EL MUNDO DE LA MATEMÁTICA
Ideas para enseñar y aprender
María
Judith Alderete
marialde@yahoo.com.ar
El clásico pensar determinista
debe ser compartido compartido
con el pensar probabilístico
EL MUNDO DE LAS PROBABILIDADES Y LA ESTADÍSTICA
Para docentes de la
Educación General Básica (E.G.B.)
IDEAS
GENERALES
El MUNDO DE LAS PROBABILIDADES Y LA ESTADÍSTICA es muy amplio,
fascinante y complejo.
¿Por qué
decidimos incorporar esta Sección y sus apartados? Básicamente para considerar
nociones fundamentales tanto de la Teoría de Probabilidades como de la Estadística.
No pretendemos que cumplan con la función de un texto sistemático. Conocemos
que hay excelente bibliografía que trata tales temas.
Los tópicos
seleccionados tienen que ver con los propuestos por los Contenidos Básicos
Comunes, (CBC), destinados a la Educación General Básica, (EGB).
Nadie duda de que el acceso
a estas ideas tiene que hacerse desde las primeras etapas de la escolaridad.
Son consideradas hoy en día como una parte indispensable del bagaje
intelectual que debe poseer todo ciudadano,
no sólo por su gran valor social sino también porque constituyen importantes
puentes de comunicación con otras ciencias.
Sabemos que
los docentes están ante un nuevo desafío. Más aún, en muchos casos, ellos
mismos tienen que empezar incorporando estas nociones. De ahí nuestra decisión de presentarlas en forma
amena y sencilla.
Nuestro
punto de partida es presentar la estructura que le dimos a la Sección
[ El
primer organizador se denomina Probabilidades.
En dicho
apartado consignamos también nociones básicas sobre Combinatoria.
Comenzamos
formulando algunas consideraciones históricas. Pareció durante muchos siglos
que el campo propio del estudio científico era únicamente el de los fenómenos
deterministas.
No se
necesita saber mucha matemática para que uno se de cuenta que en nuestro mundo
hay dos clases de fenómenos: los que están regidos por leyes deterministas y
los que, a diferencia de aquéllos, se caracterizan porque no se puede predecir
con certeza el resultado que aparecerá.
Por
ejemplo, cuando hervimos agua en condiciones normales, hay desprendimiento de
vapor. El fenómeno es determinista.
En cambio, cuando arrojamos un dado (no cargado), nadie puede predecir la
puntuación de la cara superior. El fenómeno es de azar, probabilístico o
aleatorio.
En la
actualidad se considera de una enorme importancia el campo de los fenómenos
aleatorios, estocásticos, de azar, cuyo estudio fundamental corresponde al
Cálculo de Probabilidades y de la Estadística.
Tres son
las corrientes históricas surgidas hace más de cuatrocientos años, las cuales
al fecundarse e integrarse han dado nacimiento a dichas ramas de la Matemática:
la recopilación de datos en forma de censos, los juegos de azar
y el
conocimiento inductivo, o paso de lo particular a lo general.
l El estudio
de los fenómenos de masa surgió de la recopilación de observaciones o datos,
conocidos con el nombre de censos, que permitieron, ya en épocas remotas, (los
chinos 2200 a.J.C., los egipcios 3050 a.J.C.), conocer la capacidad militar o productiva de un
país.
Esta
corriente comienza a hacerse científica con los trabajos de los llamados
aritméticos políticos, que introdujeron la estadística con el nombre de
aritmética de estado. Con esta metodología pueden obtener información, mediante
operaciones con los datos demográficos, económicos, ...., todos muy útiles para
la administración de los estados.
Recordemos
a John Graunt
(1620-1647) que publicó las primeras tablas de mortalidad en Inglaterra,
mientras que Achenwald
(1722) fue el primero en utilizar la palabra estadística para designar esta incipiente y utilísima disciplina.
l La segunda fuente histórica de los fenómenos
aleatorios se encuentra en los juegos de azar (dados, baraja, lotería, etc.). a
cuyo estudio contribuyeron famosos matemáticos como Pascal (1623-1662) y Fermat (1601-1655)
quienes dedicaron una gran parte de su tiempo estimulados por los problemas
propuestos por el Caballero de Meré (1645).
Según la
historia, entre 1654 y 1657, Pascal y Fermat intercambiaban correspondencia relativa al Cálculo de Probabilidades, como
una aplicación del análisis combinatorio a los juegos de azar
Durante el
siglo XVII y sucesivos, continuó profundizándose el estudio del Cálculo de
Probabilidades, al que se asocian nombres de importantes matemáticos: J. Bernouilli
(1654-1705), Laplace
(1749-1827), Gauss (1777-1853) y
otros.
Estas dos
corrientes se van integrando y fecundando mutuamente en los trabajos de Quetelet
(1796-1894), Galton
(1822-1911), K. Pearson
(1857-1936), Laplace, Gauss,...Constituyen los
inicios de la Estadística matemática.
l La tercera fuente histórica está referida a
un aspecto más difícil. Se trata de obtener conclusiones válidas en situaciones
de incertidumbre (pronósticos médicos, económicos, meteorológicos, ...) que
permitan una medida científica de la confianza en las mismas. K. Pearson (1857-1936), Bayes (1702-1761), Fisher
(1890-1962), Neyman
(1894-19961), Wald
(1902-1950), han dado diversos enfoques a esos problemas, llamados de inferencia y decisión estadística.
Lo cierto
es que a la humanidad le costó varios cientos de años para que se acostumbrara
a un mundo en el cual algunos sucesos no tienen causa, o al menos donde gran
cantidad de sucesos están determinados por una causalidad tan remota que no
pueden representarse por un modo más preciso mediante un modelo causal.
También es
cierto que la Teoría de Probabilidades y
la Estadística tienen orígenes comunes. Hoy en día son dos disciplinas
diferentes desde el punto de vista lógico, pero están estrechamente vinculadas
En cuanto a
la primera, actualmente es una rama de extraordinaria vitalidad dentro de la
Matemática, por sus muchas aplicaciones y por el grado de formalización que ha
alcanzado.
Más aún, en
el siglo XX se aplicaron a la probabilidad la Teoría de conjuntos, la de
funciones medibles y la de integración. Al mismo
tiempo Kolmogorov fundamentó la probabilidad mediante
una axiomática, consiguiendo así una asociación más estrecha entre el Análisis
y la Teoría de la Probabilidad.
Ha sido
espectacular su aplicación al campo de la Física atómica, en concreto, a la
Mecánica ondulatoria. Ésta, junto con elementos de la Teoría de espacios
vectoriales de funciones diferenciables, desarrollada
por Banach
y Fréchet,
ha permitido una generalización del Análisis y un cambio en la concepción de la
Física. A partir de ese momento, el determinismo riguroso de la Física clásica
se sustituyó por una interpretación probabilística.
En Rusia, Markov inició, a
principios del siglo XX, el estudio de sucesos eslabonados, hoy conocidos como cadenas de Markov.
Estas investigaciones han permitido conocer la estructura de muchos procesos
sociales, económicos, médicos, biológicos, etc., en los que la probabilidad de
que un suceso acontezca depende hasta cierto punto de resultados anteriores.
Por otra
parte tenemos que destacar el hecho de que a menudo se presenta el problema de
calcular el número de elementos de un cierto subconjunto o parte de un espacio muestral. Aparece así la Combinatoria o Análisis
Combinatorio que trata problemas de conteo y otros recursos utilizados para
realizar un recuento sistemático.
Consignamos
también un poco de su historia.
Destacamos
una etapa de notable desarrollo que se inicia hacia mediados del siglo XVII.
Cabe mencionar a Leibniz quien publica su De Arte Combinatoria y establece, de manera sistemática, la Teoría
combinatoria sobre una base científica.
Según el
matemático argentino Enzo Gentile:
“El Análisis combinatorio es la ciencia y, en alguna medida, el arte de contar
los elementos de un conjunto finito”.
Forma parte
de la Matemática discreta. De Combinatoria y de Matemática discreta se habla
mucho en nuestros días posiblemente por su aplicación en las ciencias de la
computación.
En
síntesis, en el primer organizador de la Sección tratamos nociones básicas de
Combinatoria y de Probabilidad.
Teniendo en
cuenta la importancia que tienen estas nociones en la actualidad justificamos
por qué están incorporadas a la enseñanza desde las primeras etapas de la
escolaridad
[ El
segundo organizador se denomina Estadística.
Parte de su
historia está compartida con la que corresponde a la Teoría de Probabilidad. Dijimos
que se trata de dos ramas diferentes, pero que están muy relacionadas.
No es el
objetivo de esta publicación un tratamiento riguroso de la misma, lo cual es
realmente impensable. Hay abundante bibliografía al respecto que le permite a
todo lector interesado, una profundización de su estudio.
En nuestros
días, la palabra "estadística"
es familiar y se usa con distintos significados. ¿Qué dice
el diccionario de la Lengua Española?
Por un lado
leemos:
"Censo
o recuento de una población, de los recursos naturales e industriales,
del Estado, provincia, pueblo, clase, etc ".
Por otro,
dice :
"Es el
nombre dado a la rama de la Matemática que se ocupa de la contabilidad y análisis de hechos que se
producen en gran número, para
obtener, a partir de ellos, inferencias basadas en el Cálculo de Probabilidades
"
Hay también
otras acepciones. Sin embargo, solamente destacamos las dos que acabamos de
señalar.
El segundo
significado hace referencia a una rama de la Matemática que se ocupa del
análisis de cierta información, la cual requiere ser interpretada con
pensamiento probabilístico.
En cambio,
en la primera acepción se alude a la información misma. Esa es la interpretación que le damos a
expresiones como éstas : "Leí las últimas estadísticas correspondientes a
la medición de logros de aprendizaje",o " la empresa X se valió de
las últimas estadísticas para tomar decisiones". También es
corriente hablar de estadística de accidentes de tránsito, de estadística de
estaturas promedio de estudiantes, etc."
Volvamos a
considerar la Estadística como rama de la Matemática. En ella es posible
distinguir dos aspectos, que permiten hablar de la Estadística descriptiva y de la Estadística inferencial.
No hay que
asustarse por tantas denominaciones!!!
Sólo hemos creído oportuno mencionarlas para que se comprendan mejor los
desarrollos consignados en el apartado correspondiente.
En
realidad, nuestro propósito es presentar las nociones de base de la primera, y una
iniciación, de manera muy intuitiva, en la idea de correlación.
La
Estadística descriptiva
fundamentalmente tiene como propósito
organizar e interpretar datos de una población (o, de una muestra) para
luego, obtener a partir de ellos, medidas que resuman las características de
los mismos. Esos números se conocen con el nombre de parámetros estadísticos.
Mediante la
Estadística inferencial podemos generalizar las conclusiones y aplicarlas al
comportamiento de la población o universo que estamos estudiando. Dicho de otra manera, a partir de unos datos
poco numerosos, pero bien escogidos, por medio de análisis muy elaborados,
podemos extraer conclusiones para poblaciones con muchos individuos.
También
hemos mencionado la palabra correlación. En el campo de la Estadística hay
muchos problemas que requieren el análisis de más de una variable. Por ejemplo,
sobre los mismos individuos de una muestra de personas (que puede ser toda la
población) cabe naturalmente estudiar, de manera simultánea, la altura y el
peso.
Aparecen
así, los datos bivariados, compuestos de pares
ordenados. En cada par ordenado, hay dos valores: el primer elemento
corresponde al valor de la variable estadística que se tome como primera,
(variable independiente); el segundo elemento, corresponde al valor de la
variable estadística considerada en segundo lugar (variable dependiente). De
manera natural, surge esta pregunta : ¿Existe dependencia entre ambas
variables? ¿Hay correlación?
Con el
ejemplo propuesto presentamos una primera interpretación intuitiva acerca del
concepto de correlación.
En fin,
actualmente la Estadística es mucho más que un simple útil en manos de jefes de
Estado, banqueros o compañías de seguros: interviene en los campos más diversos
y sobre todo se interesa por todo lo relacionado con la vida
No hace
falta insistir en la importancia que tienen estas nociones en la actualidad con
lo cual justificamos por qué están incorporadas a la enseñanza desde las
primeras etapas de la escolaridad
[ El tercer organizador se denomina
Enseñanza y Aprendizaje
Está referido a los contenidos
(conceptuales y procedimentales) correspondientes a
las nociones introductorias sobre Combinatoria, Probabilidades y Estadística, que
deben ser enseñados y aprendidos a lo largo de los diez años de escolaridad
obligatoria.
Pero sólo apuntamos a cuestiones
que deben tratarse en el Tercer Ciclo de la E.G.B.,
aún cuando tales nociones aparecen en los ciclos anteriores.
También señalamos las
Expectativas de logros de esos contenidos. No abordamos el tratamiento
didáctico de los mismos, aún sabiendo de su enorme importancia.
En general, debemos tener en
cuenta lo siguiente.
INDICE
DE LA SECCION
&
EL MUNDO DE LAS PROBABILIDADES Y LA ESTADÍSTICA
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
¨TREJO,
C., BOSCH, J.,(1973), Ciclo Medio de Matemática moderna, Quinto
Curso, Buenos Aires, R.A., Editorial Universitaria de Buenos Aires (Eudeba)
¨GNEDENKO,
B., JINCHIN, A., (1981) Introducción al Calculo de
Probabilidades, Cuadernos de Eudeba,
Buenos Aires, Editorial Universitaria de Buenos Aires (Eudeba)
¨GENTILE,
E., (1976), Notas de álgebra 1, Buenos Aires,
Editorial Universitaria de Buenos Aires (Eudeba)
¨COURANT
R, ROBBINS H, (1967), ¿Qué
es la matemática ?,
Madrid, Editorial Aguilar
¨SANTALÓ,
l., y colaboradores (1994), Enfoques.
Hacia una didáctica humanista de la matemática; Buenos Aires, Editorial Troquel.
¨ALDERETE,
M., ITURRIOZ, K., SANTANDER, M., y otros (1a edición 1996; 2da edición 1997), El mundo de las Probabilidades
y la Estadística,
de
la Serie Verde, Mendoza, R.A.
, Dirección General de Escuelas, Gobierno de Mendoza
|
Esta página está diseñada con la colaboración de Alejandra Caricato |
|
|
