EL MUNDO DE LA MATEMÁTICA
Ideas para enseñar y aprender
María Judith Alderete
Marialde@yahoo.com.ar
El
número siempre ha sido objeto
de estudio en la escuela
EL
MUNDO NUMÉRICO
Para docentes de la
Educación General Básica (E.G.B.)
IDEAS GENERALES
El
MUNDO NUMÉRICO
es muy amplio y complejo. De él sólo seleccionamos algunos
tópicos propuestos por los Contenidos Básicos Comunes (C.B.C.)
para ser tratados en la matemática escolar correspondiente a la
Educación General Básica (EGB). Sobre ellos profundizamos en los
apartados que se desprenden de esta Sección.
La Sección está estructurada según tres
organizadores tal como ilustramos en el siguiente diagrama arbolar.
[ El primer organizador se denomina
Números reales
El número, piedra angular de
todo el edificio matemático, aparece íntimamente vinculado a los
más diversos aspectos de la vida cotidiana. Sin embargo si a una persona
medianamente culta y hábil
para el cálculo numérico se le preguntase qué es el
número, probablemente la respuesta sería una mezcla de
extrañeza ante la aparente trivialidad de la pregunta o bien, respondería con la
clásica tautología: un número es un número, o bien,
tal vez daría un ejemplo concreto.
Para la Matemática la
pregunta no es trivial y durante mucho tiempo fue formulada sin hallar
respuesta satisfactoria. La cuestión es, en efecto, profunda y compleja;
su análisis va más allá del terreno puramente
matemático y preocupa por igual a lógicos y filósofos.
La génesis del
número se pierde en el origen remoto de los primeros núcleos
humanos. o sea, las primeras ideas aparecen en los albores de la
civilización como una noción primaria estrechamente vinculada a
los objetos materiales y como resultado de la percepción directa del
cambio producido al añadir un objeto a otro o al quitar o elementos a un
conjunto de varios objetos (colección).
Este sentido precario del
número se ensancha cuando el hombre adquiere la técnica de
contar, operación que requiere cierto grado de evolución mental.
Pero fue necesario que la inteligencia humana alcanzase un nivel superior de
desarrollo para que la idea concreta de número diese lugar a su
concepción abstracta. Advertir que una yunta de bueyes o un par de
personas son ejemplos concretos del número dos, requiere un refinado
proceso de abstracción, operación que marca sin duda un
jalón en el desenvolvimiento de las facultades intelectuales.
A esto sucedió el largo
proceso histórico a través del cual el concepto de número
se amplió con la creación de las reglas de cálculo y las
sucesivas extensiones que lo llevaron a su forma actual.
Puntualicemos algo más
sobre su evolución. Los antiguos babilonios y egipcios conciben,
alrededor del año 2000 a,J.C., una
aritmética en la que ya utilizan las fracciones. Con Pitágoras,
en el año 525 a.J.C., los griegos descubren la necesidad de adoptar
números irracionales, como
.
En el año 375 a.J.C.,
Eudoxio presenta la teoría de los números inconmensurables para representar
irracionales como límite de magnitudes racionales.
Los números negativos que
aparecen en la solución de diversos problemas, se consideran como
absurdos, y sólo se manejan libremente a partir del siglo XVII.
No es sino hasta la segunda mitad
del siglo XIX que Cantor, Dedekind y Weierstrass desarrollan teorías
rigurosas del número real, incluyendo racionales e irracionales.
Así, reemplazando las magnitudes de Eudoxio por construcciones a partir
de los números 1, 2, 3, ..., Cantor construye los irracionales como
“sucesiones de racionales”, Weierstrass los construye como
“clases de racionales” y, finalmente, Dedekind como
“cortaduras en clases infinitas de racionales”. Estas
teorías resultan equivalentes y permiten construir el continuo de los
números reales a partir de los números naturales.
Si se cotejan las nociones de
número y estructura aritmética por una parte, con las nociones
geométricas básicas por otra, se advierte el carácter
mucho más abstracto de las primeras. Acaso por ello el desarrollo de la
Aritmética es mucho más reciente que el de la Geometría:
ya en el siglo III a.J.C., encontramos en los Elementos de Euclides un
magnífico intento de desarrollar la Geometría como sistema
deductivo; tales intentos no se dan en la Aritmética sino en la
época de Dedekind y Peano en el siglo XIX.
Asimismo, el carácter
marcadamente abstracto de la noción de número hace que su
exposición estructurada sea un problema didáctico difícil,
principalmente a nivel de la escolaridad elemental.
Hay dos caminos para abordar la
noción de número real.
1 Uno
de los caminos nos permite pasar desde los números naturales hasta los
números reales mediante las siguientes sucesivas ampliaciones
IN
® Z ® Q ®
IR
donde IN, Z, Q y IR simbolizan,
respectivamente, los conjuntos de números naturales, enteros, racionales
y reales. Podríamos colocar ID (conjunto de los números
decimales)
entre Z y Q.
Supongamos definida la suma en el
conjunto IN = { 0, 1, 2, 3, ... }.
Podemos dar sentido a la resta 5
- 3 diciendo que es el número que sumado a 3 dé como resultado el
número 5. Entonces: 5 - 3 = 2, puesto que 2 + 3 = 5.
En cambio, la resta 3 - 5 no
tiene sentido en IN, por cuanto no hay ningún número natural que
sumado a 5 dé como resultado 3.
En síntesis, a - b = c en IN significa c + b = a, pero ello no siempre tiene
sentido, porque en algunas situaciones no existe el número natural c
que sumado a b dé como resultado el
número a.
Esta dificultad conduce a ampliar
el conjunto IN y llegamos así al conjunto Z de los
números enteros,
Z = {..., -2 , -1 , 0 , 1 , 2 ,
...}
en el cual la suma, la resta y la
multiplicación son operaciones, es decir las expresiones a + b, a - b y a x b siempre tienen sentido. Se
denominan operaciones enteras.
Supongamos definida la
multiplicación de números enteros.
Entonces podemos calcular por
ejemplo, la división 12 : 4
como el número entero que multiplicado por 4 dé como
resultado 12. Es decir: 12 : 4 = 3 puesto que 3 x 4 = 12. Entonces: 12 : 4 = 3
puesto que 3 x 4 = 12.
En cambio, la división 4 :
12 no tiene sentido en IN, por cuanto no hay ningún número
natural que multiplicado a 4 dé como resultado 12.
En general, a : b = c en Z significa que c x b = a, pero ello no
siempre tiene sentido porque en algunas situaciones no existe el número
entero c que multiplicado a b dé como resultado el
número a. También
podemos decir que la división no es operación en Z.
Esta imposibilidad conduce a
ampliar el conjunto Z a fin de que
la división por un divisor
no nulo sea siempre posible. Llegamos así al conjunto Q de los
números racionales, en el cual la suma, la resta, la
multiplicación y la división (excepto por 0) son
operaciones. Se las denomina operaciones racionales.
Cada uno de los conjuntos
numéricos considerados admite su representación en una recta
provista de una escala, es decir de una recta en la cual fijamos dos puntos
diferentes o y u por ejemplo, asignándoles, respectivamente, el 0 y el
1. Denominamos origen al punto o, en correspondencia con el número 0, y
punto unidad al punto u, en correspondencia con el número 1.
Mediante una regla y un
triángulo, usando solamente las relaciones de incidencia entre puntos y
rectas, y el paralelismo podemos construir una escala métrica para IN, o eje de abscisas para IN.
0 1 2 3 ...
·
·
·
· ·
o
a
De manera análoga podemos
construir una escala métrica para Z, (ampliada de la anterior), denominada
eje de abscisas para Z. Los números enteros ..., -3, -2 , -1 , 0 , 1 , 2
, 3, ..., quedan representados por puntos de tal eje.
... -3 -2 -1
0
1
2
3 ...
· · · · · · ·
o
a
Tanto en una como en otra escala
métrica hay pares de puntos consecutivos que están asociados a
pares de números consecutivos, lo cual se debe a que ambos conjuntos
numéricos son discretos con respecto a la relación <. Lo que
venimos de decir no debe ser tomado como una definición de discretitud.
Ampliamos una escala
métrica de Z con el propósito de representar cualquier
número racional. De ello resulta una escala métrica para Q, o eje
de abscisas para Q.
En esta situación cabe
agregar que no hay puntos consecutivos o sea, no hay pares de números
racionales consecutivos. En efecto, entre dos números racionales
distintos p y q hay otro número
racional r, y por tanto, infinitos, propiedad (demostrable) que expresamos diciendo que el conjunto de los
números racionales es denso respecto de la relación <. Los
puntos de la escala racional cubren densamente la recta (es decir, en todo
segmento por pequeño que sea, hay infinitos puntos de esa escala).
... -3...... -2....... -1.. -1/2...0... 1/2...1..... 2.......3...
· · ·
· ·
· · · ·
o
a
En la representación anterior
vemos el punto asociado al número racional -1/2 ubicado entre -1
y 0; así mismo el punto asociado al número racional 1/2
está ubicado entre 0 y 1.
Podríamos pensar que la escala
racional comprende todos los puntos de la recta, pero no es así: no
obstante su densidad, los números racionales no agotan todos los puntos
de la recta. En efecto, ya conocemos la posibilidad de representar todo
número racional mediante una fracción m/n
(m y n enteros, con n ¹ 0). También sabemos que
al efectuar la división de m por n en el sentido decimal, ocurren dos
cosas:
a) Llegamos a un resto cero, y el
cociente es un número representado por una expresión decimal
finita (número racional decimal) como, por ejemplo, 1/2 =
0,5
b) Nunca obtenemos un resto cero
y el cociente es un número representado por una expresión decimal
infinita periódica (número racional no decimal) como, por
ejemplo, 4/3 = 1, 333...
También hay números
representados mediante expresiones decimales infinitas no periódicas,
como por ejemplo p = 3,14151....Se trata de
números no racionales (irracionales) que no admiten escritura
fraccionaria o sea, como razón entre dos enteros. Estos números
también se ubican en la recta numérica con escala racional y hay
infinitos de ellos.
La existencia de los
números irracionales fue descubierta por los griegos, posiblemente en el
siglo V a.J.C., (escuela pitagórica). Existen segmentos
inconmensurables es decir,
segmentos cuya longitudes están dadas por números de esta clase. Sin duda
este descubrimiento resultó un acontecimiento de gran trascendencia que
dejó profunda huella en la Matemática y la Filosofía desde
entonces hasta nuestros días.
La teoría de los
inconmensurables de Eudoxo (408-335 a.J.C.) expuesta en forma geométrica
en los Elementos de Euclides, es una obra maestra de los matemáticos
griegos, no debidamente apreciada hasta la segunda mitad del siglo XIX,
después que Dedekind, F.Frege, G. Cantor y Weierstrass construyeron una
teoría rigurosa del número real, como lo dijimos precedentemente.
Consideramos importante destacar
la posibilidad de representar todo número irracional mediante
números racionales (decimales), con tanta aproximación como
pretendamos. Por ejemplo el número irracional p se aproxima
indefinidamente por los números racionales decimales 3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; 3,1415 ; ...
En síntesis: hay
números racionales (decimales o no decimales) y números
irracionales. Los primeros forman
el conjunto Q y los segundos el conjunto I.
El conjunto numérico,
obtenido como la reunión de ambos, es un nuevo conjunto numérico
denominado conjunto numérico de
los números reales y simbolizado por IR.
Podemos decir sin ninguna
rigurosidad que, número real es todo número que puede
representarse por una expresión decimal finita o infinita, positivo,
nulo o negativo.
Por ejemplo, son racionales:
2,21 (decimal)
2,33333... (no decimal)
Por ejemplo, son irracionales:
p = 3,1415...
= 1,414...
En el conjunto IR están
definidas la suma, la resta, la multiplicación y la división
excepto por cero. Por las propiedades (demostrables) que verifican tales
operaciones agregamos que IR tiene estructura
algebraica de cuerpo.
Los números reales se
ubican totalmente en la recta numérica, o eje de abscisas.
También se la denomina recta real. Hay una correspondencia biyectiva entre
los números reales y los puntos de tal recta.
2
El
otro camino para abordar los números reales se conoce con el nombre de
método directo. No se necesita recorrer el camino que venimos de ver.
En efecto, el método
directo consiste en introducir el sistema
(IR, + , . , £) en el cual IR es un conjunto
cuyos elementos se llaman números reales, + y .
son dos operaciones en IR que cumplen con las propiedades algebraicas de un
cuerpo, y £ es una
relación de orden total definida en IR.
Este método es el
más usado modernamente por su mayor agilidad y se debe a D.Hilbert
(1862-1943), quien expresó su fundamento en el célebre
artículo publicado en 1900: Uber
die Zahlbegriff (Sobre el concepto de número
En el método directo se
definen luego IN, Z y Q como
subconjuntos especiales de IR.
[ El segundo organizador se denomina Funciones reales
Comencemos con un poco de
historia acerca del concepto de función.
El estudio del movimiento fue el
problema que más interesó a los científicos del siglo
XVII, influidos por los descubrimientos de Kepler y de Galileo en
relación con los cuerpos celestes.
A este gran interés
también contribuyeron motivaciones de carácter económico y
militar, del mismo modo que ocurre en la actualidad.
Respecto del primer motivo, los
navegantes europeos en su búsqueda de materias primas y de nuevas
relaciones comerciales, se alejaban cada vez más de las costas de las
que partían y esto les ocasionaba grandes dificultades para conocer su
posición en alta mar y llegar al lugar deseado. Necesitaban saber la
latitud y la longitud (coordenadas terrestres); la primera se conseguía
por observación directa del Sol o de las estrellas, pero la segunda
ofrecía serias dificultades porque no disponían de los
métodos adecuados para medir correctamente la dirección del
movimiento de la Luna, y cometían numerosos errores.
Los gobiernos de Europa estaban
muy interesados en solucionar este problema por cuanto se producían
cuantiosas pérdidas económicas. Por ello estimulaban a los
científicos a que construyeran tablas de datos cada vez más
aproximados.
En relación con el segundo
motivo, las trayectorias de los proyectiles. sus alcances y alturas, el efecto
de la velocidad de la boca del arma sobre ellos eran asuntos de sumo
interés para los gobernantes, por lo que invertían grandes sumas
de dinero para la búsqueda de soluciones satisfactorias.
Del estudio de los diversos
problemas del movimiento se extrajo la conclusión de que era necesario
medir el tiempo con mayor precisión y se llegó a vincular este
problemas con el movimiento del péndulo, mecanismo básico para la
medida del tiempo.
La carencia de instrumentos de
medida suficientemente precisos, como antes hemos indicado, para poder
construir tablas fiables de las distintas variables que mencionamos (longitud y
latitud, tiempo, etc.) impidió que el estudio de este concepto se
abordara antes. Por ejemplo, los griegos, que en otros aspectos tenían
un desarrollo matemático admirable (basta recordar el libro Los elementos de Euclides), no llegaron
a tener una idea del movimiento muy elaborada.
De los anteriores estudios,
obtuvieron los matemáticos un concepto fundamental que fue central en
casi todo el trabajo de los dos siglos siguientes: el concepto de función, como una caso especial
de relación entre variables.
Entre los matemáticos que
más contribuyeron al nacimiento y a los primeros planteamientos de este
concepto se destacan Newton (1642-1727) que utilizó el término
fluyente para cualquier relación entre variables, Leibniz (1646-1716).
que se sirvió por primera vez de la palabra función para indicar
cantidades que dependen de una variable. También introdujo las palabras
variable, constante y parámetro. La forma de expresar la fórmula
de una función como f(x), la más utilizada en la actualidad, se
debe a Euler (1707-1778).
Incluimos este organizador en la
Sección MUNDO NUMÉRICO porque las funciones que vamos a
considerar tienen como dominio y
como codominio el conjunto de los
números reales o, de algún subconjunto de él.
Muchas de estas funciones nos
permiten interpretar situaciones concretas de la vida cotidiana. Por ejemplo,
la función que relaciona el precio de un producto con la cantidad de
este producto que los consumidores están dispuestos a comprar, se llama
curva de demanda.
En cuanto a la función que
relaciona el precio a que se pagaría un producto con la cantidad del
mismo que están dispuestos a ofertar fabricantes y vendedores, se llama
curva de oferta. El punto de corte de ambas “curvas” es el punto de
equilibrio al que se aproxima el mercado.
El concepto de función
está presente cuando decimos que el área de un círculo
depende de su radio; que la presión atmosférica depende de la
altura sobre el nivel del mar; la fuerza de atracción ejercida por dos
masas entre sí, depende de la distancia que las separa.
Debemos destacar por otra parte
la diferencia de significado que tiene la palabra función según
que sea utilizada en la vida cotidiana o en un contexto matemático o
vinculado con la Matemática. En efecto, habitualmente entendemos por
función un espectáculo programado o también en el terreno
de la fisiología por ejemplo, la idea de actividad interrelacionada.
En cambio, en las ciencias
exactas, función es un conjunto de pares ordenados, subconjunto o parte
de un producto cartesiano. Si tal función es numérica, lo cual
significa que su codominio es un conjunto de números, es corriente el
uso de una fórmula que relaciona ambas variables (la variable
independiente o elemento del dominio y la variable dependiente o elemento
imagen perteneciente al codominio).
Sin embargo, la definición
de una función no implica que necesariamente deba estar determinada por
una fórmula.
Por ejemplo, si hacemos una tabla
de la temperatura a lo largo de un día, estamos aceptando que ella
depende del tiempo. La tabla está dando la función.
Otra manera de dar una
función es el uso de la
notación conjuntista para expresar el conjunto de los pares ordenados:
f = í(x,y) : y = f(x) = x + 1, x Î
IR ý
Queda en evidencia que el dominio
y el codominio es el conjunto IR de los números reales y que los pares
ordenados de f son de la forma (x,
x + 1). La fórmula f(x) = x + 1 sólo indica cómo encontrar la imagen para
cada x del dominio. La fórmula no es la
función.
Hay distintos tipos de funciones
numéricas: inyectivas, suryectivas, biyectivas, constantes, nula, etc.
En particular, vamos a
considerar, en el apartado correspondiente, algunas funciones reales simples
tales como las afines, las lineales, las cuadráticas, las funciones
circulares, por mencionar algunas de ellas.
A través de sus
gráficas nos interesa destacar la continuidad, la periodicidad, lo mismo
que otras características básicas. No hacemos un tratamiento
desde el punto de vista analítico.
En síntesis: El concepto
de función es muy importante en la Matemática de nuestros
días por cuanto:
- permite llegar a la
construcción de modelos matemáticos a partir de la
interpretación de situaciones de la vida cotidiana;
- es un concepto unificador en
tanto atraviesa las diversas ramas internas de la Matemática,
estableciendo relaciones entre distintos conjuntos, ya sea numéricos o
de puntos;
- es una herramienta fundamental
para la modelización de variables en otras áreas tales como
física, biología, demografía, etc. Es decir que puede
considerarse como un puente entre la Matemática y los contenidos de
otras áreas, como las ciencias naturales o las ciencias sociales.
[
El
tercer organizador se denomina Enseñanza
y Aprendizaje
Está referido a los
contenidos (conceptuales y procedimentales) correspondientes a los temas
Números reales y Funciones
numéricas reales, que deben ser enseñados y aprendidos a lo largo
de los diez años de escolaridad obligatoria.
En realidad sólo apuntamos
a cuestiones que se tratan en el Tercer Ciclo de la E.G.B. , aún cuando
tales nociones ya aparecen en los ciclos anteriores.
También señalamos
las Expectativas de logros de esos contenidos al finalizar la escolaridad
obligatoria.
En fin, lo importante es tener en
cuenta qué es lo que se pretende en general, al término de la
escolaridad obligatoria.
No abordamos el tratamiento
didáctico de los contenidos mencionados, aún cuando reconocemos
su enorme importancia. Escaparía a los alcances que nos propusimos.
INDICE
DE LA SECCION
&
MUNDO NUMÉRICO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
¨TREJO,
C., (1968), Matemática elemental moderna, Estructura y Método, Buenos Aires, R.A.,
Editorial Universitaria de Buenos Aires (Eudeba)
¨TREJO,
C., (1968) El concepto de número, Serie de
Matemática, Monografía nº 7, OEA,
Washington D.C.
¨GENTILE,
E., (1976), Notas de álgebra 1, Buenos Aires,
Editorial Universitaria de Buenos Aires (Eudeba)
¨COURANT
R, ROBBINS H, (1967), ¿Qué
es la matemática ?,
Madrid,
Editorial Aguilar
¨ALLENDOERFER
C., OAHLEY O.,(1968), Introducción moderna
a la Matemática Superior; España, Mc
Graw-Hill Book Company.
¨ALDERETE,
M., ITURRIOZ, K., SANTANDER, M., y otros (1993), Sistemas
Numéricos, de la Serie Roja, El mundo de las números y la Aritmética, Mendoza, R.A. , Dirección General de Escuelas, Gobierno de
Mendoza
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