина частного критерия Фишера F xi выше табличного, то это означает и значимость частного коэффициента корреляции. Фиктивные переменные во множественной регрессии В регрессионных моделях в качестве объясняющих переменных часто приходится использовать не только количественные (определяемые численно), но и качественные переменные.

Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т. е. качественные переменные должны быть преобразованы в количественные. Такого рода переменные принято называть фиктивными переменными . В отечественной литературе можно встретить термин « структурные переменные ».

Обычно фиктивная переменная отражает два противоположных состояния качественного фактора. Например, «фактор действует» и «фактор не действует». В этом случае фиктивная переменная может выражаться в двоичной форме: Например, D = 0, если потребитель не имеет высшего образования, D = 1, если потребитель имеет высшее образование;.

D = 0, если в обществе имеются инфляционные ожидания; D = 1, если в обществе инфляционных ожиданий нет. Переменная D называется фиктивной (искусственной, двоичной) переменной (индикатором) Таким образом, кроме моделей, содержащих только количественные факторы (х), в регрессионном анализе рассматриваются также модели, содержащие и качественные переменные - D (одни или те и другие одновременно). Регрессионные модели, содержащие лишь качественные факторы, называются ANOVA – моделями (моделями дисперсионного анализа ).

Например, пусть у – начальная заработная плата. При этом коэффициент а определяет среднюю заработную плату при отсутствии высшего образования.

Коэффициент с указывает, на какую величину отличаются средние начальные заработные платы при наличии и отсутствии высшего образования у претендента. Проверяя статистическую значимость коэффициента с с помощью критерия Стьюдента. либо значимость коэффициента детерминации с помощью критерия Фишера можно определить, влияет или нет наличие высшего образования на начальную заработную плату. Такие модели в экономике редки. Гораздо чаще встречаются модели, содержащие как количественные, так и качественные переменные.

Такие модели называются ANСOVA – моделями (моделями ковариационного анализа). Рассмотрим модель с одной количественной и одной качественной переменной, имеющей два альтернативных состояния: Пусть, например, у –заработная плата сотрудника фирмы; х – стаж сотрудника; D – пол сотрудника, т.

е. Тогда ожидаемое значение заработной платы сотрудников при х годах трудового стажа будет: Заработная плата в данном случае является линейной функцией от стажа работы.

Причем, и для мужчин и для женщин заработная плата меняется с одним и тем же коэффициентом пропорциональности β 1 . а вот свободные члены в моделях отличаются на величину . Проверив, с помощью критерия Стьюдента статистические значимости коэффициентов β 0 и (β 0 + ), можно определить, имеет ли место в фирме дискриминация по половому признаку.

Если эти коэффициенты окажутся статистически значимыми, то, очевидно, дискриминация есть, более того, при > 0, она будет в пользу мужчин, при < 0 – в пользу женщин. В данном случае пол сотрудников имеет два альтернативных значения, и в модели это отражается одной фиктивной переменной, Если же будут использованы несколько фиктивных переменных с двумя альтернативными значениями, например две, Но в этой ситуации между фиктивными переменными D 1 и D 2 существует строгая линейная зависимость: D 2 = 1- D 1, т, е.

имеет место мультиколлинеарность, при которой одну из фиктивных переменных следует исключить. Поэтому имеется правило . если качественная переменная имеет k альтернативных значений, то при моделировании используются только (k – 1) фиктивных переменных.

Значение качественной переменной, для которого принимается D = 0, называется базовым или сравнительным . Техника фиктивных переменных может быть распространена на произвольное число качественных факторов. Для простоты рассмотрим ситуацию с двумя качественными переменными. Пусть у – заработная плата сотрудника фирмы; х – стаж сотрудника; D 1 – наличие высшего образования; D 2 – пол сотрудника, т.

е. Таким образом, получим следующую модель: Из этой модели выводятся следующие регрессионные зависимости. Средняя заработная плата женщины без высшего образования: Средняя заработная плата женщины с высшим образованием: Средняя заработная плата мужчины без высшего образования: Средняя заработная плата мужчины с высшим образованием: Очевидно, что все регрессии отличаются лишь свободными членами, Коэффициенты с 1 и с 2 позволяют убедиться, влияют ли образование и пол сотрудника на его заработную плату.

Предложенные выше схемы могут быть распространены на ситуации с произвольным числом количественных и качественных факторов. При этом не следует забывать, что если качественная переменная имеет k альтернативных значений, то при моделировании используются только (k – 1) фиктивных переменных Все темы данного раздела: Определение коэффициентов интеркорреляции Коэффициентами интеркорреляции являются коэффициенты корреляции между объясняющими переменными (факторами) х1, х2, ….

Устранение межфакторной корреляции Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции: 1. Исключение из модели одного или нескольких факторов. 2. Преобразование факторов, при которо Расчет коэффициентов эластичности Для множественного уравнения регрессии рассчитываются средние и частные коэффициенты эластичности. Средние коэффициенты эластичности для множественной регрессии расс МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И ДЕТЕРМИНАЦИЯ Для множественной регрессии рассчитываются показатели множественной и частной корреляции.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого н Частная корреляция Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом у и соответствующим фактором x Модели ANСOVA при наличии у качественных переменных более двух альтернатив Пусть рассматривается модель с двумя объясняющими переменными, одна из которых количественная, а другая – качественная.

Причем качественная переменная имеет три альтернативы. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике Потребность в использовании систем уравнений связано с тем, что при использовании отдельных Методы оценивания параметров структурной модели Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.

Наибольшее распространение получили следующ ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ Наиболее широко они используются для построения макроэкономических моделей функционирования экономики той или иной страны. МОДЕЛИ КЕЙНСА &nb Временные ряды в эконометрических исследованиях основные элементы временного ряда Можно построить экономическую модель, используя два типа исходных данных: · Данные, характеризующие совокупность различ Автокорреляция уровней временного ряда.

Выявление его структуры При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательны Моделирование тенденции временного ряда Для выявления основной тенденции (тренда) в уровнях ряда используется аналитический метод выравнивания.

Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Данный мет Моделирование сезонных и циклических колебаний Существует несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний: · расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ря Построение аддитивной модели временного ряда Для расчетов используем данные об объеме выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года, представленные в табл.

1. Анализ величины коэффициентов автокорреляции показал, ч Построение мультипликативной модели временного ряда Определим компоненты мультипликативной модели временного ряда, используя данные о поквартальном объеме выработки некоторой продукции за 3 года, использованные для расчета компонент Прогнозирование по моделям временного ряда По аддитивной модели Предположим, по данным примера (табл.

3.1) требуется дать прогноз объема выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшег

А также видео