Organización de Estados
Iberoamericanos
Para la Educación, la Ciencia y la Cultura
Las notas que siguen contienen una serie de observaciones personales sobre algunos aspectos del panorama actual de la educación matemática, que, por diversas razones que intentaré explicar, distan mucho de haber alcanzado una fase de estabilidad. En su conjunto, parece que la educación matemática, por su propia naturaleza, como se indica en la Sección 1, deba ser uno de esos temas complicados que haya de permanecer en constante revisión. En la Sección 2 se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas vías menos deseables en las que la enseñanza matemática se introdujo en un pasado reciente. La Sección 3 se dedica a apuntar algunas tendencias generales que señalan las líneas de trabajo más llamativas en la actualidad. De estas tendencias se derivan de forma natural, por una parte algunos cambios en los principios metodológicos que deberían guiar la enseñanza y aprendizaje de nuestros días, lo que se presenta en la Sección 4 ,y por otra cambios en los contenidos mismos de nuestra educación, más acordes con las finalidades que hoy se pretenden, tal como queda explicado en la Sección 5. Finalmente la Sección 6 presenta unos pocos proyectos que, a mi parecer, sería deseable que nuestra comunidad matemática fuese realizando para conseguir una educación más sana y eficaz. La bibliografía al final del trabajo remite a unos pocos artículos clave, cuyas bibliografías extensas pueden servir como fuente de información más profunda.
La matemática es una actividad vieja y polivalente. A
lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos.
Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de
los pueblos mesopotamios. Se consideró como un medio de aproximación a una
vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad,
entre los pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento disciplinador
del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la más versátil e idónea herramienta
para la exploración del universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una
magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores del
racionalismo y filósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación
de belleza artística, un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de
todos los tiempos,...
Por otra parte la matemática misma es una ciencia
intensamente dinámica y cambiante. De manera rápida y hasta turbulenta en sus
propios contenidos. Y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más
lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede
ser una realidad de abordaje sencillo.
El otro miembro del binomio educación-matemática, no
es tampoco nada simple. La educación ha de hacer necesariamente referencia a lo
más profundo de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en
evolución en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta
sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en
el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a
esta educación se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente
variadas,...
La complejidad de la matemática y de la educación
sugiere que los teóricos de la educación matemática, y no menos los agentes
de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios
profundos que en muchos aspectos la dinámica rápidamente mutante de la situación
global venga exigiendo.
La educación, como todo sistema complejo, presenta
una fuerte resistencia al cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable
persistencia ante las variaciones es la característica de los organismos vivos
sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación
ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.
En la educación matemática a nivel internacional
apenas se habrían producido cambios de consideración desde principios de siglo
hasta los años 60. A comienzos de siglo había tenido lugar un movimiento de
renovación en educación matemática, gracias al interés inicialmente
despertado por la prestigiosa figura del gran matemático alemán Felix Klein,
con sus proyectos de renovación de la enseñanza media y con sus famosas
lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908).
En nuestro país ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el interés de
Rey Pastor, quien publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al
castellano.
En los años 60 surgió un fuerte movimiento de innovación. Se puede afirmar con razón que el empuje de renovación de aquél movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha traído consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido con todo la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolución del sistema educativo en matemáticas a todos los niveles. Los cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy día, podemos afirmar con toda justificación que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.
Los últimos treinta años han sido escenario de
cambios muy profundos en la enseñanza de las matemáticas. Por los esfuerzos
que la comunidad internacional de expertos en didáctica sigue realizando por
encontrar moldes adecuados está claro que vivimos aún actualmente una situación
de experimentación y cambio.
El movimiento de renovación de los años 60 y 70
hacia la "matemática moderna" trajo consigo una honda transformación
de la enseñanza, tanto en su talante profundo como en los contenidos nuevos con
él introducidos. Entre las principales características del movimiento y los
efectos por él producidos se pueden contar los siguientes:
- Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas
áreas, especialmente en álgebra.
- Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la
comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos.
- Esto último condujo de forma natural al énfasis en
la fundamentación a través de las nociones iniciales de la teoría de
conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor es fácilmente
alcanzable.
- La geometría elemental y la intuición espacial
sufrió un gran detrimento. La geometría es, en efecto, mucho más difícil de
fundamentar rigurosamente.
- Con respecto a las actividades fomentadas, la
consecuencia natural fue el vaciamiento de problemas interesantes, en los que la
geometría elemental tanto abunda, y su sustitución por ejercicios muy cercanos
a la mera tautología y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo
que el álgebra puede ofrecer a este nivel elemental.
En los años 70 se empezó a percibir que muchos de
los cambios introducidos no habían resultado muy acertados. Con la sustitución
de la geometría por el álgebra la matemática elemental se vació rápidamente
de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuición
espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometría
de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las
personas que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los
inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada "matemática
moderna" superaron con mucho las cuestionables ventajas que se había
pensado conseguir como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las
estructuras matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática
contemporánea...
Los años 70 y 80 han presentado una discusión, en
muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las
tendencias presentes, y luego una búsqueda intensa de formas más adecuadas de
afrontar los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte de la comunidad
matemática internacional.
A continuación quisiera dirigir mi atención sucesivamente sobre los aspectos más interesantes, a mi parecer, de esta búsqueda y de algunas respuestas parciales que van surgiendo en el panorama educativo de la matemática.
La filosofía prevalente sobre lo que la actividad
matemática representa tiene un fuerte influjo, más efectivo a veces de lo que
aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseñanza matemática.
La reforma hacia la "matemática moderna" tuvo lugar en pleno auge de
la corriente formalista (Bourbaki) en matemáticas. No es aventurado pensar a
priori en una relación causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas
especialmente influyentes en el movimiento didáctico , como Dieudonn, fueron
importantes miembros del grupo Bourbaki. En los últimos quince años,
especialmente a partir de la publicación de la tesis doctoral de I. Lakatos
(1976), Proofs and refutations, se han producido cambios bastante profundos en
el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemático.
La actividad científica en general es una exploración
de ciertas estructuras de la realidad, entendida ésta en sentido amplio, como
realidad física o mental. La actividad matemática se enfrenta con un cierto
tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que
incluyen:
a) una simbolización adecuada, que permite presentar
eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja
b) una manipulación racional rigurosa, que compele al
asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida
c) un dominio efectivo de la realidad a la que se
dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se
pretende, de la realidad exterior modelada
La antigua definición de la matemática como ciencia
del número y de la extensión, no es incompatible en absoluto con la aquí
propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemática en que el
enfrentamiento con la realidad se había plasmado en dos aspectos fundamentales,
la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al número, a
la aritmética) y la complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la
geometría, estudio de la extensión). Más adelante el mismo espíritu matemático
se habría de enfrentar con:
- la complejidad del símbolo (álgebra)
- la complejidad del cambio y de la causalidad
determinística (cálculo)
- la complejidad proveniente de la incertidumbre en la
causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística)
-complejidad de la estructura formal del pensamiento
(lógica matemática)...
La filosofía de la matemática actual ha dejado de
preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los
problemas de fundamentación de la matemática, especialmente tras los
resultados de Gödel a comienzos de los años 30, para enfocar su atención en
el carácter cuasiempírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como
en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática en la
cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la
matemática como un subsistema cultural con características en gran parte
comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y
del sentir mismo de los matemáticos sobre su propio quehacer vienen provocando,
de forma más o menos consciente, fluctuaciones importantes en las
consideraciones sobre lo que la enseñanza matemática debe ser.
La educación matemática se debe concebir como un
proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemático,
a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en
la forma peculiar de ver las cosas característica de la escuela en la que se
entronca. Como vamos a ver enseguida, esta idea tiene profundas repercusiones en
la manera de enfocar la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
En los años 80 hubo un reconocimiento general de que
se había exagerado considerablemente en las tendencias hacia la "matemática"
moderna en lo que respecta al énfasis en la estructura abstracta de la matemática.
Es necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación
operativa del espacio y de los mismos símbolos. Es preciso no abandonar la
comprensión e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos
permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo plano los
contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemáticos.
Si la matemática es una ciencia que participa mucho más de lo que hasta ahora
se pensaba del carácter de empírica, sobre todo en su invención, que es mucho
más interesante que su construcción formal, es necesario que la inmersión en
ella se realice teniendo en cuenta mucho más intensamente la experiencia y la
manipulación de los objetos de los que surge. La formalización rigurosa de las
experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cada fase de
desarrollo mental, como a cada etapa histórica o a cada nivel científico, le
corresponde su propio rigor.
Para entender esta interacción fecunda entre la
realidad y la matemática es necesario acudir, por una parte, a la propia
historia de la matemática, que nos desvela ese proceso de emergencia de nuestra
matemática en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemática,
que nos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello se
hace obvio cómo la matemática ha procedido de forma muy semejante a las otras
ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas
veces fructuosas, otras estériles, hasta que va alcanzando una forma más
madura, aunque siempre perfectible. Nuestra enseñanza ideal debería tratar de
reflejar este carácter profundamente humano de la matemática, ganando con ello
en asequibilidad, dinamismo, interés y atractivo.
Una de las tendencias generales más difundidas hoy
consiste en el hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento
propios de la matemática más bien que en la mera transferencia de contenidos.
La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método
claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran
importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la
psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de
problemas.
Por otra parte, existe la conciencia, cada vez más
acusada, de la rapidez con la que, por razones muy diversas, se va haciendo
necesario traspasar la prioridad de la enseñanza de unos contenidos a otros. En
la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos
encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento,
que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos
proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual tan
rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles
que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó
"ideas inertes", ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces
de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de
abordar los problemas del presente.
En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos
por transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la resolución de
problemas en general, por estimular la resolución autónoma de verdaderos
problemas, más bien que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada
materia.
La aparición de herramientas tan poderosas como la
calculadora y el ordenador actuales está comenzando a influir fuertemente en
los intentos por orientar nuestra educación matemática primaria y secundaria
adecuadamente, de forma que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Es
claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad,
impreparación de profesores, hostilidad de algunos,... aún no se ha logrado
encontrar moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes
del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de
enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas.
El acento habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de
los procesos matemáticos más bien que en la ejecución de ciertas rutinas que
en nuestra situación actual, ocupan todavía gran parte de la energía de
nuestros alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que
en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para
el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos
ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.
Una preocupación general que se observa en el
ambiente conduce a la búsqueda de la motivación del alumno desde un punto de
vista más amplio, que no se limite al posible interés intrínseco de la matemática
y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la
evolución de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una
parte, y la matemática, por otra, se han proporcionado.
Cada vez va siendo más patente la enorme importancia
que los elementos afectivos que involucran a toda la persona pueden tener
incluso en la vida de la mente en su ocupación con la matemática. Es claro que
una gran parte de los fracasos matemáticos de muchos de nuestros estudiantes
tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo
de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en muchos casos,
por la inadecuada introducción por parte de sus maestros. Por eso se intenta
también, a través de diversos medios, que los estudiantes perciban el
sentimiento estético, el placer lúdico que la matemática es capaz de
proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo más hondamente personal
y humano.
En nuestro ambiente contemporáneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanización de la ciencia, a la despersonalización producida por nuestra cultura computarizada, es cada vez más necesario un saber humanizado en que el hombre y la máquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educación matemática adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.
A la vista de estas tendencias generales apuntadas en
la sección anterior se pueden señalar unos cuantos principios metodológicos
que podrían guiar apropiadamente nuestra enseñanza.
¿Cómo debería tener lugar el
proceso de aprendizaje matemático a cualquier nivel? De una forma semejante a
la que el hombre ha seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo
parecido al que el matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de
matematización de la parcela de la realidad de la que se ocupa.
Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con
la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que
queremos explorar con nuestros alumnos. Para ello deberíamos conocer a fondo el
contexto histórico que enmarca estos conceptos adecuadamente. ¿Por qué
razones la comunidad matemática se ocupó con ahínco en un cierto momento de
este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploración tal vez por un período
de siglos? Es extraordinariamente útil tratar de mirar la situación con la que
ellos se enfrentaron con la mirada perpleja con que la contemplaron
inicialmente. La visión del tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros
de texto se parece en demasiadas ocasiones a una novela policiaca que aparece ya
destripada desde el principio por haber comenzado contando el final. Contada de
otra forma más razonable podría ser verdaderamente apasionante.
Normalmente la historia nos proporciona una magnífica
guía para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido
los conceptos importantes de la materia, nos da luces para entender la razón
que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la
evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente
el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes
que de ellas han podido surgir, la situación reciente de las teorías que de
ellas han derivado,...
En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede
hacer a través del intento directo de una modelización de la realidad en la
que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemáticas en cuestión.
Se pueden acudir para ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemáticas,
a circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la presentación de juegos
tratables matemáticamente, de los que en más de una ocasión a lo largo de la
historia han surgido ideas matemáticas de gran profundidad, como veremos más
adelante.
Puestos con nuestros estudiantes delante de las
situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas con las
que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su búsqueda autónoma, su
propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de
problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo
natural.
Es claro que no podemos esperar que nuestros alumnos
descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró tal vez a lo largo
de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que
la búsqueda con guía, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo
alcanzable en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como la
detección de técnicas concretas, de estrategias útiles de pensamiento en el
campo en cuestión y de su transmisión a los estudiantes.
La teoría, así concebida, resulta llena de sentido,
plenamente motivada y mucho más fácilmente asimilable. Su aplicación a la
resolución de los problemas, que en un principio aparecían como objetivos
inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer
intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de
una fuerte atracción hacia la matemática.
A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de
la matemática, debería formar parte indispensable del bagaje de conocimientos
del matemático en general y del profesor de cualquier nivel, primario,
secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este último, no sólo
con la intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza,
sino primariamente porque la historia le puede proporcionar una visión
verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele estar
también el matemático muy necesitado.
La visión histórica transforma meros hechos y
destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosamente y en
muchas ocasiones con genuina pasión por hombres de carne y hueso que se
alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. Cuántos de esos
teoremas, que en nuestros días de estudiantes nos han aparecido como verdades
que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto
para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría, después de
haberla estudiado más a fondo, incluido su contexto histórico y biográfico.
La perspectiva histórica nos acerca a la matemática
como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones
falible, pero capaz también de corregir sus errores. Nos aproxima a las
interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo
largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas.
Desde el punto de vista del conocimiento más profundo
de la propia matemática la historia nos proporciona un cuadro en el que los
elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran
enriquecimiento tanto para el matemático técnico, como para el que enseña. Si
cada porción de conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara
escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna
aproximación, veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de la
misma página o del mismo párrafo. Conjuntos, números naturales, sistemas de
numeración, números racionales, reales, complejos,... decenas de siglos de
distancia hacia atrás, hacia adelante, otra vez hacia atrás, vertiginosamente.
No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal
circunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico, ni
tampoco el orden didáctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor
debería saber cómo han ocurrido las cosas, para:
- comprender mejor las dificultades del hombre genérico,
de la humanidad, en la elaboración de las ideas matemáticas, y a través de
ello las de sus propios alumnos
- entender mejor la ilación de las ideas, de los
motivos y variaciones de la sinfonía matemática
- utilizar este saber como una sana guía para su
propia pedagogía.
El conocimiento de la historia proporciona una visión
dinámica de la evolución de la matemática. Se puede barruntar la motivación
de las ideas y desarrollos en el inicio. Ahí es donde se pueden buscar las
ideas originales en toda su sencillez y originalidad, todavía con su sentido de
aventura, que muchas veces se hace desaparecer en los textos secundarios. Como
dice muy acertadamente O. Toeplitz: "Con respecto a todos los temas básicos
del cálculo infinitesimal... teorema del valor medio, serie de Taylor,...nunca
se suscita la cuestión ¿Por qué así precisamente? o ¿Cómo se llegó a
ello? Y sin embargo todas estas cuestiones han tenido que ser en algún tiempo
objetivos de una intensa búsqueda, respuestas a preguntas candentes...Si volviéramos
a los orígenes de estas ideas, perderían esa apariencia de muerte y de hechos
disecados y volverían a tomar una vida fresca y pujante".
Tal visión dinámica nos capacitaría para muchas
tareas interesantes en nuestro trabajo educativo:
- posibilidad de extrapolación hacia el futuro
- inmersión creativa en las dificultades del pasado
- comprobación de lo tortuoso de los caminos de la
invención, con la percepción de la ambigüedad, obscuridad, confusión
iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos...
Por otra parte el conocimiento de la historia de la
matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos hace
plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir,
dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales,
prejuicios del momento,... así como de los mutuos y fuertes impactos que la
cultura en general, la filosofía, la matemática, la tecnología, las diversas
ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos
matemáticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes,
por la forma misma en que la matemática suele ser presentada, como si fuera
inmune a los avatares de la historia.
Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea
sumergirse en la investigación matemática como para el que quiere dedicarse a
sus aplicaciones o a la enseñanza, la historia de la matemática suele estar
totalmente ausente de la formación universitaria en nuestro país. A mi parecer
sería extraordinariamente conveniente que las diversas materias que enseñamos
se beneficiaran de la visión histórica, como he dicho arriba, y que a todos
nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve panorama global del
desarrollo histórico de la ciencia que les va a ocupar toda su vida. Mientras
llega una situación razonable yo me atrevería a aconsejar:
- la lectura atenta de algunos de los numerosos y
excelentes tratados de historia que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline,
Colette, Grattan-Guinness...)
- acudir, para los temas del interés particular de
cada uno, a las fuentes originales, especialmente de los clásicos
- leer las biografías de los grandes matemáticos, al
menos en la forma sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific
Biography
El valor del conocimiento histórico no consiste en
tener una batería de historietas y anécdotas curiosas para entretener a
nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino.
La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo,
para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adecuado. Quien
no tenga la más mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento
matemático ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción
rigurosamente formalizada del número complejo, se sentirá tal vez justificado
para introducir en su enseñanza los números complejos como "el conjunto
de los pares de números reales entre los cuales se establecen las siguientes
operaciones...". Quien sepa que ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran,
llegaron a dar ese rigor a los números complejos y que a pesar de ello pudieron
hacer cosas maravillosas relacionadas con ellos, se preguntará muy seriamente
acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos en la estructura
cristalizada antinatural y difícil de tragar, que sólo después de varios
siglos de trabajo llegaron a tener.
Los diferentes métodos del pensamiento matemático,
tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la geometría analítica,
el cálculo infinitesimal, la topología, la probabilidad,... han surgido en
circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en
la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino
por ejemplaridad, es muy útil resaltar.
La historia debería ser un potente auxiliar para
objetivos tales como:
- hacer patente la forma peculiar de aparecer las
ideas en matemáticas
- enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes
ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes,...
- señalar los problemas abiertos de cada época, su
evolución, la situación en la que se encuentran actualmente,...
- apuntar las conexiones históricas de la matemática
con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran
cantidad de ideas importantes.
La enseñanza a través de la resolución de problemas
es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio
general de aprendizaje activo y de inculturación mencionado en el punto 4.1. Lo
que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera
sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de
verdaderos problemas.
Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una
situación desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida otras un
tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puede llevar de una
a otra. Nuestros libros de texto están, por lo general, repletos de meros
ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser
engañosa. También en un ejercicio se expone una situación y se pide que se
llegue a otra: Escribir el coeficiente de
en el
desarrollo de
.
Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema
para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final
de una sección sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningún reto
notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver
un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la lección
primero.
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis
en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los
contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como
campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de
pensamiento eficaces.
Se trata de considerar como lo más importante:
- que el alumno manipule los objetos matemáticos
- que active su propia capacidad mental
- que ejercite su creatividad
- que reflexione sobre su propio proceso de
pensamiento a fin de mejorarlo cosncientemente
- que, a ser posible, haga transferencias de estas
actividades a otros aspectos de su trabajo mental
- que adquiera confianza en sí mismo
- que se divierta con su propia actividad mental
- que se prepare así para otros problemas de la
ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana
- que se prepare para los nuevos retos de la tecnología
y de la ciencia.
Cuáles son las ventajas de este tipo de enseñanza?
Por qué esforzarse para conseguir tales objetivos? He aquí unas cuantas
razones interesantes:
- porque es lo mejor que podemos proporcionar a
nuestro jóvenes: capacidad autónoma para resolver sus propios problemas
- porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los
procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra
cultura no se hacen obsoletos
- porque el trabajo se puede hacer atrayente,
divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo
- porque muchos de los hábitos que así se consolidan
tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas
- porque es aplicable a todas las edades.
¿En qué consiste la novedad?
No se ha enseñado siempre a resolver problemas en nuestras clase de matemáticas?
Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma
espontánea los métodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente se
ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir
en las siguientes fases:
exposición de contenidos -- ejemplos -- ejercicios
sencillos -- ejercicios más complicados -- ¿problema?
La forma de presentación de un tema matemático
basada en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o
menos del siguiente modo:
propuesta de la situación problema de la que surge el
tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...) -- manipulación
autónoma por los estudiantes -- familiarización con la situación y sus
dificultades -- elaboración de estrategias posibles -- ensayos diversos por los
estudiantes -- herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos
motivados) -- elección de estrategias -- ataque y resolución de los problemas
-- recorrido crítico (reflexión sobre eel proceso) -- afianzamiento formalizado
(si conviene) -- generalización -- nuevos problemas -- posibles transferencias
de resultados, de métodos, de ideas,...
En todo el proceso el eje principal ha de ser la
propia actividad dirigida con tino por el profesor, colocando al alumno en
situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí
mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto esfuerzo. Las
ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad,
motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas
rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido....
En mi opinión el método de enseñanza por resolución
de problemas presenta algunas dificultades que no parecen aún
satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos en
la forma práctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las
dos componentes que lo integran, la componente heurística, es decir la atención
a los procesos de pensamiento y los contenidos específicos del pensamiento
matemático.
A mi parecer existe en la literatura actual una buena
cantidad de obras excelentes cuya atención primordial se centra en los aspectos
heurísticos, puestos en práctica sobre contextos diversos, unos más puramente
lúdicos, otros con sabor más matemático. Algunas de estas obras cumplen a la
perfección, en mi opinión, su cometido de transmitir el espíritu propio de la
actitud de resolución de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas
las actitudes adecuadas para la ocupación con este tipo de actividad. Sin
embargo creo que aún no han surgido intentos serios y sostenidos por producir
obras que efectivamente apliquen el espíritu de la resolución de problemas a
la transmisión de aquellos contenidos de la matemática de los diversos niveles
que en la actualidad pensamos que deben estar presentes en nuestra educación.
Lo que suele suceder a aquellos profesores
genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisión
de los procesos de pensamiento es que viven una especie de esquizofrenia, tal
vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los que
gira su enseñanza, los contenidos y los procesos. Los viernes ponen el énfasis
en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver
con los programas de su materia, y los demás días de la semana se dedican con
sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarse
para nada de lo que el viernes pasado practicaron. Sería muy necesario que
surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran en un todo armonioso
ambos aspectos de nuestra educación matemática.
De todos modos, probablemente se
puede afirmar que quien está plenamente imbuído en ese espíritu de la
resolución de problemas se enfrentar de una manera mucho más adecuada a la
tarea de transmitir competentemente los contenidos de su programa. Por ello
considero importante trazar, aunque sea someramente, las líneas de trabajo que
se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz preparación en el tema.
La preparación para este tipo de enseñanza requiere
una inmersión personal, seria y profunda. No se trata meramente de saber unos
cuantos trucos superficiales, sino de adquirir unas nuevas actitudes que calen y
se vivan profundamente.
A mi parecer esta tarea se realiza más efectivamente
mediante la formación de pequeños grupos de trabajo. El trabajo en grupo en
este tema tiene una serie de ventajas importantes:
- proporciona la posibilidad de un gran
enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una
misma situación-problema
- se puede aplicar el mtodo desde diferentes
perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo, otras en el de
observador de su dinámica
- el grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor
que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia
que requiere
- el trabajo con otros nos da la posibilidad de
contrastar los progresos que el método es capaz de producir en uno mismo y en
otros
-el trabajo en grupo proporciona la posibilidad de
prepararse mejor para ayudar a nuestros estudiantes en una labor semejante con
mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y
personas.
Algunos de los aspectos que es preciso atender en la
práctica inicial adecuada son los siguientes:
- exploración de los diferentes bloqueos que actúan
en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una actitud sana y agradable frente
a la tarea de resolución de problemas
- práctica de los diferentes métodos y técnicas
concretas de desbloqueo
- exploración de las aptitudes y defectos propios más
característicos, con la elaboración de una especie de autorretrato heurístico
- ejercicio de diferentes métodos y alternativas
- práctica sostenida de resolución de problemas con
la elaboración de sus protocolos y su análisis en profundidad
Me parece que puede resultar útil en este punto
sugerir un posible diseño para una reunión de trabajo en grupo según un
esquema que yo mismo he practicado en diferentes ocasiones con provecho
razonable.
Un equipo de trabajo puede constar de cinco o seis
personas. Se podrían reunir una vez por semana durante un buen período, como
de un año. Una sesión típica puede durar una hora y media. La sesión tiene
dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamente importante.
La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos teórico-prácticos
del grupo.
Primera parte (media hora). Uno de los miembros del
equipo ha preparado mediante lecturas adecuadas un tema bien concreto de
naturaleza teórico-práctica, que podría consistir, por ejemplo en el estudio
de los bloqueos mentales de naturaleza afectiva. Lo expone en 20 minutos y se
establece un período de discusión, comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10
minutos.
Segunda parte (una hora). Una de las personas del
grupo va a actuar en esta segunda parte como secretario, observador y
seleccionador de problemas. Otra de ellas actuará como moderador. Los papeles
de los componentes del grupo serán desempeñados por turno en diferentes
reuniones.
El secretario para esta reunión ha elegido con
anterioridad unos cuatro o cinco problemas que propone al resto. Es conveniente
que sean verdaderos problemas, pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad
del grupo de resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo
secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas, pues
aunque durante el proceso tendrá que actuar meramente como observador, al final
deberá él mismo iluminar y complementar los resultados alcanzados por el
grupo.
Hay que recalcar que la finalidad principal de la
actividad que el grupo va a realizar puede quedar perfectamente cumplida aunque
los problemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo, desde el punto
de vista de la motivación, que los problemas elegidos, por una parte,
constituyan un verdadero reto, pero que al mismo tiempo sean susceptibles de
solución por el grupo.
La misión del secretario-observador, aparte de la
elección de los problemas, consiste en observar e ir anotando los puntos más
importantes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solución del
problema. El es el encargado de realizar el protocolo del proceso y sus
observaciones y notas han de ayudar muy sustancialmente para la reflexión final
que ha de seguir a esta etapa de trabajo. En general, permanecer en silencio,
cosa nada fácil de llevar a cabo, pero parece conveniente que intervenga en
alguna ocasión, si es necesario, por ejemplo para preguntar sobre el origen de
una nueva idea de algún componente del grupo, que probablemente se alejaría de
su memoria si se espera al período de reflexión al final del proceso.
Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o
cinco componentes del grupo uno actúa como moderador para esta reunión de
trabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesión.
La forma de proceder del grupo hacia la resolución del problema puede ser muy
variada y sería conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada
grupo elija el que mejor se le adapta.
Lo verdaderamente importante es que se cree una atmósfera
en el grupo libre de inhibiciones, libre de competitividad, en que cada uno est
deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que a primera vista
pueda parecer más estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas
iniciadas por los otros y viendo con gusto cómo los otros van perfeccionando
las ideas propuestas por l. La tarea esencial del moderador es precisamente
mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportación
del que tiende a callar demasiado e inhibiendo con suavidad la del que tiende a
hablar en exceso, animando cuando el grupo parece quedarse pegado, tratando de
abrir nuevas vías cuando todo parece cerrado...
El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según
estas cuatro fases que pueden servir como marco muy general:
- El grupo se familiariza con el problema.
- En busca de estrategias posibles.
- El grupo selecciona y lleva adelante las estrategias
que parecen más adecuadas.
- El grupo reflexiona sobre el proceso que ha seguido.
En la bibliografía al final de
estas notas se pueden encontrar varios lugares en los que he tratado de
proporcionar una descripción más detallada de esta forma de proceder.
Existe en la actualidad una fuerte corriente en
educación matemática que sostiene con fuerza la necesidad de que el
aprendizaje de las matemáticas no se realice explorando las construcciones
matemáticas en sí mismas, en las diferentes formas en que han cristalizado a
lo largo de los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del mundo
real que les dieron y les siguen dando su motivación y vitalidad.
Tal corriente está en plena consonancia con las ideas
antes desarrolladas y parece como un corolario natural de ellas. La matemática,
como hemos visto, se origina como un intento por explorar, en su peculiar modo,
las diferentes estructuras complejas que se prestan a ello. La creación del
matemático se realiza espontáneamente en este intento por dominar aspectos
matematizables de la realidad. La educación matemática debería tener por
finalidad principal la inculturación, tratando de incorporar en ese espíritu
matemático a los más jóvenes de nuestra sociedad.
Parece obvio que si nos limitáramos en nuestra
educación a una mera presentación de los resultados que constituyen el
edificio puramente teórico que se ha desarrollado en tal intento, dejando a un
lado sus orígenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones
para resolver tales problemas, estaríamos ocultando una parte muy interesante y
substancial de lo que la matemática verdaderamente es. Aparte de que estaríamos
con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelización y las
aplicaciones poseen.
La actividad matemática ha tenido desde siempre una
componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las
creaciones más interesantes que en ella han surgido.
El juego, tal como el sociólogo J. Huizinga lo
analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas características
peculiares:
- es una actividad libre, en el sentido de la paideia
griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el
provecho que de ella se pueda derivar
- tiene una cierta función en el desarrollo del
hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la
vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de
liberación, de evasión, de relajación
- el juego no es broma; el peor revientajuegos es el
que no se toma en serio su juego
- el juego, como la obra de arte, produce placer a
través de su contemplación y de su ejecución
- el juego se ejercita separado de la vida ordinaria
en el tiempo y en el espacio
- existen ciertos elementos de tensión en él, cuya
liberación y catarsis causan gran placer
- el juego da origen a lazos especiales entre quienes
lo practican
- a través de sus reglas el juego crea un nuevo
orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía.
Un breve análisis de lo que representa la actividad
matemática basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos están
bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también
juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico,
instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de
los verdaderos ejes de nuestra cultura.
Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza,
tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las
mismas características en lo que respecta a su propia práctica. Esto es
especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados
para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las
matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con
los procesos usuales de la actividad matemática.
Un juego comienza con la introducción de una serie de
reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene
definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede
proceder en el establecimiento de una teoría matemática por definición implícita:
"Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos
puntos, los del segundo rectas,..." (Hilbert, Grudlagen der Geometrie)
Quien se introduce en la práctica de un juego debe
adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas
con otras al modo como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los
primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios
elementales de un juego o de una teoría matemática.
Quien desea avanzar en el dominio del juego va
adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias que aparecen
repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de
la teoría que se hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización
con los problemas sencillos del campo.
Una exploración más profunda de un juego con una
larga historia proporciona el conocimiento de los caminos peculiares de proceder
de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias
de un nivel más profundo y complejo que han requerido una intuición especial
puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del
juego. Esto corresponde en matemáticas a la fase en la que el estudiante trata
de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han
sido creados a través de la historia. Son los procesos de las mentes más
creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en
las situaciones más confusas y delicadas.
Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la
reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de
forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto
corresponde al enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos de la
teoría.
Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear
nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivar
estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de
nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas, posiblemente con
aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemáticas y para
revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían
permanecido en la penumbra.
La matemática y los juegos han entreverado sus
caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia
de las matemáticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma
lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigüedad se
puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más
modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal,
Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,...
Del valor de los juegos para despertar el inters de
los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el gran experto
de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de
multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana
Scientific American: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un
estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia,
chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una
veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen
frívolas" (Carnaval Matemático, Prólogo).
El matemático experto comienza su aproximación a
cualquier cuestión de su campo con el mismo espíritu explorador con el que un
niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa,
con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el
placentero esfuerzo del descubrimiento. Por qué no usar este mismo espíritu en
nuestra aproximación pedagógica a las matemáticas?
A mi parecer el gran beneficio de este acercamiento lúdico
consiste en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de
colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos.
La matemática es un grande y sofisticado juego que,
además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte intelectual, que
proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes
repercusiones prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho,
como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografías
de los matemáticos más interesantes, sus relaciones con la filosofía o con
otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino puede
transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego
bien escogido.
Nuestros alumnos se encuentran intensamente
bombardeados por técnicas de comunicación muy poderosas y atrayentes. Es una
fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la enseñanza cuando tratamos
de captar una parte substancial de su atención. Es necesario que lo tengamos en
cuenta constantemente y que nuestro sistema educativo trate de aprovechar a
fondo tales herramientas como el vídeo, la televisión, la radio, el periódico,
el comic, la viñeta, la participación directa,...
Pienso que estamos aún muy lejos de saber aprovechar
para nuestra enseñanza las posibilidades abiertas a través de los medios técnicos
de los que ya disponemos actualmente. Una pequeña sugerencia práctica puede
servir de ejemplo. En nuestro entorno tenemos profesores excelentemente
preparados para servir de ejemplos sobre cómo realizar con eficacia la enseñanza
de diversas materias que resultan para la mayoría un verdadero rompecabezas,
por ejemplo la probabilidad, o sobre cómo introducir y motivar adecuadamente
temas específicos del cálculo o de la geometría a diferentes niveles. Estos
profesores se encuentran a menudo llamados a muchos lugares diferentes para que
repitan las mismas ideas sobre el tema. No sería mucho más efectivo y menos
costoso que algún organismo que no tuviera que ir en busca del provecho económico
produjera una serie de videos con estas experiencias y las hiciera asequibles a
un mayor número de personas?
En algunas regiones de nuestro país, los profesores
de los diferentes niveles se han percatado de la importancia que puede tener un
cambio efectivo que se puede realizar paulatinamente en la sociedad a través de
los medios de comunicación actuales en la percepción de lo que la matemática
es en realidad. Las experiencias son altamente satisfactorias, consiguindose en
muchos casos a través de interesantes problemas, mediante la difusión de
parcelas de la historia de la matemática o de sus aplicaciones, la involucración
de familias y poblaciones enteras en actividades que en principio tal vez fueron
planeadas para los estudiantes.
La actividad física es un placer para una persona
sana. La actividad intelectual tambin lo es. La matemática orientada como saber
hacer autónomo, bajo una guía adecuada, es un ejercicio atrayente. De hecho,
una gran parte de los niños más jóvenes pueden ser introducidos de forma
agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio razonable de
un conocimiento matemático. Lo que suele suceder es que un poco más adelante
nuestro sistema no ha sabido mantener este interés y ahoga en abstracciones
inmotivadas y a destiempo el desarrollo matemático del niño. El gusto por el
descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente motivador para superar
otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto
hay que pasar. La apreciación de las posibles aplicaciones del pensamiento
matemático en las ciencias y en las tecnologías actuales puede llenar de
asombro y placer a muchas personas más orientadas hacia la práctica. Otros se
sentirán más movidos ante la contemplación de los impactos que la matemática
ha ejercido sobre la historia y filosofía del hombre, o ante la biografía de
tal o cual matemático famoso.
Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy difícil.
Las mismas tendencias generales apuntadas en la sección
3 sugieren de forma natural unas cuantas reformas en los contenidos de los
programas que, con más o menos empuje, y en algunos casos de forma experimental
y tentativo, se van introduciendo.
La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido
predominantemente la matemática del continuo en la que el análisis, por su
potencia y repercusión en las aplicaciones técnicas, ha jugado un papel
predominante.
El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa
capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de
representación gráfica, posibilidades para la modelización sin pasar por la
formulación matemática de corte clásico,... ha abierto multitud de campos
diversos, con origen no ya en la física, como los desarrollos de siglos
anteriores, sino en otras muchas ciencias tales como la economía, las ciencias
de la organización, biología,... cuyos problemas resultaban opacos, en parte
por las enormes masas de información que había que tratar hasta llegar a dar
con las intuiciones matemáticas valiosas que pudieran conducir a procesos de
resolución de los difíciles problemas propuestos en estos campos.
Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos,
usados en las ciencias de la computación, en la informática, así como en la
modelización de diversos fenómenos mediante el ordenador, ha dado lugar a un
traslado de énfasis en la matemática actual hacia la matemática discreta.
Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar
parte con éxito de un programa inicial de matemática. La combinatoria clásica,
así como los aspectos modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la
geometría combinatoria, podrían ser considerados como candidatos adecuados. La
teoría elemental de números, que nunca llegó a desaparecer de los programas
en algunos países, podría ser otro.
Se han realizado intentos por introducir estos
elementos y otros semejantes pertenecientes a la matemática discreta en la enseñanza
matemática inicial. Sucede que esto parece ser sólo posible a expensas de
otras porciones de la matemática con más raigambre de las que no se ve bien cómo
se puede prescindir. Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemática
del futuro será bastante diferente del actual por razón de la presencia del
ordenador, aún no se ve bien claro cómo esto va a plasmarse en los contenidos
de la enseñanza primaria y secundaria.
Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras
escuelas elementales dedicar una gran energía y largo tiempo a rutinas tales
como la división de un número de seis cifras por otro de cuatro. O a la
extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras con tres
cifras decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y
rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de
interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo ha conseguido
que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía y ese tiempo están mejor
empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como
algoritmos inteligentes y profundos, pero como destrezas rutinarias son
superfluos.
En la actualidad, año 1991, en nuestra segunda enseñanza
así como en los primeros años de nuestra enseñanza universitaria, dedicamos
gran energía y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y
agilidad en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de sistemas
lineales, multiplicación de matrices, representación gráfica de funciones, cálculo
de la desviación típica,...
Ya desde hace unos años existen en el mercado
calculadoras de bolsillo que son capaces, sin más que apretar unas pocas
teclas, en unos breves segundos, de hallar la derivada de
, de dar su
polinomio de Taylor hasta el término de tercer grado, de representar gráficamente
esta función en un cierto entorno que se pida o bien de hallar el valor de su
integral entre 2 y 3 con gran aproximación. La inversión de una matriz 8x8 le
ocupa a la máquina unos pocos segundos, una porción mínima del tiempo que se
tarda en darle los datos. El cálculo de la desviación típica de una gran masa
de datos es una operación inmediata. Las soluciones de una ecuación de séptimo
grado, incluidas las raíces complejas, son proporcionadas por la máquina en un
abrir y cerrar de ojos.
Siendo así las cosas, es claro que nuestra enseñanza
del cálculo, del álgebra, de la probabilidad y estadística, ha de transcurrir
en el futuro por otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habrá que
poner el acento en la comprensión e interpretación de lo que se está
haciendo, pero será superflua la energía dedicada a adquirir agilidad en las
rutinas que la máquina realiza con mucha mayor rapidez y seguridad. En la
programación de nuestra enseñanza habremos de preguntarnos constantemente dónde
vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzo inteligente y cuáles son las
rutinas que podemos confiar a nuestras máquinas. El progreso de la inteligencia
humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas operaciones que en un
principio han representado un verdadero desafío para nuestra mente y, si es
posible, entregar la realización de tales rutinas a nuestras máquinas. Con
ello podemos liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a la resolución de
los problemas que todavía son demasiado profundos para las herramientas de que
disponemos. No temamos que tales problemas vayan escaseando.
La experimentación en matemáticas que se hace
posible en campos cada vez más intrincados gracias a la presencia del ordenador
y de la calculadora de bolsillo es otro de los retos para el futuro de nuestra
enseñanza. ¿Converge la sucesión
?
Con la calculadora he escrito la fórmula que proporciona
y luego le he
pedido que calcule unos cuantos valores significativos. Responde:
a100 =0,037421803; a1000=0,00594325;
a10000 =0,0008217,...
Este experimento me da confianza para conjeturar que
converge a 0, aunque lentamente, y es bien sabido lo mucho que una conjetura
correcta facilita la solución de un problema. Por otra parte la calculadora me
proporciona la gráfica de la función
que viene a
reforzar nuestra conjetura.
Por otra parte la capacidad para el cálculo
infinitesimal, el álgebra, la estadística, la representación gráfica, la
modelización, ... de esta calculadora que realiza cálculo simbólico además
del numérico, y por supuesto mucho más la de los ordenadores actuales,
potencian claramente las posibilidades de la matemática elemental para las
aplicaciones realistas que hasta ahora estaban vedadas en nuestros cursos por el
exceso de tedioso calculo simbólico y numérico que habría que efectuar a
mano.
Como reacción a un abandono injustificado de la
geometría intuitiva en nuestros programas del que fue culpable la corriente
hacia la "matemática moderna", hoy se considera una necesidad
ineludible, desde un punto de vista didáctico, científico, histórico, volver
a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo
en lo que se refiere a la geometría.
Es evidente que desde hace unos veinte años el
pensamiento geométrico viene pasando por una profunda depresión en nuestra
enseñanza matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del
pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza de la geometría más o
menos fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico
y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que
provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar
racionalmente el espacio físico en que vive, la figura, la forma física.
Esta situación, que se hace patente sin más que
ojear nuestros libros de texto y los programas de nuestra educación primaria y
secundaria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad es un fenómeno
universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución misma de la
matemática desde comienzos de siglo, más o menos.
La crisis de los fundamentos de principio de siglo
empujó al matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis sobre el rigor, a
una cierta huida de la intuición en la construcción de su ciencia.
Lo que fue bueno para la fundamentación fue
considerado por muchos bueno también para la transmisión de conocimientos. Las
consecuencias para la enseñanza de las matemáticas en general fueron malas,
pero especialmente nefastas resultaron para el pensamiento geométrico. En esa
idea de ir a los fundamentos, tal vez juntamente con una mala interpretación de
los análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura evolutiva del
conocimiento del niño, se basa el énfasis sobre la teoría de conjuntos y la búsqueda
de rigor. La geometría, a nivel elemental es difícil de formalizar
adecuadamente y así, en este intento, se nos fue por el mismo agujero el
pensamiento geométrico, la intuición espacial y la fuente más importante que
por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y resultados
interesantes abordables con un número pequeño de herramientas fácilmente
asimilables.
El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la
geometría elemental, del tipo de geometría al que tradicionalmente se dedicaba
la enseñanza inicial de la matemática, que vivía a la sombra de creaciones
muy interesantes y muy de moda de la matemática superior tales como la geometría
descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética, geometrías no euclídeas,
... El mismo sentido geométrico que estimuló los desarrollos espectaculares
del siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como la teoría de grafos,
teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria, algunos capítulos de la
teoría de optimización, de la topología, ... Como rasgos comunes a todos
estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la intuición
espacial, una cierta componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de
desarrollos analíticos excesivos.
De estas materias, cuya profundidad se va manifestando
cada vez más claramente, no se ha hecho eco en absoluto la enseñanza
elemental. Solamente son tenidas en cuenta a nivel superior y a nivel de matemática
recreativa. Pero esta matemática recreativa, en nuestro país, no ha encontrado
aún el camino hacia la escuela.
Paradójicamente, no permitimos jugar a quien más le
gusta y a quien más se beneficiaría con el juego matemático.
La necesidad de una vuelta del espíritu geométrico a
la enseñanza matemática es algo en lo que ya todo el mundo parece estar de
acuerdo. Sin embargo, aún no es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es
necesario evitar llegar a los extremos en que se incurrió, por ejemplo, con la
geometría del triángulo, tan en boga a finales del siglo XIX. También hay que
evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría axiomática.
Posiblemente una orientación sana podría consistir en el establecimiento de
una base de operaciones a través de unos cuantos principios intuitivamente
obvios sobre los que se podrían levantar desarrollos locales interesantes de la
geometría métrica clásica, elegidos por su belleza y profundidad. Las obras
elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.
La probabilidad y la estadística son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras ciencias específicas. Deberían constituir una parte importante del bagaje cultural básico del ciudadano de nuestra sociedad. Es este un punto en el que todos los sistemas educativos parecen concordar. Y efectivamente son muchos los países que incluyen en sus programas de enseñanza secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se lleva a cabo con la eficacia deseada. En España este fenómeno, a mi parecer, se debe por una parte a la dificultad misma de las materias en cuestión y a una cierta carencia de preparación adecuada de los profesores para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de enseñanza de ellas.
A continuación quisiera presentar muy someramente
unas pocas sugerencias sobre algunos proyectos a los que, en mi opinión,
nuestra comunidad matemática podría y debería prestar una particular atención.
En 1908, Félix Klein escribía en la introducción de
sus lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de vista superior:
"...durante mucho tiempo la gente de la universidad se preocupaba
exclusivamente de sus ciencias, sin conceder atención alguna a las necesidades
de las escuelas, sin cuidarse en absoluto de establecer conexión alguna con la
matemática de la escuela. ¿Cuál era el resultado de esta práctica? El joven
estudiante de la universidad se encontraba a sí mismo, al principio, enfrentado
con problemas que no le recordaban en absoluto las cosas que le habían ocupado
en la escuela. Naturalmente olvidaba estas cosas rápida y totalmente. Cuando,
después de acabar su carrera se convertía en profesor de enseñanza media se
encontraba de repente en una situación en la que se suponía que debía enseñar
las matemáticas elementales tradicionales en el viejo modo pedante; y puesto
que, sin ayuda, apenas era capaz de percibir conexión alguna entre su tarea y
sus matemáticas universitarias, pronto recurría a la forma de enseñanza
garantizada por el tiempo y sus estudios universitarios quedaban solamente como
una memoria más o menos placentera que no tenía influencia alguna sobre su
enseñanza".
Ha pasado cerca de un siglo y, al menos en lo que
respecta la formación inicial que nuestros licenciados reciben no creo que se
pueda decir que en nuestro entorno la situación difiere mucho de estas
circunstancias indeseables que Klein describe.
Lo que la sociedad tiene derecho a esperar de la
universidad en lo que respecta a la formación inicial de aquellas personas a
las que le va a confiar la educación matemática de los más jóvenes se podría
concretar en:
- una componente científica adecuada para su tarea
específica,
- un conocimiento práctico de los medios adecuados de
transmisión de las actitudes y saberes que la actividad matemática comporta,
- un conocimiento integrado de las repercusiones
culturales del propio saber específico.
Cualquiera que estudie
atentamente los programas de estudio de la mayor parte de nuestras universidades
podrá apreciar sus importantes carencias en los aspectos que podrían conducir
a esta formación adecuada de nuestros enseñantes.
A mi parecer, ni los cursos complementarios añadidos
al final de los estudios de Licenciatura con el objeto de proporcionar una
formación pedagógica razonable ni los cursillos de formación permanente
pueden sustituir razonablemente la formación intensa que se debería realmente
estimular durante los años de permanencia en la universidad, años en los que
el alumno está mucho más abierto para recibirla.
Pienso que son raras entre nosotros las universidades
que no descuidan abiertamente esta seria obligación con respecto a la sociedad
y que urge poner manos a la obra a fin de remediar esta situación rápidamente.
Como hemos tenido ocasión de ver, la educación matemática
es una actividad interdisciplinar extraordinariamente compleja, que ha de
abarcar saberes relativos a las ciencias matemáticas y a otras ciencias básicas
que hacen uso de ella, a la psicología, a las ciencias de la educación, ... Sólo
en tiempos muy recientes se ha ido consolidando como un campo, con tareas de
investigación propias, difíciles y de repercusiones profundas en su vertiente
práctica. Se puede afirmar que en el sistema universitario un tanto inerte de
nuestro país la educación matemática aún no ha llegado a encontrar una
situación adecuada por muy diversos motivos, a pesar de que ya van formándose
grupos de trabajo en los que se producen resultados importantes.
A mi parecer es muy necesario, por lo que a la
sociedad le va en ello, que se formen en nuestras universidades buenos equipos
de investigación en educación matemática que ayuden a resolver los muchos
problemas que se presentan en el camino para una enseñanza matemática más
eficaz.
La sociedad de España se encuentra, por tradición de
siglos, con una cultura fuertemente escorada hacia sus componentes humanísticas.
En España, cultura parece ser sinónimo de literatura, pintura, música,...Muchas
de nuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar
abiertamente su profunda ignorancia respecto de lo elementos más básicos de la
matemática y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ello sin pesar ninguno.
Las páginas de la mayor parte de nuestros periódicos aún no se han percatado
de que las ciencias, y en particular las matemáticas, constituyen ya en
nuestros días uno de los pilares básicos de la cultura humana. Es más, parece
claro que, como afirma Whitehead, "si la civilización continúa avanzando,
en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el pensamiento humano
será el señorío de la intelección matemática".
Sería muy deseable que todos los miembros de la
comunidad matemática y científica nos esforzáramos muy intensamente por hacer
patente ante la sociedad la presencia influyente de la matemática y de la
ciencia en la cultura. Una sociedad con el conocimiento cabal de lo que la
ciencia representa para su desarrollo se hará colectivamente más sensible ante
los problemas que la educación de los más jóvenes en este sentido representa.
En la comunidad matemática internacional se viene
prestando recientemente una gran atención a los medios convenientes para lograr
abrir los ojos de amplios sectores de la sociedad hacia los beneficios de todos
los órdenes que puede reportar una cultura que integre, del modo debido,
ciencia y matemática.
Es seguro que en nuestras comunidades escolares existe
un cierto número de estudiantes con una dotación intelectual para las matemáticas
verdaderamente excepcional. Son talentos que pasarían a veces más o menos
inadvertidos y más bien desatendidos por la imposibilidad de que los profesores
dediquen la atención personal que se necesitaría. Son personas que, en un
principio ilusionadas con la escuela, pasan a un estado de aburrimiento,
frustración y desinterés que les conducirá probablemente al adocenamiento y a
la apatía, tras un período escolar de posible gran sufrimiento.
Por otra parte son talentos que podrían rendir frutos
excepcionales para el bien común de nuestra sociedad, si no se malograran,
mediante su aporte extraordinario al desarrollo cultural, científico y tecnológico
del país. Constituye una gran responsabilidad social la indudable pérdida de
talento que causa su desatención. En la actualidad ningún organismo, ni público
ni privado, presta atención continuada a la tarea de detectar, estimular y
orientar el talento extraordinario y precoz en matemáticas, así como tampoco
en ninguna otra de las ciencias. Existe, y con mucha justificación, una atención,
apoyo y cuidado especiales con respecto a la enseñanza del infradotado, pero
pienso que apenas se ha prestado atención alguna a los problemas propios de los
talentos precoces en los países.
Se puede pensar con cierto fundamento que el talento
precoz en matemáticas es más fácil de detectar y estimular que en otras
ciencias. De hecho existen desde hace mucho tiempo proyectos realizados con éxito
en un buen número de países. Hay diversos caminos para encauzar el problema y
entre ellos los hay que no son de un coste excesivo, especialmente si se tiene
en cuenta el rendimiento a largo plazo de una actuación bien llevada.
Es posible, a juzgar por el efecto que en países de
nuestro ámbito cultural iberoamericano ha tenido la emergencia de unas pocas
personalidades de extraordinario talento en el desarrollo matemático del país,
que una acción sostenida de detección y estímulo del talento matemático
precoz podría colocar nuestro país en tiempo razonable a una altura matemática
y científica mucho más elevada.
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