1.- ¿Múltiplo de 9?: ¿Qué condiciones debe cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9?

2.- Dulce sobremesa: Al final de la comida, Anabel ha comido 4 bombones; Berta, 3; Carmen, 2; y Diana, 1. Alberto ha comido los mismos que su mujer; Benito, el doble que la suya; Carlos, el triple que la suya; y David, el cuádruple que la suya. Hay en total 32 envoltorios de bombón. ¿Cómo se llama la mujer de Carlos?

3.- ¿Cómo se llama el maquinista? El revisor, el maquinista y el camarero de un tren Barcelona - Madrid se llaman (aunque no necesariamente en este orden) Adolfo, Benito y Carlos. En el tren viajan tres viajeros con los mismos nombres.

El viajero Benito vive en Madrid.

El camarero vive a mitad de camino entre Madrid y Barcelona.

Carlos (el viajero) gana 2 millones al año.

Uno de los viajeros es vecino del camarero y gana exactamente el triple que él.

El empleado del tren Alberto juega al tenis mejor que el revisor.

El viajero que se llama igual que el camarero vive en Barcelona.

¿Cómo se llaman el revisor, el maquinista y el camarero?

4.- Discusión entre tipógrafos: Un tipógrafo le dice a otro:

·        Para numerar las páginas de este libro he utilizado exactamente tres mil caracteres.

·        Eso no es posible -replica su compañero.

¿Por qué no es posible?

5.- Un tren muy puntual: Mi tren sale a las diez en punto. Si voy a la estación caminando, a una velocidad de 4 kilómetros por hora, llego cinco minutos tarde. Si voy corriendo, a 8 kilómetros por hora, llego con diez minutos de adelanto. ¿A qué distancia estoy de la estación?

6.- Terreno ruidoso: Tengo un terreno limitado por tres tramos rectos de carretera, de la misma longitud. En las tres carreteras hay la misma densidad de tráfico. Quiero construir mi casa en un punto tal que la suma de sus distancias a las tres carreteras sea lo mayor posible. ¿Dónde debo construir la casa?

7.- Remontando el río: Un barquero remonta un río durante 3 horas. Luego, remando al mismo ritmo y con la misma intensidad, regresa al punto de partida, para lo que emplea 2 horas. ¿Cuánto habría tardado en recorrer la misma distancia en un lago?

8.- Bolas blancas y negras: En una caja hay dos bolas blancas; en otra hay dos bolas negras, y en otra, una bola blanca y una negra. Sin conocersus contenidos, meto la mano al azar en una de ellas y saco una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra bola de esa caja sea también blanca?

9.- El loco del volante: Un turismo se da a la fuga después de un atropello. Solo tres testigos ven la matrícula del coche: un tuerto del ojo derecho, un tuerto del ojo izquierdo y un matemático distraído. El primero solo ve las dos primeras cifras de la izquierda, y recuerda que son iguales; el segundo sólo ve las dos últimas cifras, y dice que también son iguales; el matemático distraído se dio cuenta de que la matrícula tenía cuatro cifras y era un cuadrado perfecto.

¿Puedes descubrir con estos datos el número de matrícula del turismo fugado?

10.- Camisas de colores: El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Pardo se encuentran en el trabajo.

·        Qué curioso - dice el que lleva la camisa roja -, los colores de nuestras camisas se corresponden con nuestros apellidos, pero ninguno lleva el color del propio.

·        Tiene usted razón -contesta el señor Blanco.

¿De qué color es la camisa de cada uno?

11.- Rompiendo la hucha: Hemos formado tres montones de monedas de 11, 7 y 6 monedas respectivamente. Podemos trasladar monedas de un montón a otro de acuerdo con estas reglas en cada traslado:

·        A un montón sólo le podemos añadir tantas monedas como tenga el montón en ese momento.

·        Todas las monedas añadidas a un montón han de proceder de un mismo montón.

Razona cuál es el menor número de movimientos con el que podemos obtener tres montones iguales.

12.- El barril de cerveza: Un tabernero tiene cinco barriles de vino y uno de cerveza. Vende una determinada cantidad de vino a un cliente, y el doble de esa cantidad a otro, tras lo cual se queda sin vino. Sabiendo que el vino lo vende por litros enteros, y que las capacidades de los barriles son 15, 16, 18, 19, 20  y  31 litros, ¿cuántos litros de cerveza tiene el tabernero?

15.- Muchos treses: El año 1984 además de ser bisiesto y de ser el título de una conocida novela, puede escribirse usando diez treses y las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división). ¿Eres capaz de hacerlo?

16.- Geometría del alcantarillado: ¿Por qué son redondas las tapas de las alcantarillas? Hay al menos dos buenas razones para ello.

 19.- Uno de trasvases: Dos amigos que tienen una jarra de vino de 8 litros quieren repartírselo equitativamente. Disponen para ello de otras 2 jarras vacías, una con capacidad de 5 litros y la otra de 3 litros. Calcula los sucesivos movimientos de trasvase que deberán hacer para obtener dos partes de vino iguales, de 4 litros cada una.

20.- Los hijos de Laura: Jaime pregunta a Laura por las edades de sus 3 hijos. Laura le responde que: "la suma de sus edades es 13, y su producto es igual a tu edad". Después de pensar un poco, Jaime contesta que le faltan datos, a lo cual Laura le dice: "tienes razón, el mayor tiene el pelo rubio". Con estos datos, Jaime adivina la edad de los 3. ¿Puedes adivinarla tú también?

21.- El puente de madera: Cuatro amigos deben cruzar un frágil puente de madera. Es de noche y es indispensable usar una linterna para cruzarlo. El puente solo puede aguantar el peso de 2 personas como máximo, y solo tienen una linterna. Alicia tarda 8 minutos en cruzarlo, Benito tarda 4 minutos, Carlos tarda 2 y David 1 minuto. ¿Cómo deben hacer para cruzar al otro lado los 4 en 15 minutos o menos?

23.- El dueño burlado: Cierto señor construyó en el sótano de su mansión un botellero en forma de cuadrado dividido en 9 secciones. Dejó la sección central para colocar en ella botellas vacías, y en las secciones restantes colocó 60 botellas de vino como indica la figura. Uno de sus criados observó que su amo comprobaba la cantidad de botellas, contándolas solamente por los lados del cuadrado y cerciorándose de que sumaban en cada uno de los cuatro lados 21 botellas. Entonces el criado robó 4 botellas y distribuyó las restantes de tal forma que nuevamente resultasen 21 botellas en cada lado. Al día siguiente el criado volvió a engañar a su señor del mismo modo (robando 4 botellas). Y así continuó hasta que le fue posible. ¿Cuántas botellas pudo robar y de qué modo?

24.- El peregrino: Un peregrino se dirige a meditar a una capilla situada en la cima de un monte. El peregrino sube esta cuesta a un ritmo de 2 Km./h y la baja a un ritmo de 6 Km./h. ¿Cuál será la velocidad media que ha empleado para el recorrido total (ida y vuelta) de la peregrinación?

25.- El cocido: Dos amigos se disponen a preparar un cocido. Para ello Antonio echó al puchero 200 gramos de garbanzos y Benito aportó 300 gramos. Cuando estuvo preparado apareció Carlos y le invitaron a comer. Al marcharse Carlos les entregó 50 euros para que se los repartieran del modo más justo posible. ¿Cómo lo hicieron?

26.- La fiesta: En una fiesta han participado 4000 personas. El % de los mayores de edad no fuman; el % de los mayores de edad no beben. ¿Cuántos menores de edad hay en la fiesta?

27.- Pesando bombones: Tenemos 10 cajas de bombones y una báscula que indica el peso exacto. Cada bombón debe pesar 10 gramos. Pero se detecta que en una caja los bombones pesan solo 9 gramos. ¿Como descubrirías con total seguridad la caja defectuosa, con tan solo una pesada?

28.- Relojes de arena: Disponemos de dos relojes de arena que permiten medir respectivamente: 3 minutos y 5 minutos. Estos relojes no disponen de barras intermedias de medición, es decir, que solamente pueden medir el tiempo que transcurre entre la caída del primer grano de arena y la del último. Debemos medir la distancia que va a recorrer un corredor en cuatro minutos de tiempo, para ello disponemos de estos dos relojes y se nos dará la orden del inicio de la carrera, que es cuando arrancaremos nuestro sistema de medición y pasados exactamente cuatro minutos deberemos decir: TIEMPO. ¿Cómo podemos realizar este trabajo si no sabemos cuando nos van a dar la orden de comienzo?

29.- El ladrillo: Si un ladrillo pesa 2 kilos y medio ladrillo. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio ladrillo?

30.- Viajes: Hice muchos viajes. Todos fueron a París menos dos. Todos los que hice fueron a Italia, menos dos. Y todos fueron a Turquía menos dos. ¿Cuántos viajes hice en total?

31.- La supermosca: Dos trenes están en una misma vía, separados por 100 kilómetros. Empiezan a moverse en sentidos opuestos, uno hacia el otro, a 50 km/h; en ese mismo momento, una supermosca sale de la locomotora de uno de los trenes y vuela a 100 km/h hacia la locomotora del otro. Apenas llega, da media vuelta y regresa hacia la primera locomotora, y así va y viene de una locomotora a la otra hasta que ambos trenes chocan y muere en el accidente. ¿Qué distancia recorrió la supermosca?

32.- El perro, la oveja y la berza: Un pastor, quiere pasar un perro, una oveja y una berza de una a otra orilla de un río. Dispone para ello de una barca en la que solo caben él y una de las otras tres "cosas". Si el perro, se queda solo con la oveja, se la come. Si la oveja se queda sola con la berza, se la come. ¿Cómo debe proceder el pastor?

33.- Las tres pesadas: Tenemos 24 monedas aparentemente iguales, pero una de ellas es falsa y pesa un poco menos que las 23 restantes. Usando una balanza de platillos y con solo tres usos, debes averiguar con seguridad cual es la moneda falsa.

34.- Las cajas de Mc'nugets: Una hamburguesería sirve, mc'nugets de pollo en cajas de tres tamaños diferentes: de 20, de 9 o de 6 mc´nugets. Debes averiguar cual es el mínimo número de mc'nugets a partir del cual se pueden vender con cajas completas (por ejemplo, 15 se pueden vender con una caja de 9 y otra de 6, pero 16 no se pueden vender de ninguna forma).

36.- Las tres hijas: Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: -¿Cantidad de hijos? -Tres, dice ella. -¿Edades? -El producto de las edades es 36 y la suma es igual al numero de la casa vecina, dice ella. El encuestador se va; pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: -Tiene razón, la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles son las edades?

37.- ¿De qué color es el oso?: Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 hacia el este (o el oeste), y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió. ¿De que color es el oso?

38.- Un problema de peso: Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Cuánto pesa cada una de las pesas?

39.- Demostrar que 0,9999 es igual a 1.

40.- Demostrar que 1 es igual a 2

Soluciones

12.- Uno de trasvases: En la tabla siguiente cada columna representa una de las jarras, y en cada fila anotamos los litros de vino que contienen después de hacer un trasvase. En total hemos dado 8 trasvases, a partir de la situación inicial (primera fila).

20.- Los hijos de Laura: Puesto que la suma de las edades debe ser igual a 13, tenemos 14 posibilidades (excluyendo los casos en los que algún hijo tiene 0 años, pues en tal caso el producto sería 0, que suponemos no es la edad de Jaime). De estas 14 posibilidades, solo hay 2 casos ( 1,6,6  y  2,2,9 ) en los que el producto da el mismo resultado (36). Puesto que a Jaime le faltan datos, necesariamente debe tener 36 años. La respuesta es entonces (2,2,9) pues hay un hijo mayor, según el enunciado del problema.

21.- El puente de madera: Deben pasar primero Carlos y David (2 m). Vuelve David con la linterna (3 m). Pasan Alicia y Benito (11 m). Vuelve Carlos con la linterna (13 m). Por último cruzan de nuevo Carlos y David (15 minutos).

22.- La media luna: Observa la figura:

23.- El dueño burlado: En total, el criado, pudo hacer 4 robos de 4 botellas cada robo (16 botellas en total), del siguiente modo:

24.- El peregrino: Llamamos e al espacio en kilómetros que mide la cuesta, y t al tiempo en segundos que tarda en bajarla el peregrino. Como sube 3 veces más lento tardará 3t segundos en subirla. Luego en total tarda 4t segundos en subirla y bajarla.

La velocidad media es el espacio total recorrido (2e kilómetros) dividido por el tiempo empleado (4t segundos), y teniendo en cuenta que como baja la cuesta a 6 Km/h tenemos que:

V = 2e/4t = 0'5 . e/t = 0'5 . 6 = 3 Km/h.

25.- El cocido: A Antonio le corresponden 10 euros y a Benito 40 euros.

Pensemos que, si se hace de modo justo, 50 euros es la parte a pagar por cada comensal (pues es el dinero que pone Carlos). Como eran 3 comensales, el precio del cocido sería 150 euros.

El que aportó 200 gramos de garbanzos, representaría 60 euros (regla de tres) y él comió por valor de 50 euros, por lo tanto ha de cobrar 10 euros como compensación, que es la diferencia.

El que aportó 300 gramos, representan 90 euros (regla de tres) y como comió por valor de 50 euros, ha de cobrar 40 euros.

26.- La fiesta: Expresando los porcentajes en forma de fracción simplificada nos encontramos con que de los mayores de edad:

no fuman  = %  y no beben  = %

Estas son las estadísticas en forma de fracciones, pero el número de mayores de edad debe ser un número entero.

Por tanto, el número de mayores de edad debe ser múltiplo de 37 y de 99 y, por consiguiente, de su mínimo común múltiplo, que es 3663.

Como el número de personas en total es de 4000, el número de menores de edad debe ser:

 4000 - 3663 = 337

27.- Pesando bombones: Ponemos en la báscula 1 bombón de la 1ª caja, 2 de la 2ª caja, 3 de la 3ª,......, y 10 de la 10ª caja.

Si no hubiera ninguna caja defectuosa el peso total debería ser:

 100+90+80+70+60+50+40+30+20+10=550.

 Si obtenemos 549 gramos, la caja defectuosa es la 1ª.

Si obtenemos 548 gramos, la caja defectuosa es la 2ª.

Si obtenemos 547 gramos, la caja defectuosa es la 3ª.

Y así sucesivamente, sabremos con seguridad cual es la caja defectuosa.

28.- Relojes de arena: Antes de que empiece la carrera ponemos en marcha los dos relojes de arena a la vez. Cuando acabe el de 3 minutos, le damos la vuelta. Cuando pasen los 2 minutos que faltaban en el de 5, ponemos el de 3 minutos en sentido horizontal (para que no pase arena). Solo tenemos que esperar a que den la orden de salida: en ese momento levantamos el de 3 minutos para que pase el minuto que faltaba, y después le damos la vuelta, para sumar 4 minutos.

29.- El ladrillo: Un ladrillo pesa 4 kilos, luego ladrillo y medio pesará 6 kilos.

30.- Viajes: Hice 3 viajes en total (uno a cada destino).

31.- La supermosca: Puesto que los dos trenes llevan la misma velocidad se chocarán en la mitad del trayecto, es decir, cada uno recorre 50 Km. En consecuencia, como su velocidad es de 50 km/h tardan exactamente 1 hora en chocar. Este es el tiempo que pasa volando la mosca, y por lo tanto, como su velocidad es de 100 km/h, la distancia que recorrió es de 100 kilómetros.

32.- El perro, la oveja y la berza: Primero pasa con la oveja y la deja en la otra orilla. Vuelve para coger al lobo y lo deja en la otra orilla, recogiendo a su vez a la oveja (para que no se la coma el lobo). Vuelve de nuevo con la oveja a la orilla de partida, y la deja allí, cogiendo en su lugar la berza. Lleva la berza con el lobo. Vuelve a por la oveja y asunto concluido.

33.- Las tres pesadas: Primero ponemos 8 monedas en cada platillo: si la balanza se equilibra entonces la falsa está en las 8 que no hemos puesto, pero si un grupo pesa menos en él estaría la falsa. En cualquier caso hemos reducido el grupo de monedas a 8. En la segunda pesada, colocamos 3 monedas en cada platillo: si se equilibran, la falsa estará en el grupo de 2 monedas y si no en el grupo de 3 monedas que pese menos. En la tercera pesada, si tenemos 2 monedas ponemos una en cada platillo y ya está; si tenemos 3 monedas ponemos una en cada platillo: si se equilibran la falsa es la tercera y si no la que pese menos.

34.- Las cajas de Mc'nugets: Se comprueba fácilmente que es imposible vender 43 mc'nuggets pero sí se pueden vender 44, 45, 46, 47, 48 y 49 y en consecuencia cualquier número posterior (basta añadir las cajas de 6 que hagan falta, a uno de dichos 6 números). Por lo tanto, a partir de 44 mc'nuggets se puede vender cualquier número.

36.- Las tres hijas: Si escribimos todas las ternas de 3 números naturales cuyo producto es 36 (8 ternas en total), obtenemos que sus sumas solo se repiten en las ternas (1,6,6) y (2,2,9) que suman 13. Como al encuestador le faltaban datos, la solución debe ser una de estas. Puesto que hay una hija mayor, la solución solo puede ser (2,2,9).

37.- ¿De qué color es el oso?: El oso será blanco, por encontrarse el cazador en el polo Norte.

38.- Un problema de peso: El problema se reduce a encontrar 4 números naturales tales que cualquier número natural desde 1 hasta 40 se pueda obtener sumando o restando algunos de esos 4 números. Una de las soluciones (desconozco si será o no única) es  1 , 3 , 9 , 27

39.- Vamos a proceder a la demostración:

1 = 1

1 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1

0,3333... + 0,3333... + 0,3333... = 1

y si sumamos:

0,9999... = 1

40.- Demostración de que:

1 = 2

Suponemos que a = b. Entonces, si multiplicamos por b ambos lados de la ecuación:

ab = b²
a²-ab = a² - b²
a(a-b) = (a+b)(a-b)
a = (a+b)

como a = b; sustituyendo b:

a = (a+a)
a = 2a
1 = 2

dónde está el fallo?