¿Qué es el saber geométrico?

Le proponemos pensar en el problema siguiente

Éste es un problema del espacio físico, para anticipar su solución se necesitan conocimientos geométricos. Una manera eficiente para resolverlo es modelizar los vidrios por medio de rombos, para lo cual conviene elegir las medidas de las diagonales y no la de los lados y aplicar las propiedades geométricas pertinentes de esa figura.

Éste es un problema del espacio físico. El espacio físico es el que nos rodea. El espacio geométrico se constituye en parte como una modelización del espacio del espacio físico; nos permite comprender o prever ciertos fenómenos.

Los saberes geométricos nacen tanto de problemas tomados de la realidad (por ejemplo el Teorema de Thales habría nacido de la necesidad de calcular la altura de monumentos) como de aquellos provenientes de la teoría (muchas propiedades nacieron de la investigación de problemas internos a la teoría y no tienen ninguna relación con la realidad).

Así, los conocimientos acerca de las diagonales del rombo necesarios para resolver el problema del vidriero también pueden adquirir sentido en la resolución de un problema geométrico, como la construcción de un rombo con regla no graduada y compás.

Los problemas de geometría se basan en un espacio que no es sólo el espacio físico sino un espacio conceptualizado donde los objetos son representados por figuras. La validación no se hace recurriendo al dibujo, sino por la ausencia de contradicción en el razonamiento.

La geometría con el aporte de los griegos (siglo III a. C.) se ha edificado a partir de axiomas, organizándose deductivamente, de modo que una verdad se obtiene como consecuencia de otras.

¿Qué lugar ocupan las representaciones en el estudio de la geometría?

Las representaciones gráficas o los objetos concretos son una guía para comprender las propiedades de las figuras geométricas. Pero su uso abusivo puede llevar a establecer conclusiones falsas. Es el caso de los alumnos que no reconocen un cuadrado en un dibujo como el que se muestra, en el que las diagonales son paralelas a los bordes de la hoja, y lo consideran rombo solamente por la posición que ocupa y no por las propiedades.

Las representaciones pueden ser más o menos precisas, según el objetivo de la misma. Si se hace un dibujo para razonar sobre él, no se necesitará demasiada precisión; en cambio si se hace un croquis de una maquinaria para la industria, el dibujante tratará de reducir el margen de imprecisión.

El estudio de las figuras (conjunto de puntos del espacio) se sustenta en sus representaciones, ya sean objetos físicos (de cartón, madera, etc.), dibujos o esquemas. Las representaciones de las figuras del plano generalmente son gráficas (rectas, segmentos, cuadrados), por eso al hacer geometría la experiencia es, fundamentalmente, una experiencia gráfica.

Es necesario distinguir entre "dibujo" y "figura". Estas palabras en el lenguaje ordinario se usan como sinónimos, para nosotros la figura es un objeto ideal que se puede representar por un dibujo.

Las construcciones geométricas

Las construcciones geométricas son un medio para estudiar las figuras. Para construir figuras es necesario disponer de un soporte (hoja de papel, pantalla de la computadora, etc.) y de instrumentos de trazado. Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a materializar las ideas de rectas y círculos, superando y prolongando instrumentalmente nuestras facultades naturales en cuanto a la medida. Así, "la noción de circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro punto llamado centro de la circunferencia", es una idea que no puede representarse a mano alzada.

Las construcciones que se realizan con estos instrumentos permiten poner en funcionamiento propiedades geométricas.

¿ Qué conocimientos se ponen en juego y con qué procedimientos se puede resolver la siguiente actividad?

Si la enseñanza ha estado centrada básicamente en las propiedades de los lados y de los ángulos, es muy probable que surja el siguiente procedimiento:

Se hace el ángulo recto valiéndose del transportador o de la escuadra, se transporta el lado dado midiendo su longitud con la regla y luego se tantea con la regla qué punto del otro lado corresponde al extremo de la diagonal.

Por el contrario, si se plantea

¿ Qué propiedades se ponen en juego? ¿ Con qué procedimientos se puede resolver?

Es probable que surjan dos procedimientos:

1) Construir el ángulo recto trazando la mediatriz de un segmento. Transportar con compás, sobre uno de sus lados el lado dado del rectángulo. Transportar la diagonal con compás, para determinar el punto donde el extremo de ésta corta al otro lado del ángulo. Completar la figura usando rectas paralelas.

2) Sobre la diagonal dada encontrar el punto medio, trazando su mediatriz. De este modo la diagonal queda dividida en dos segmentos congruentes. Construir un triángulo isósceles cuya base sea el lado dado y los otros lados, la mitad de la diagonal. Completar.

¿Qué conocimientos se utilizaron?

En el primer procedimiento, se usan las propiedades de los lados y de los ángulos del rectángulo. El transporte de la diagonal permite controlar la longitud del otro lado del rectángulo, evitando tanteos. El ángulo recto se controla trazando la mediatriz.

En el segundo procedimiento, se utiliza la propiedad que dice que las diagonales del rectángulo se cortan mutuamente en partes iguales y son iguales.

La interacción de un alumno con una construcción geométrica permite involucrar las propiedades de las figuras que aportan la intuición o la experiencia.

La riqueza de la geometría está en los razonamientos que se hacen sobre esas figuras y en validar la ausencia de contradicciones en esos razonamientos.

¿Qué problemas tiene la enseñanza de la geometría en la actualidad?

Numerosas propuestas para la enseñanza de la geometría están basadas exclusivamente en definiciones, propiedades o "dibujos"; no son las mejores alternativas para una comprensión significativa. En la escolaridad obligatoria actual se opta generalmente por lo sensible. Haciendo abuso de las tendencias a "lo concreto", se magnifica el rol del dibujo en el aprendizaje de las nociones geométricas. Los mismos ofician como "señales" que pretenden comunicar qué es una figura y sus propiedades.

Si bien los dibujos ayudan a hacer funcionar los conocimientos que se tienen, a nivel implícito, de las nociones geométricas, en la enseñanza primaria la experiencia con dichas nociones se basa casi exclusivamente en la imagen que brindan los dibujos, llegando a transformarse estos últimos en el objeto mismo de estudio. El aprendizaje de la figura se realiza básicamente sobre lo que se "ve" y muchas propiedades no tienen otra función más que una mera enumeración, por consiguiente hay una pérdida importante de significado.

Así, cuando se trata de enseñar los cuerpos geométricos, las actividades que se propone habitualmente son : dibujar el cuerpo en perspectiva e identificar sus elementos.

La relación que se propone con los dibujos es muy particular, ya sea en el aula como en los textos de uso escolar. Para que el alumno pueda reconocer figuras se le suministra "modelos" que pueden considerarse "figuras prototípicas", es decir, figuras que resultan en su mayoría semejantes, de áreas similares y en la misma posición. El alumno almacena en su memoria a lo largo del tiempo estos "prototipos", que siempre se refieren a casos particulares. Eso explicaría las dificultades de reconocimiento cuando las figuras no están en la posición habitual o cuando la relación de las dimensiones es muy diferente a las de las figuras prototípicas almacenadas. Por ejemplo, algunos alumnos no reconocen un trapecio en esta figura:

No se descarta la incorporación del dibujo en la enseñanza, sin embargo es necesario considerar los alcances y límites de sus usos en la planificación de situaciones de enseñanza.

Otra característica de la enseñanza de la geometría en la actualidad es la forma de presentación de las nociones. En muchos casos, el maestro "muestra" los elementos y relaciones constitutivos de la noción que quiere enseñar; mientras que el alumno observa, escucha y realiza tareas de las cuales ya tiene el modelo.

En esta presentación se descuida el tratamiento del sentido de las nociones, los saberes no aparecen como herramientas para resolver un problema que se le plantea a los alumnos. El alumno debe aplicar lo que el maestro explicó previamente; de este modo las nociones van perdiendo el sentido para el alumno porque el conocimiento no se obtiene por ser una solución adecuada al problema, sino que se usa por una exigencia del maestro.

¿Cómo organizar la enseñanza de la geometría en la escuela?

La lectura de los CBC nos permite comprender el alcance de los contenidos en cada nivel. En el primer ciclo el abordaje de la geometría se hace básicamente por medio de los "saber hacer", del reconocimiento de las figuras y sus propiedades y de la ubicación en el espacio. En el segundo ciclo, las construcciones geométricas contribuyen al estudio de las propiedades de las figuras y la validación se hace en base al uso de propiedades; en el tercero, el abordaje es básicamente teórico.

Los contenidos se dividen en conceptuales, procedimentales y actitudinales. Los contenidos conceptuales designan mediante títulos del tipo "Cuerpos", "Figuras Planas", "Simetría axial y central" las obras matemáticas que se deben aprender en la EGB.. ¿Pero hasta qué punto hay que "entrar" en estas obras? ¿Qué es lo que se debe ser capaz de hacer con ellas? Los contenidos procedimentales intentan responder a estas preguntas dando algunas indicaciones sobre el tipo de actividades que los alumnos deben aprender a realizar con los elementos anteriores.

Finalmente, los contenidos actitudinales indican de una manera más global la valorización que se hace de las obras matemáticas y de la actividad matemática.

Se trata de aprender geometría con sentido. El sentido de un conocimiento está estrechamente ligado a las nociones necesarias para resolver un problema. La situación puede ser tomada de la vida cotidiana, como lo es para el vidriero construir un rombo.

En la escuela con la finalidad de dar sentido a las nociones es muy habitual proponer problemas que "evocan la realidad". Por ejemplo:

Pero también puede proponerse problemas que no hagan ninguna referencia a la "vida cotidiana". Así, siguiendo con el rombo, se puede proponer:

¿ Qué decisiones tiene que tomar el alumno para resolver cada uno de estos problemas?

En el primero, puede recurrir a la figura prototípica de rombo, ubicar convenientemente las diagonales usando las medidas y completar la figura.

En el segundo, debe decidir cuáles son los datos que le conviene pedirle al maestro.

Si la enseñanza ha estado centrada en mostrar excesivamente las figuras protototípicas, es muy probable que los alumnos pidan las medidas de los lados, información que resulta insuficiente para resolver el problema. En esta caso, para tener éxito se hace necesario anticipar cómo funcionan los datos en el procedimiento de construcción.

En este último problema los alumnos tienen que interactuar no sólo con las figuras prototípicas, sino también con las propiedades y procedimientos. De este modo el concepto de rombo toma más sentido que en el caso anterior, aunque se trate de un problema que no es "de la vida cotidiana".

¿Cuáles son los objetivos de la enseñanza de la geometría en los diferentes ciclos?

1. Primer ciclo

Las actividades de geometría en el primer ciclo deben tomar en cuenta todo lo que hace a la relación del niño con el espacio; le deben permitir coordinar las informaciones que obtiene del entorno a partir de los sentidos, con su acción y con la palabra.

Se trata de favorecer el dominio de los "saber hacer" que puedan utilizarse para identificar una figura, más que dar una definición. Es indispensable que los alumnos de este nivel acumulen experiencia sensible y comiencen a adquirir algunos saberes hacer.

Por ejemplo para ubicar figuras planas en un encaje es necesario que los alumnos las reconozcan e identifiquen determinadas propiedades.

Los encajes consisten en un cartón en el que se han hecho perforaciones con la forma de las figuras que se quiere estudiar. Los niños disponen de las figuras y del cartón agujereado. Deberán reubicar cada figura en el lugar de donde fue recortada. Esta situación podrá ser el punto de partida de actividades de clasificación.

Luego el maestro podrá pedir a los niños que anticipen qué figuras corresponden a qué hueco, con la finalidad de hacer evolucionar el procedimiento de "ensayo error" pensando en las propiedades de las figuras.

2. Segundo ciclo

Las actividades del segundo ciclo se centrarán el trabajo sobre las construcciones geométricas y el lenguaje. En el caso de figuras del plano, éstas se harán sobre papel liso y usando instrumentos geométricos, en particular la regla y el compás. Para ello es importante actuar en dos direcciones que se enriquecen mutuamente:

- un trabajo que corresponde al "saber hacer", reflexionando sobre las propiedades usadas;
- un trabajo que corresponde a su fundammentación usando propiedades.

Un ejemplo es la siguiente actividad:

La actividad consiste en la construcción de triángulos en situación de emisor-receptor. Permite, por la simplicidad de su enunciado, la participación de todos los alumnos sin excepción.

Es importante decir a los niños que los miembros de una pareja son compañeros y no adversarios; se evita así que un niño intente "embromar" a su compañero, se trata por el contrario de desarrollar en cada pareja el deseo de tener éxito en la construcción.

Se permite cualquier redacción para el mensaje, lo único importante es que éste sea lo suficientemente claro para permitir la construcción del triángulo original.

La situación de comunicación genera la necesidad de usar el vocabulario geométrico y pone en evidencia la ventaja de usar la notación geométrica de recta, segmento, ángulo, triángulo, altura, mediana... Esta situación genera también la necesidad de usar instrumentos de geometría.

La confrontación de los procedimientos utilizados se puede hacer a partir de la lectura de algunas hojas elegidas entre las más interesantes. Se eligen triángulos bien y mal reproducidos.

El maestro podrá institucionalizar que para reproducir un triángulo no se necesita toda la descripción, es suficiente con dar:

- la longitud de los tres lados; o

- la longitud de dos lados y el ángulo comprendido; o

- dos ángulos y el lado comprendido (para aquellos que saben medir ángulos);

- hay que usar compás cuando no se sabe en qué dirección ubicar la regla.

3. Tercer ciclo

En el tercer ciclo se trata de favorecer en los alumnos el pasaje de la realidad espacial al modelo geométrico. Para ello se trabajará fundamentalmente sobre la organización de la información suministrada (elaboración de enunciados, datos de una construcción, etc.), como también sobre las condiciones necesarias y suficientes, sobre demostraciones de teoremas y para prever la posibilidad de la realización efectiva o no de las construcciones de figuras usando el método deductivo.

Esta actividad tiene las mismas características que la anterior, pero se introduce la condición de producir el mensaje más corto posible.

Dicha condición tiene como finalidad que los alumnos evolucionen hacia el uso de las condiciones necesarias y suficientes para definir una figura y genera también un cambio en el tipo de validación; no se trata solamente de comparar las figuras obtenidas, sino también de argumentar que efectivamente se ha encontrado el mensaje más corto.

Se hizo referencia hasta aquí a los contenidos ligados a las figuras. En cuanto a las nociones espaciales de ubicación y orientación que en el primer ciclo contribuyen al dominio del espacio tienen su continuidad en el segundo ciclo en la ubicación de puntos en el plano y en el tercero a través de la ubicación de puntos mediante tres coordenadas cartesianas. Es importante trabajar también la ubicación a partir de coordenadas polares o esféricas, es decir con la ayuda de mediciones angulares. Estos conceptos se integran con algunos de astronomía y cosmografía y conducen a la utilización de algunas nociones trigonométricas.

Los movimientos o transformaciones geométricas como las simetrías, rotaciones, traslaciones y semejanzas podrán estudiarse en el primer ciclo a partir de actividades de papeles pintados, plegados, ... Estos conceptos se complejizan con la realización de construcciones en el segundo ciclo para ser tratadas como funciones en el tercer ciclo.

El vocabulario geométrico también evoluciona con el nivel de los alumnos. En el primer ciclo podrán utilizarse términos convencionales ocasionales que sirvan para distinguir un objeto matemático. En el segundo ciclo habrá que introducir el vocabulario convencional, aunque limitado; reservando para el tercer ciclo mayor precisión en la designación y notación convencional.

¿Cómo transformar los objetivos en proyecto de enseñanza?

La propuesta es partir de problemas espaciales para introducir los conceptos de geometría de manera que éstos aparezcan como instrumentos privilegiados para anticipar la solución espacial.

En el espacio sensible, el alumno controla sus relaciones efectivas de manera continua con la ayuda de los cinco sentidos. Es deseable que el alumno pase de un control empírico a un control por medio de razonamientos.

El planteo de situaciones que impliquen actividades de clasificar, reproducir, construir y describir convencionalmente figuras de una, dos o tres dimensiones le permitirá al alumno enriquecer sus experiencias y apoyarse sobre su saber empírico para estructurar el saber geométrico.

1. ¿Qué se entiende por reproducción?

Para la reproducción de una figura geométrica bidimensional o tridimensional el alumno dispone de un objeto físico y debe realizar otro identificable con el modelo. Con esta finalidad podrán utilizarse diversos materiales y diversas técnicas: plastilina, sorbetes, cartón para reproducir cuerpos; técnicas de plegado, modelado, recortado, uso de papeles blancos, cuadriculados, carbónicos, etc.

La validación en este tipo de actividad es empírica, generalmente se hace por comparación o superposición con el modelo. Una puesta en común de lo realizado puede hacer intervenir las propiedades puestas en juego.

2. ¿Qué se entiende por construcción?

La construcción de una figura o cuerpo usando instrumentos geométricos es una acción en la que los alumnos parten de una descripción y no del objeto mismo; para la realización es necesario el uso de propiedades.

Las construcciones geométricas son en la enseñanza, un campo propicio para plantear situaciones de aprendizaje donde las nociones adquieren sentido por ser una solución adecuada al problema. Pero las construcciones también pueden ser enseñadas como algoritmos. Para que el enunciado se constituya realmente en un problema de construcción el problema tiene que ofrecer resistencia al sujeto, en relación a sus conocimientos. Es necesario prever las variables didácticas que se deben hacer jugar.

La riqueza del estudio de las construcciones no se limita a la obtención de dibujos precisos, el recitado de propiedades y la utilización de instrumentos de geometría adecuados, reside principalmente en la reflexión sobre el funcionamiento de las propiedades usadas.

Para realizar una construcción es necesario el conocimiento de las propiedades involucradas y disponer de "construcciones básicas" que hayan sido previamente enseñadas como un "saber hacer". Para el estudio de las figuras del plano en este nivel de escolaridad es deseable disponer como mínimo de las siguientes "construcciones básicas": transporte de segmentos y ángulos con compás (para el primer ciclo podría utilizarse papel); construcción de la mediatriz de un segmento con regla y compás; construcción de la bisectriz de un ángulo con regla y compás; trazado de rectas paralelas con regla y compás (también podría efectuarse transportando ángulos congruentes, mediante la construcción de mediatrices, ...).

La utilización de los diferentes instrumentos geométricos es un medio para reflexionar sobre conceptos geométricos. Además dan la ocasión de una reflexión tecnológica sobre las funciones de los distintos instrumentos.

La construcción de una figura geométrica necesita, evidentemente, de competencias manipulatorias. Por ejemplo, trazar una recta con una regla necesita tener la regla con una mano y con la otra seguir la regla con el lápiz; apoyando suficientemente el lápiz para que no se aleje de la regla, pero sin apoyar demasiado porque la regla corre el riesgo de deslizarse. La utilización del compás y de la escuadra necesitan también de competencias manipulatorias que pueden desarrollarse haciendo dibujar guardas o motivos de decoración.

La reflexión sobre las propiedades puestas en juego y sobre los saber-hacer utilizados permitirá la formulación de argumentos que aseguren la veracidad del procedimiento empleado. De este modo la validación reside principalmente en la reflexión de las propiedades usadas.

3. ¿Qué se entiende por descripción?

Describir un objeto es comunicar formulaciones utilizando el lenguaje geométrico que permitan identificarlo o reproducirlo. La descripción es entonces una actividad de comunicación donde se pasa de un objeto físico a un discurso sobre ese objeto o sobre la imagen o la representación que se ha hecho cada uno. La descripción de un objeto puede realizarse con la ayuda de procedimientos orales, escritos o gráficos. Los procedimientos evolucionan con el nivel de los alumnos y son diversos ya que pueden tomar en cuenta algunas propiedades y dejar de lado otras.

Las actividades de descripción de figuras dependen del objetivo que se persiga: el alumno puede tener necesidad de describir una figura para que sus compañeros la identifiquen entre un conjunto de figuras dadas o bien para que la reproduzcan o la construyan.

En el caso de la descripción de una figura para reproducirla o construirla es necesario determinar los elementos de la figura, las vinculaciones entre ellos, luego definir una cronología de trazados, comunicar las diferentes etapas de construcción. Para ello el alumno debe utilizar un vocabulario que le permita al interlocutor lograr la construcción.

La validación será empírica o se hará usando propiedades de acuerdo a las variables didácticas de cada situación.

Actividades de reproducción para hacer en clase

a. Los niños disponen de un cubo de plástico o madera y plastilina; eventualmente podrán tener además una espátula o un cuchillo (pueden también utilizar sólo sus manos). Deben realizar un sólido que tendrá "la misma forma", pero sin que las dimensiones o el valor de los ángulos sean perfectamente respetados. Para esta realización, a menudo se apoyan implícitamente sobre el paralelismo y lo plano de dos caras opuestas para realizar sus construcciones: las dos manos aplanan dos caras opuestas o bien una mano aplana la cara superior mientras la cara inferior descansa sobre la mesa, o también los niños, con la ayuda de la espátula, cortan para armar una cara, luego cortan "del otro lado" para obtener la cara opuesta. Pueden realizar también seis paredes "cuadradas", luego ensamblarlas para armar una "caja".

b. Se propone reproducir, por ejemplo, un paralelepípedo o una pirámide con este material (la plastilina se utiliza para unir las sorbetes). Los niños harán el "esqueleto", lo que dará lugar a reflexionar sobre las aristas y los vértices:

- una cara está bordeada por tres o cuatro aristas (son necesarios tres o cuatro sorbetes para formar una cara, según el poliedro);
- de cada vértice parten tres o más arisstas (se necesitan tres o más sorbetes y un pedacito de plastilina para formar un vértice, según el poliedro);
- en el caso del paralelepípedo, las ariistas son paralelas 4 a 4;
- en el caso del paralelepípedo, hay ochho vértices y doce aristas (se necesitan ocho pedacitos de plastilina y doce sorbetes para construirlo).

c. Se trabaja usando poliedros diversos, cubos, paralelepípedos, pirámides, prismas, cilindros, conos, conos truncados ...; cartón para realizar los cuerpos, tijeras, reglas, escuadras.

Cada niño dispone de un cuerpo que debe reproducirlo en cartón.

Pueden aparecer diferentes procedimientos:

* trazar los contornos de cada una de las caras del cuerpo, recortarlas, ensamblarlas con cinta adhesiva;
* hacer rodar el cuerpo y proponer contornos;
* tomar las impresiones de las caras;

Durante el trabajo el maestro puede observar cómo se conducen los niños en cuanto al procedimiento de construcción, a la utilización y al manejo de los instrumentos. En la síntesis podrá institucionalizar el las propiedades y el vocabulario usado.

Actividades que permiten poner en juego las primeras competencias referidas a la construcción de cuerpos

Las actividades de reproducción pueden haberse trabajado previamente.