EL MUNDO DE LA MATEMÁTICA
Ideas para enseñar y aprender
María Judith Alderete
marialde@yahoo.com.ar
Hay
distintos modos de vivir la Geometría: desde el ángulo profesional más elevado
hasta el descubri- miento más intuitivo de un niño
EL MUNDO GEOMÉTRICO
Para docentes de la
Educación General Básica (E.G.B.)
IDEAS
GENERALES
El MUNDO GEOMÉTRICO
es muy amplio y complejo. De él sólo seleccionamos algunos tópicos propuestos
por los Contenidos Básicos Comunes (CBC) para ser tratados en la matemática
escolar correspondiente a la Educación General Básica (EGB). Sobre ellos
profundizamos en los apartados que se desprenden de esta Sección.
La Sección está estructurada
según tres organizadores tal como ilustramos en el siguiente diagrama arbolar.
[ El primer organizador se denomina
Geometría euclidiana
Debemos hablar de Geometría y no
es tarea fácil. Y ello por dos razones: una intrínseca, inherente a la
naturaleza del tema; otra, más grave debida al concepto equivocado que se tiene
generalmente de la Geometría, con prejuicios y recelos a los que no son extraños
ingratos recuerdos escolares.
Es justo poner énfasis desde el
comienzo en la que la Geometría aparece como una obra de pensamiento puro que
tiene la belleza y la sugestión, a veces con valor estético, propias de toda
construcción exclusivamente mental.
Pero bien, ¿cómo entrar en el
asunto para cumplir con los propósitos que nos fijamos?. Siempre es difícil
iniciar un tema. Una ayuda para superar el obstáculo es la de recurrir a la
historia lo que permite hacer entrar en escena, más rápidamente, circunstancias
diversas. Por otra parte, encuadrar una ciencia cualquiera en su desarrollo
histórico equivale a mostrarla cómo está adherida a las necesidades y
aspiraciones de la humanidad en su progreso.
Detengámonos para dar algunas
noticias sobre el origen de la Geometría intentando ver, a medida que
aparezcan, los motivos del pensamiento que en ella se reúnen.
A la Geometría le ocurrió lo
mismo que a otras teorías matemáticas. La producción se realiza en etapas. En
el caso que nos ocupa algunos autores hablan de tres de ellas, cada una de las
cuales se genera a partir de las transformaciones ocurridas en la etapa
anterior.
ΠLa primera etapa es
conocida con la denominación de etapa
intuitiva. En ella ubicamos los orígenes prácticos de esta rama de la Matemática.
Aparece como una técnica de agrimensura, un arte para proceder a operaciones de
medición de los terrenos, de lo cual quedó huella en su mismo nombre: geo (tierra) y metría (medida). En efecto, los pueblos prehelénicos se interesaban
sólo por los conocimientos geométricos que podían aplicar para resolver
problemas prácticos, como por ejemplo de ingeniería, cálculo de áreas y de
volúmenes de cuerpos.
En el siglo VI a.C, durante la
época clásica griega, la Geometría comenzó a desarrollarse como disciplina. Se
habían formado escuelas o centros de estudio en los cuales se reunían grupos
informales de matemáticos, dirigidos por uno o más sabios, con el propósito de
realizar ciertas actividades.
Mencionamos a dos de ellas:
- La escuela jónica fundada por Tales de Mileto, también conocida como la escuela de Tales. Sus
integrantes son los primeros que le dieron a la Geometría un tratamiento
racional. Obtuvieron algunas propiedades generales a partir de ciertas reglas
prácticas y luego las demostraron usando métodos deductivos.
- La escuela pitagórica fundada
por Pitágoras. Estaba destinada a
estudiar Matemática y Filosofía. A ellos les debemos el haber reconocido que
los objetos matemáticos como los números o las figuras geométricas, son objetos
ideales es decir, son creaciones de la mente.
Desde ese momento la humanidad
entendió que una cosa son los objetos concretos y las imágenes físicas, y otra,
bien distinta, son los objetos matemáticos, ideales y pertenecientes a un espacio
mental. Se trata de objetos de diferente naturaleza.
También se dedicaron a
desarrollar y perfeccionar el método deductivo.
De la etapa
intuitiva se pasa a la segunda, conocida como etapa axiomática. Aparece Euclides
(siglo III a.C), quién se encargó de recopilar toda la producción geométrica
preexistente y luego la organizó en forma deductiva, mediante un desarrollo
lógico que comprende definiciones de conceptos y relaciones en función de otros
conceptos y relaciones, tomando como marco la concepción aristotélica de la
ciencia. Parte de un reducido número de postulados y definiciones para
construir, mediante deducción, las proposiciones que surgen como consecuencia
necesaria de dichas afirmaciones.
Esta construcción tiene en
cuenta:
- el
reconocimiento de la existencia de entes abstractos o ideales, como el punto,
la recta, el plano,..., que son diferentes de los objetos del mundo físico;
- la adopción de un conjunto de afirmaciones tan evidentes que se
adoptan como punto de partida y que no necesitan demostración (son los
postulados);
- hay
términos simples y evidentes que no requieren definición (términos primitivos),
y otros que se deducen de aquéllos (términos definidos);
- la
decisión de probar en forma deductiva cualquier otro hecho acerca de esos
entes.
En síntesis, la Geometría euclidiana está centrada en
objetos abstractos, en sus relaciones, sus propiedades y conceptualizaciones.
Su obra conocida con el nombre de Elementos, consta de trece tomos.
Durante siglos tuvo un gran
reconocimiento como modelo de organización deductiva y racional, proveniente de
postulados, definiciones y teoremas, presentados en orden lineal, quizás más
lógico que matemático.
Recién a principios del siglo XIX
comenzaron a ponerse en evidencia algunos defectos en su desarrollo. Se
descubrieron omisiones y se encontraron
fallas lógicas en ciertos teoremas. Por ejemplo, Euclides omitió un postulado
que garantice la continuidad de la línea recta. Esa omisión ocasionó que fallasen
algunas demostraciones.
Sin embargo, a pesar de lo dicho,
nadie puede negar el mérito que tiene la obra de Euclides,
Entre los postulados que
caracterizan a la Geometría euclidiana destacamos el Postulado de las paralelas, también conocido como el Postulado V.
Asegura la existencia de una única paralela a una recta dada, por un punto
dado.
En la obra de Euclides no estaba
enunciado como lo hacemos en la actualidad.
Las investigaciones o discusiones
que generó durante más de veinte siglos desembocaron en las Geometrías no euclidianas. Estas
tuvieron la virtud de socavar los fundamentos de la Geometría euclidiana y de
facilitar una nueva concepción de esta rama de la Matemática, en la que se
elimina toda referencia intuitiva al espacio. Sólo subsiste la abstracción.
Ž Como una generalización
de los sistemas axiomáticos de las Geometrías no euclidianas se inicia la
tercera etapa, conocida como etapa
axiomática formalizada. Aparece
una nueva idea de rigor lógico: los sistemas axiomáticos formales.
En este periodo hay un riguroso
tratamiento de la Geometría de Euclides, realizado por David Hilbert. Podemos considerar su obra, Fundamentos de la
geometría (1899), como una “réplica moderna de los Elementos de Euclides, como
lo afirma el destacado matemático Luis A. Santaló. En ella se sistematiza, con
rigor lógico formal, el saber geométrico anterior.
Hilbert inicia su famosa obra
estableciendo tres clases de objetos a los cuales denomina puntos, rectas y planos. Admite que tales elementos están
en relaciones mutuas que designa por expresiones como estar en, entre, paralelo, congruente, continuo,
cuya exacta y completa descripción se consigue por medio de los axiomas o
postulados de la Geometría.
Distribuye a éstos en cinco
grupos, cada uno de los cuales expresa ciertos hechos fundamentales y conexos
entre sí, con un total de veinte axiomas:
- siete de enlace;
- cinco de orden;
- uno de paralelismo
(axioma V);
- seis de congruencia;
- uno de continuidad (axioma
de Arquímedes).
Afirma que los axiomas o
postulados, (actualmente estos términos se consideran equivalentes), son
proposiciones absolutamente arbitrarias, cuyo conjunto constituye la definición
implícita de los conceptos primitivos.
Demuestra la compatibilidad e
independencia de sus axiomas o postulados y, con todos ellos, establece los
teoremas o demostraciones de la Geometría, mediante un mecanismo puramente
lógico.
La construcción axiomática formal
debida a Hilbert, ha sido modificada en los últimos años, aunque conservando la
estructura que él le dio.
En ese sentido son notables las
contribuciones de Beppo Levi (matemático italiano) y de Rey Pastor (matemático
español), sólo por nombrar algunos. Ambos se radicaron en Argentina y
realizaron enormes contribuciones para el adelanto de la Matemática.
En síntesis:
La Geometría euclidiana, con los
axiomas de Hilbert es un sistema axiomático deductivo, cuyos objetos son
ideales o sea, pertenecen a un espacio conceptualizado. Como en todo sistema
deductivo, los axiomas o postulados deben cumplir ciertas condiciones
(consistencia o no contradicción, independencia, completitud). Se trata de un
modelo clásico construido sobre las ideas de Euclides.
La obra de Hilbert no está exenta
de defectos e imprecisiones y ha dado lugar a muchos trabajos y discusiones. La
no independencia del sistema axiomático de Hilbert fue señalada y subsanada por
E. H. Moore (1902) y según otra línea por A. Rosenthal (1912). Acaso el desarrollo axiomático más perfecto
según el modelo euclídeo es el de K.
Borsuk y W. Szmielew.
En la edición polaca estos
autores adoptan el sistema de Hilbert de conceptos primitivos y axiomas, pero
en una posterior versión inglesa proponen algunos cambios. Reemplazan la relación primitiva de incidencia por la relación conjuntista
de pertenecer un elemento a un conjunto,
siendo entonces las rectas y los planos, y también las demás figuras
geométricas, conjuntos de puntos. O sea, los espacios en los cuales se
desarrolla la Geometría euclidiana son espacios puntuales. También decimos que
es una geometría puntual.
Hasta aquí hemos mencionado a la
Geometría euclidiana y a las Geometrías no euclídeas. También es corriente
hablar de Geometría proyectiva, Geometría afín, Geometría métrica,
Geometrías finitas, Geometría computacional, Geometría fractal, Geometría computacional, sólo por nombrar
algunas.
Cualesquiera de ellas está
organizada como un sistema axiomático-deductivo y sus objetos de estudio son
entes ideales que operan en espacios ideales. Para cada una hay modelos o
ejemplos.
Es bueno saber de la existencia
de otros sistemas porque de lo contrario pensamos, al hablar de Geometría, que
la euclidiana es la única.
Es cierto que en general, nuestra
educación geométrica ha estado referida a la euclidiana casi exclusivamente.
Por esa razón la palabra recta trae a nuestra mente la idea de
recta euclidiana y lo mismo ocurre con la palabra plano.
En otras geometrías las rectas y los planos son objetos diferentes a los euclidianos
Actualmente hay una nueva
definición de Geometría dada por el matemático alemán Félix Klein, autor del famoso Programa
de Erlangen.
Klein dio en 1872, mediante el
concepto algebraico de grupo aplicado a las transformaciones puntuales
definidas en un determinado espacio, la pauta de naturalidad más eficaz que se
conoce hasta hoy para poner orden y coherencia en la aparente maraña de los hechos
geométricos.
Una idea breve sobre esta
cuestión está propuesta en el siguiente organizador..
[ El segundo organizador se denomina Funciones puntuales
Un poco de historia acerca del
concepto de función está consignado en las IDEAS GENERALES de la Sección EL
MUNDO NUMÉRICO.
A partir de innumerables estudios
realizados en siglos anteriores los matemáticos extrajeron un concepto
fundamental: el concepto de función,
como una caso especial de relación entre variables.
Entre los matemáticos que más
contribuyeron al nacimiento y a los primeros planteamientos de este concepto se
destacan Newton (1642-1727) que
utilizó el término fluyente para cualquier relación entre variables, Leibniz (1646-1716), que se sirvió por
primera vez de la palabra función para indicar cantidades que dependen de una
variable.
También introdujo las palabras
variable, constante y parámetro.La forma de expresar la fórmula de una función
como f(x), la más utilizada en la actualidad, se debe a Euler (1707-1778)
Incluimos este organizador en la
Sección MUNDO GEOMÉTRICO, porque las funciones que vamos a considerar tienen
como dominio y como codominio conjuntos de puntos de un cierto espacio
geométrico.
Muchas de estas funciones, lo
mismo que en la caso de las funciones numéricas, nos permiten interpretar situaciones
concretas de la vida cotidiana.
El concepto de función está
presente cuando decimos que un mapa está hecho a escala; que hay figuras
geométricas semejantes tanto en el plano como en el espacio tridimensional, que
dos figuras geométricas bi o tridimensionales son congruentes, que la figuras
semejantes están en relación con su área, que hay mosaicos o teselados del
plano cuyas unidades son figuras congruentes “dos a dos”), etc.
Es necesario poner en evidencia
la diferencia de significado que tiene la palabra función, según que sea
utilizada en la vida cotidiana o en un contexto matemático o vinculado con la
Matemática.
En efecto, habitualmente
entendemos por función un espectáculo programado o también en el terreno de la
fisiología por ejemplo, la idea de actividad interrelacionada.
En cambio en Geometría, lo mismo
que en cualquier capítulo de la Matemática, función es un conjunto de pares ordenados (en este caso de puntos), subconjunto o parte de un
producto cartesiano. Por esa razón tales funciones se denominan puntuales: su
dominio y su codominio son conjuntos de
puntos.
Entre las funciones puntuales es
corriente el uso de una fórmula que relaciona ambas variables (la variable
independiente o elemento del dominio y la variable dependiente o elemento
imagen perteneciente al codominio). Sin embargo, la definición de una función
no implica que necesariamente deba estar determinada por una fórmula.
Hay distintos tipos de funciones
puntuales: inyectivas, suryectivas, biyectivas, constantes, etc. Para las
funciones biyectivas reservamos el nombre de transformaciones. Por ejemplo, las
traslaciones, las homotecias de centro y razón dados, las congruencias, tanto
del plano como del espacio tridimensional, son transformaciones, es decir son
funciones biyectivas. Las proyectividades en cambio no lo son.
Consideremos las transformaciones
puntuales del plano euclidiano. Algunas de ellas preservan el paralelismo, lo cual significa que transforman rectas
paralelas en rectas paralelas. La palabra preservan se reemplaza a menudo por
la palabra conservan o por la
expresión dejan invariantes. También
preservan la alineación, es decir,
transforman puntos alineados en alineados. La alineación es una propiedad más
básica que el paralelismo.
También dejan invariantes otras
propiedades que están vinculadas con el paralelismo como por ejemplo, el centro
de gravedad de una figura como puede ser de una cupla puntual, de un triángulo,
de un paralelogramo, etc.
Entre tales transformaciones
podemos citar las traslaciones, la simetría central, la homotecia de centro y
radio dados, la simetría oblicua o paralela, etc. A todas ellas las denominamos
transformaciones afines o afinidades. Las propiedades geométricas
que preservan son conocidas como propiedades
afines.
Podemos demostrar que la
composición de dos transformaciones afines es otra transformación afín
Pongamos A para denotar el conjunto de las
transformaciones afines del plano euclidiano. Podemos demostrar que la
composición de dos afinidades es otra afinidad y que dicho conjunto tiene
estructura algebraica de grupo. Es el grupo
afín del plano, simbolizado por (A,
o)
.
Hay otras transformaciones del
plano que preservan la perpendicularidad:
transforman rectas perpendiculares en rectas perpendiculares.
También decimos que preservan la
ortogonalidad o perpendicularidad entre rectas
Son las transformaciones ortogonales como por ejemplo, las simetrías
ortogonales, (que son un caso particular de las simetrías oblicuas), las
congruencias (composición de n simetrías ortogonales), las traslaciones, las rotaciones, la simetría
central, la homotecia de centro y razón dadas, etc.
También se conocen como transformaciones métricas o semejanzas
Vemos que en ese listado
mencionamos algunas que también pertenecen al grupo afín. Por ejemplo, las traslaciones son afines y
también son ortogonales o métricas. Todas las transformaciones ortogonales son
afines, pero no toda afinidad es ortogonal.
Las propiedades invariantes para
las transformaciones ortogonales se llaman propiedades
ortogonales o propiedades métricas.
Entre los invariantes señalamos además de la perpendicularidad, la distancia relativa, y la amplitud de los ángulos.
Pongamos M para denotar el conjunto de la totalidad de las
transformaciones ortogonales del plano. Podemos demostrar que la composición de
dos transformaciones ortogonales es otra transformación ortogonal y que el par
ordenado (M,o) denota un grupo, denominado el grupo métrico del plano.
Entre las transformaciones
ortogonales, métricas o semejanzas, hay algunas que preservan las distancias
absolutas. Son las isometrías o congruencias. Ellas conforman el grupo de las congruencias o isometrías del plano euclidiano, al
cual simbolizamos (C,o). Preservan las distancias absolutas. y también la longitud y el área, sólo por mencionar algunos invariantes.
La siguiente cadena de
inclusiones ilustra la relación que existe entre los grupos de transformaciones
puntuales que actúan en el plano euclidiano.
(C,o)
Ì
(M,o)
Ì
(A.o)
Observamos que las congruencias o
isometrías son casos particulares de las semejanzas o transformaciones métricas
y éstas, a su vez, lo son de las transformaciones afines o afinidades.
Podemos extender lo dicho para
los grupos del plano euclidiano, a los grupos que actúan en el espacio
euclidiano tridimensional.
En nuestros días el concepto de
función es muy importante en la Matemática en general, y en la Geometría en
particular porque:
- nos permite llegar a la construcción de modelos matemáticos a
partir de la interpretación de situaciones de la vida cotidiana;
- es un concepto unificador en tanto atraviesa las diversas ramas
internas de la Matemática, estableciendo relaciones entre distintos conjuntos
ya sea numéricos o de puntos;
- es una herramienta fundamental para la modelización de variables
en otras áreas tales como física, biología, demografía, etc. y también podemos considerarla como un puente
entre la Matemática y los contenidos de otras áreas, como las ciencias
naturales o las ciencias sociales;
- nos permite estudiar las propiedades invariantes de las figuras
geométricas ante las transformaciones puntuales de un cierto grupo, con los
consiguientes beneficios que ello significa.
Pensar
en la Geometría euclidiana (bi o tridimensional), significa no sólo referirse a
sus objetos primitivos, las relaciones primitivas, los axiomas o postulados,
los objetos definidos y los teoremas, sino también a las funciones puntuales
que operan en dichos espacios y a las propiedades de las figuras que dejan
invariantes las funciones puntuales biyectivas (transformaciones) de los grupos
que operan en el espacio correspondiente (plano o espacio tridimensional)
Para finalizar consideremos de
manera muy breve un poco de la historia acerca de estas importantes funciones
de la Geometría.
El uso explícito de las
transformaciones puntuales para el estudio de las propiedades geométricas se
consolida en el siglo XIX. En el
organizador anterior mencionamos que el matemático alemán Félix Klein dio en
1872 la pauta de naturalidad más eficaz que se conoce hasta hoy para poner
orden y coherencia en la aparente maraña de los hechos geométricos.
Para ello usó el concepto de
grupo aplicado a las transformaciones. Ese escrito, conocido con el nombre de Programa de Erlangen, se hizo célebre
por la profundidad de sus concepciones y por su influencia en el desarrollo de
la Geometría. De alguna manera, las inclusiones que mostramos precedentemente
resumen parte del mismo en lo que hace a la Geometría elemental plana.
Quedarían por mencionar otros dos grupos: el grupo topológico, simbolizado por (T,o)
y el grupo proyectivo, anotado
(P,o)
[ El tercer organizador de la Sección se denomina Enseñanza y Aprendizaje
En él consideramos algunos
tópicos de los contenidos, (conceptuales y procedimentales), correspondientes a
los dos organizadores anteriores o sea, Geometría euclidiana y Funciones
puntuales. Mediante un ordenamiento especial y una transposición didáctica
adecuada, deben ser enseñados y aprendidos a lo largo de los diez años de
escolaridad obligatoria.
Puntualmente aludimos a
cuestiones que deben tratarse en el Tercer Ciclo de la E.G.B., aún cuando
venimos de decir que tales nociones
aparecen desde que los niños ingresan a la escuela.
También nos referimos a las Expectativas de logros correspondientes a
los temas mencionados.
No abordamos el tratamiento
didáctico de los contenidos. Su consideración escaparía al alcance de estas
notas.
Lo que debe quedar claro es que,
al enseñar Geometría, no debemos olvidar las ideas de espacio abstracto y método
axiomático, aún cuando para aprender el alumno tenga que valerse de la
intuición y de la verificación experimental.
Pero el hecho de que el alumno,
en la primera etapa de la escolaridad, no comprenda el significado de espacio
abstracto, objetos ideales y sistema
axiomático, no significa que tengamos que enseñarle lo que no es, identificando el espacio perceptivo con el
espacio conceptualizado de la Geometría.
Lo dicho en lo que hace a las
nociones geométricas deben estar dentro del marco de lo que se pretende al
término de la escolaridad
INDICE DE LA SECCION
&
MUNDO GEOMÉTRICO
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
¨SANTALÓ,
l., (1993), La
Geometría en la formación de profesores, Buenos Aires, R.A., Red Olímpica
¨TREJO,
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¨ALDERETE,
M., y otros, (1998), Nociones geométricas, de la Serie gris, El
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Escuelas, Gobierno de Mendoza
¨EUCLIDES, (1933), Elements, Londres,
Inglaterra, Editorial Isaac Todhunter.
¨HILBERT,
D., (1953), Fundamentos de la geometría, Madrid,
España, Editorial Instituto “Jorge Juan”de Matemática
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