Muestreo Aleatorio – Decisión Estadistica

 

 

 

      Diferencia entre Estadística Descriptiva e Inferencial

 

Estadistica Descriptiva: Es el método de recolectar, organizar,  resumir y presentar los datos en forma informativa.

 

Ejemplo.: La cantidad de pacientes atendidos en el Hospital municipal el último año.

 

Estadistica Inferencial: Es el método usado para determinar algo acerca de la población, basado en una muestra.

 

Ej.: Para estimar el voltaje requerido para provocar fallas en un dispositivo eléctrico, una muestra de estos dispositivos puede someterse a voltajes crecientes hasta que falle cada uno de ellos. Con base en estos resultados muestrales puede estimarse la probabilidad de falla a varios niveles de voltaje de los demás dispositivos de la población muestreada.

 

 

      Muestras y Población

 

Población: Es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas.

 

Ej.: Problema: "Camisas para personas adultas de El Salvador", se trata de determinar la cantidad adecuada de producción de camisas de acuerdo con las diversas medidas. La población son todas las personas adultas de El Salvador. La característica de interés son las medidas del cuello de las personas adultas en dicho país.

 

Muestra: es un subconjunto de la población de interés.

 

Ejemplo.: Una empresa escogerá 100 empleados de los 350 para hacerles un estudio. Esto es una muestra ya que el total de empleados es 350, se escogió a 100 para hacerse inferencias del resto.

 

 

      Diferencia entre Muestra y Población

 

Su diferencia se basa en que una Población es un todo y una Muestra es una fracción o segmento de ese todo.

 

 

      Técnicas de Muestreo

 

En estadística un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a partir de una población.

 

Al conjunto de muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su probabilidad de extracción, sigue la llamada distribución muestral.

 

Técnicas:

 

      Muestreo probabilístico: Forman parte de este tipo de muestreo todos aquellos métodos para los que puede calcularse la probabilidad de extracción de cualquiera de las muestras posibles. Este conjunto de técnicas de muestreo es el más aconsejable, aunque en ocasiones no es posible optar por él. En este caso se habla de muestras probabilísticas, pues no es razonable hablar de muestras representativas dado que no conocemos las características de la población.

 

Tipos de muestreo aleatorio simple:

 

Sin reposición de los elementos: cada elemento extraído se descarta para la subsiguiente extracción. Por ejemplo, si se extrae una muestra de una "población" de bombillas para estimar la vida media de las bombillas que la integran, no será posible medir más que una vez la bombilla seleccionada.

 

Con reposición de los elementos: las observaciones se realizan con reemplazamiento de los individuos, de forma que la población es idéntica en todas las extracciones. En poblaciones muy grandes, la probabilidad de repetir una extracción es tan pequeña que el muestreo puede considerarse sin reposición aunque, realmente, no lo sea.

 

Para realizar este tipo de muestreo, y en determinadas situaciones, es muy útil la extracción de números aleatorios mediante ordenadores, calculadoras o tablas construidas al efecto.

 

      Muestreo estratificado: Consiste en la división previa de la población de estudio en grupos o clases que se suponen homogéneos respecto a característica a estudiar. A cada uno de estos estratos se le asignaría una cuota que determinaría el número de miembros del mismo que compondrán la muestra.

 

Según la cantidad de elementos de la muestra que se han de elegir de cada uno de los estratos, existen dos técnicas de muestreo estratificado:

 

      Asignación proporcional: el tamaño de cada estrato en la muestra es proporcional a su tamaño en la población.

      Asignación óptima: la muestra recogerá más individuos de aquellos estratos que tengan más variabilidad. Para ello es necesario un conocimiento previo de la población.

 

Ejemplo.: Para un estudio de opinión, puede resultar interesante estudiar por separado las opiniones de hombres y mujeres pues se estima que, dentro de cada uno de estos grupos, puede haber cierta homogeneidad. Así, si la población está compuesta de un 55% de mujeres y un 45% de hombres, se tomaría una muestra que contenga también esa misma proporción.

 

 

      Muestreo sistemático: Se utiliza cuando el universo es de gran tamaño o ha de extenderse en el tiempo. Primero hay que identificar las unidades y relacionarlas con el calendario (cuando proceda). Luego hay que calcular una constante, que se denomina coeficiente de elevación K= N/n; donde N es el tamaño del universo y n el tamaño de la muestra. Determinar en qué fecha se producirá la primera extracción, para ello hay que elegir al azar un número entre 1 y K; de ahí en adelante tomar uno de cada K a intervalos regulares. Ocasionalmente, es conveniente tener en cuenta la periodicidad del fenómeno.

 

 

      Muestreo por conglomerados: Cuando la población se encuentra dividida, de manera natural, en grupos que se suponen que contienen toda la variabilidad de la población, es decir, la representan fielmente respecto a la característica a elegir, pueden seleccionarse sólo algunos de estos grupos o conglomerados para la realización del estudio.

 

Dentro de los grupos seleccionados se ubicarán las unidades elementales, por ejemplo, las personas a encuestar, y podría aplicársele el instrumento de medición a todas las unidades, es decir, los miembros del grupo, o sólo se les podría aplicar a algunos de ellos, seleccionados al azar. Este método tiene la ventaja de simplificar la recogida de información muestral.

 

Cuando, dentro de cada conglomerado, se extraen los individuos que formarán parte de la muestra por m.a.s., el muestreo se llama bietápico.

 

      Muestreo no probabilístico: Es aquel en el que la selección de los elementos de la muestra no se hacen al azar.

 

Tipos de Muestreo no probabilístico:

 

      Muestreo accidental.- Es un muestreo no probabilístico donde el investigador elige a aquellos individuos que están a mano.

 

Ejemplo.: Un periodista que va por la calle preguntando a las personas que salen a su paso, sin atender ningún criterio especial de elección. No es probabilístico porque aquellas personas que no pasan por ese sitio no tienen la posibilidad de entrar en la muestra.

 

      Muestreo por cuotas.- Se aplica en la última fase del muestreo, y consiste en facilitar al entrevistador el perfil de las personas que tiene que entrevistar dejando su criterio, la elección de las mismas, siempre y cuando cumplan con el perfil.

 

      Muestreo intencionado.- Se basa en una buena estrategia y el buen juicio del investigador. Se puede elegir las unidades del muestreo. Un caso frecuente es tomar elementos que se juzgan típicos o representativos de la población, y suponer que los errores en la selección se compensarán unos con otros. El problema que plantea es que sin una comprobación de otro tipo, no es posible saber si los casos típicos lo son en realidad, y tampoco se conoce como afecta a esos casos típicos los posibles cambios que se producen.

 

 

 

      Estadístico y Parámetro

 

Estadístico: Una estadística es cualquier cantidad cuyo valor se pueda calcular a partir de datos muestrales. Antes de obtener datos, hay incertidumbre en cuanto a que valor resulta de cualquier estadística particular. Por lo tanto, una estadística es una variable aleatoria y estará denotada por una letra mayúscula; una minúscula se emplea para representar el valor calculado u observado de la estadística.

 

Ejemplo.: La altura media de los que estamos en esta aula.

Somos una muestra (¿representativa?) de la población.

 

 

Parámetro: Estas funciones son tales como las medias, desviaciones típicas, momentos, coeficientes de correlación, etc., con el nombre genérico de parámetros. Modernamente se reserva esta palabra para los valores de la población y para designar el valor correspondiente de la muestra se utiliza la palabra estadígrafo. Por lo tanto, una media muestral es un estadígrafo que estima la media de la población, que es un parámetro.

 

Son cantidades, las cuales son constantes para distribuciones en particular, pero pueden tomar diferentes valores para diferentes miembros de familias de distribuciones del mismo tipo. Los parámetros más comunes son:    y  .

 

Ejemplo.: La altura media de los individuos de un país

      La idea es resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros).

 

 

 

      Distribución en el Muestreo de la Media y Varianza

 

Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza: n * s²  (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)

Ejemplo.: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salga más de 60 caras.

La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal.

Media = 100 * 0,5 = 50

Varianza = 100 * 0,25 = 25

Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:

(*) 5 es la raíz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución

Por lo tanto:

P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.

 

 

      Teorema Central del Limite

 

El Teorema Central del Límite nos señala que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

 

Ejemplo.: La variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.

 

 

 

      Aplicaciones Teorema Central del Limite

 

Inferencia estadística o la Teoría de renovación.

 

La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre un gran número de datos, basándose en la observación de una muestra obtenida de ellos; también intenta medir su significación, es decir la confianza que nos merecen. 

 

Objetivos: 

 

      Calcular probabilidades en distribuciones normales.

      Calcular los parámetros de la distribución de medias o proporciones muestrales de tamaño n, extraídas de una población de media y varianza conocidas.

      Estimar la media o la proporción de una población a partir de la media o proporción muestral.

      Utilizar distintos tamaños muestrales para controlar la confianza y el error admitido.

      Contrastar los resultados obtenidos a partir de muestras.

      Visualizar gráficamente, mediante las respectivas curvas normales, las estimaciones realizadas.

 

 

 

      Estimación de Parámetros

 

En una población cuya distribución es conocida pero desconocemos algún parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa.

Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables en este caso son los estadísticos obtenidos en la muestra, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos.

 

Más útil es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores, entre los que se encontrará el parámetro con una probabilidad fijada de antemano.

 

Intervalo de confianza: Es el intervalo que con una cierta probabilidad, contiene al parámetro que se está estimando.

Nivel de confianza: Es la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por 1-a y habitualmente se da en porcentaje (1-a)100%.

 

Ejemplo.: Un productor de fertilizantes, para controlar el buen embolsado de sus productos, pesa 15 bolsas del mismo, obteniendo una desviación típica de 0,50 kg. ¿Qué varianza puede inferirse con un 98% de confianza que tendrá la producción total?

 

Respuesta:

 

X = peso de cada bolsa de fertilizante

 

n = 15 S = 0,50 kg. ¿ICV0, 98?

 

 

Por tabla: 

 

Luego, el intervalo buscado es:

Se interpreta este resultado diciendo que existe un 98% de confianza de que la variancia del peso por bolsa en toda la producción de bolsas de fertilizantes de ese productor esté entre 0,12 y 0,75

Observaciones: 1) Del intervalo de confianza visto para la variancia, se deduce el correspondiente para el desvío típico:

 

Para el ejemplo 5:

2) Si n > 100, los valores ya no se encuentran en la tabla de la distribución Chi cuadrado, y por lo tanto se la aproxima a una normal, utilizando para aproximar percentiles en esta distribución:

Y el intervalo buscado es:

 

 

 

      Estimación puntual y por Intervalos

 

Estimación puntual: Es cuando a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor como estimación de un parámetro de la población desconocido.

 

Ejemplo.: Queremos estimar la nota media de los alumnos de bachiller en la asignatura de matemáticas que notaremos. Sea X la variable aleatoria que indica la nota obtenida por cada estudiante. Tomamos una muestra de tamaño n y denotamos  la nota media de la muestra. Si al tomar una muestra de 100 estudiantes obtenemos que la media es 6´2, este número lo tomaríamos como estimativo de. Decimos que 6´2 es una estimación puntual de.

 

Estimación por Intervalos: La estimación por intervalos de un parámetro θ consiste en la determinación de un intervalo, que contendrá el parámetro con una confianza 1- α, número entre 0 y 1, fijado por el experimentador. Par ello se requerirá lo siguiente: 

      Una muestra aleatoria X₁, X₂,..., X_n de tamaño n extraída de la población X.

      Un estimador Θ del parámetro poblacional θ, con distribución o ley de probabilidad conocida.

      El nivel de confianza 1- á, establecido a priori por el experimentador (los usuales son 0.95, 0.90 y 0.99).

 

 

      Intervalos de confianza

El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ₁, θ₂] ó θ₁ ≤ θ ≤ θ₂, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza.

Ejemplo.: Calcular un intervalo de confianza con   para la varianza   de la altura de los individuos de la ciudad., obteniéndose los siguientes valores anteriormente, con los cuales trabajaremos:

Solución:

Para estimar un intervalo de confianza para (varianza poblacional) el estadístico que nos resulta útil es:

Entonces el intervalo de confianza que buscamos lo obtenemos mediante:

Figura: Percentiles del 2,5% y del 97,5% para la distribución .

 

 

Por tanto, para el valor poblacional de la desviación típica tenemos que:

con una confianza del 95%, que por supuesto contiene a las estimaciones puntuales   y  calculados sobre la muestra.

 

 

      Error Probable

 

Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más ocurrencias deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar E, según la fórmula E = θ₂ - θ₁.

Ejemplo.: Se mide una misma distancia cinco veces con la misma cinta métrica y en iguales condiciones climáticas obteniendo los siguientes resultados: 19,23 m; 19,19 m; 19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . ¿Cuál fue la distancia medida?

Solución: Hay que tabular los datos de la siguiente manera y aplicar lo explicado en este artículo:

Como el número de mediciones es igual a 5, entonces n=5; por lo tanto, la media es:

Media = 96,14 m / 5 = 19,228 m

La desviación estándar se calcula conociendo la sumatoria de los residuos al cuadrado (0,003 68) y la cantidad de observaciones:

= [(0,03 68)/(5*(5-1))]½ = 0,013 56 m

Aplicando la fórmula para un error probable del 50% (Cp = 0,674 5) se tiene:

Ep = 0,674 5 *(0,01356 m) = 0,009 m

Entonces se puede afirmar que existe un 50% de probabilidad de que la distancia sea:

X = 19,228 m ± 0,009 m

Con estos resultados se puede calcular la precisión con la que se efectuó la medida:

E = 0,009 m / 19,228 m = 0,000 47

Que significa que por cada metro que se midió se cometió un error de 0,000 47 m, que expresado como grado de precisión queda:

Precisión = 1: 19,228 / 0,009 = 1: 2 142

Lo cual quiere decir que, si se midiera con la misma precisión una distancia de 2 142 m, se cometería un error de 1 m.

 

 

      Calculo del tamaño de la muestra

 

Es el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población, necesarios para que los datos obtenidos sean representativos de la población

 

Ejemplo.: En el proyecto de Al Haouz en Marruecos, se ha calculado que cerca del 30% (0,3) de los niños de la zona del proyecto padecen de malnutrición crónica. Este dato se basa en estadísticas nacionales sobre malnutrición en las zonas rurales. Utilizando los valores estándar indicados supra se efectúa el cálculo siguiente:

Cálculo:

 

Calculo:

 

n= 1.96² x .3 (1-.3)

  .05²

n = 3.8416 x .21

  .0025

n = .8068

  .0025

n = 322.72 ~ 323

 

 

 

 

      Relación entre el tamaño de la muestra y el error probable

 

La muestra descansa en el principio de que las partes representan al todo y, por tal, refleja las características que definen a la población de la cual fue extraída, indicando que es representativa. Es decir, que para hacer una generalización exacta de una población, es necesario tomar una muestra representativa. Por lo tanto, la validez de la generalización depende de la validez y tamaño de la muestra. No obstante, cuando se trabaja con muestras, generalmente se presentan dos tipos de errores:

 

      Llamado de distorsión o sesgo de la muestra, se presentan por causas ajenas a la muestra:

 

-         Situaciones inadecuadas: Se presentan, por ejemplo, cuando el encuestador tiene dificultades para obtener la información y la sustituye por la que más fácilmente está a su alcance, que no siempre es la más confiable.

-         Insuficiencia en la recolección de datos: Hay distorsión por falta de respuestas, o respuestas inadecuadas, ya sea por ignorancia o falta de datos relativos a los elementos incluidos. Distorsiones del encuestador causadas por prejuicios, interés personal o por fallas en la aplicación de instrumentos. Errores de cobertura a causa de que no se han incluido elementos importantes y significativos para la investigación que se realiza.

 

 

      Error de muestreo o muestral: Cualquiera sea el procedimiento utilizado y la perfección del método empleado, la muestra diferirá de la población. A esta diferencia se la denomina error de muestreo. Cuando una muestra es aleatoria o probabilística, es posible calcular sobre ella el error muestral. Este error indica el porcentaje de incertidumbre, es decir, el riesgo que se corre de, que la muestra elegida no sea representativa. Si se trabaja con un error calculado en 5%, ello significa que existe un 95% de probabilidades de que el conjunto muestral represente adecuadamente al universo del cual ha sido extraído.

 

 

 

      Error Tipo I. Error Tipo II

 

Error Tipo I.: Es también mal llamado error tipo alfa (alfa es la probabilidad de que ocurra este error), es el error que se comete cuando el investigador rechaza la hipótesis nula (Ho) siendo ésta verdadera en la población. Es equivalente a encontrar un resultado falso positivo, porque el investigador llega a la conclusión de que existe una diferencia entre las hipótesis cuando en realidad no existe.

 

 

Error Tipo II.: Es también llamado error tipo beta (aunque beta es la probabilidad de que exista éste error), se comete cuando el investigador no rechaza la hipótesis nula siendo ésta falsa en la población. Es equivalente a la probabilidad de un resultado falso negativo, ya que el investigador llega a la conclusión de que ha sido incapaz de encontrar una diferencia que existe en la realidad.

 

Ejemplo.: Si tenemos las siguientes hipótesis

Ho: q = q0
H1: q = q1

El primer error que se puede cometer es rechazar la hipótesis q = q0 cuando el verdadero valor del parámetro es q = q0, y este es el error tipo I, y el error tipo II consiste en aceptar la hipótesis q = q0 cuando el verdadero valor del parámetro es q = q1.

 

 

      Nivel de Significación.

 

Se define como la probabilidad de rechazar erróneamente la hipótesis nula: 

      

 

 

Ejemplo.: Un nivel de significación p < 0,01 expresa que 1 de cada 100 observaciones será diferente y que 99 no lo serán (es un nivel de mayor precisión). Esto sirve para establecer reales diferencias entre tratamientos, técnicas quirúrgicas, aspirantes de ingreso, etc. Es muy común leer artículos científicos donde una significación (p) de 0,0001 es más significativa que una de 0,01. Esto es incorrecto pues lo que corresponde hacer es determinar el nivel de significación (el nivel de p) previo a la obtención de los datos observados y analizar posteriormente si existen o no diferencias.

 

 

 

      Contraste sobre la diferencia de las medias de 2 muestras grandes.

 

Sean X ₁ y X ₂ dos medias muestrales de dos poblaciones. El tamaño de cada una de estas muestras son n₁ y n₂ respectivamente. Queremos observar si la diferencia entre las medias es significativa o no, es decir, comprobar si podemos aceptar que m 1 = m 2. Así tenemos que:

      Hipótesis nula Þ H_o : m 1 - m 2 = 0

      Hipótesis alternativa Þ H_a : m 1 - m 2 ¹ 0

      Estadístico Þ Z = [(C ₁- C ₂ ) — (m 1 - m 2 )] / [(s ₁²/n₁) + (s ₂²/n₂)] ^1/2 con distribución N(0,1)

      Nivel de significación Þ a = 0.05 (generalmente)

      Región aceptación H_o Þ -1.96 £ Za _/2 £ 1.96

      Criterio aceptación H_o Þ -1.96 £ Z £ 1.96

 

En el caso que las desviaciones de las poblaciones sean desconocidas, es decir, sólo conozcamos las desviaciones muestrales, tendremos que:

      Estadístico Þ t = (C 1- C 2) — (m 1 - m 2) / [(S12 /n1) + (S22 /n2)] 1/2 con distribución T-Student con v grados de libertad

      Nivel de significación Þ a = 0.05 (generalmente)

      Criterio aceptación Ho Þ -t0.975 (n1 + n2 — 2) < t < t0.975 (n1 + n2 — 2)

Ejemplo:

 

Se conocen los datos de dos muestras de dos poblaciones, que son los siguientes:

 

 

Se pide contrastar estadísticamente si existe diferencia entre las dos poblaciones, a un nivel de significación del 0.05. Las dos poblaciones siguen una distribución Normal N(m ₁,s ₁) y N(m ₂,s ₂)

Solución. Sabemos que las distribuciones de las dos poblaciones son Normales, pero desconocemos el valor de su desviación, sólo conocemos el valor de la desviación típica de las muestras. Por ahora, planteemos las hipótesis:

• Hipótesis nula Þ H_o : m 1 - m 2 = 0, es decir, m 1 = m 2

• Hipótesis alternativa Þ H_a : m 1 - m 2 ¹ 0, es decir, : m 1 ¹ m 2

No usaremos el estadístico que correspondería a este test, ya que el tamaño de las muestras es elevado y como dijimos anteriormente, una distribución T-Student con muchos grados de libertad se aproximaba mucho a una Normal, utilizaremos el siguiente estadístico:

• Estadístico Þ Z = [(C ₁- C ₂ ) — (m 1 - m 2 )] / [(s ₁²/n₁) + (s ₂²/n₂)] ^1/2 con distribución N(0,1)

El nivel de significación nos dice el enunciado que es de 0.05, y para el criterio de aceptación tenemos que:

• Región aceptación H_o Þ -1.96 £ Za _/2 £ 1.96

• Criterio aceptación H_o Þ -1.96 £ Z £ 1.96

Empecemos actuando como siempre, es decir, calculando el estadístico con los datos de la población y de la muestra, aceptando, por ahora, la hipótesis nula (m 1 = m 2), y observemos en que región se sitúa el estadístico.

Z = -1.38, como podemos ver el estadístico se sitúa en la región de aceptación de la hipótesis nula, con lo que aceptaríamos la H_o (m 1 = m 2), y podríamos concluir que, a un nivel de significación de 0.05, las dos poblaciones se pueden considerar iguales estadísticamente

 

 

      Distribución T de Student.

 

En muchas ocasiones no se conoce s y el número de observaciones en la muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación  estándar de la muestra s como una estimación de s, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t.

Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada).

 

Ejemplo.: El valor t con = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es

t_0.975=-t_0.025 = -2.145

Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y se obtendrá el valor de t.

 

      Grados de Libertad

 

Es el número de valores que podemos elegir libremente.

 

Esta fórmula está basada en n-1 grados de libertad (degrees of freedom). Esta terminología resulta del hecho de que si bien s² está basada en n cantidades . . . , éstas suman cero, así que especificar los valores de cualquier n-1 de las cantidades determina el valor restante.

Ejemplo: Si n=4 y; y , entonces automáticamente tenemos , así que sólo tres de los cuatro valores de están libremente determinamos 3 grados de libertad.

Entonces, en esta unidad la fórmula de grados de libertad será n-1 y su simbología

 

 

      Contrastes sobre la Diferencia.

 

Se realizan dos muestras aleatorias simples de tamaños n y m a dos poblaciones normales independientes de igual varianza , pero desconocida.

Los datos se presentan en una lista de vectores reales:.

El estimador de la diferencia de medias es .

Se trata de contrastar la hipótesis nula

H₀: "las medias de ambas poblaciones son iguales: " frente a la alternativa:

H₁: "las poblaciones tienen diferentes medias: ".

Para ello se hará uso del estadístico     siendo y las respectivas cuasi varianzas. El estadístico A se distribuye como una t_n+m-2 de Student cuando H₀ es verdadera.

 

 

      Aplicaciones de los contrastes de Hipótesis

 

El contrastes de Hipótesis es una técnica de Inferencia Estadística que permite comprobar si la información que proporciona una muestra observada concuerda (o no) con la hipótesis estadística formulada sobre el modelo de probabilidad en estudio y, por tanto, se puede aceptar (o no) la hipótesis formulada.

 

Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto estamos ante una hipótesis unilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor) estamos ante uno unilateral.

 

Aplicaciones:

 

Los contrastes de hipótesis, como la inferencia estadística en general, son herramientas de amplio uso en la ciencia en general. En particular, la moderna Filosofía de la ciencia desarrolla el concepto de falsabilidad de las teorías científicas basándose en los conceptos de la inferencia estadística en general y de los contrastes de hipótesis. En este contexto, cuando se desea optar entre dos posibles teorías científicas para un mismo fenómeno (dos hipótesis) se debe realizar un contraste estadístico a partir de los datos disponibles sobre el fenómeno que permitan optar por una u otra.

 

Las técnicas de contraste de hipótesis son también de amplia aplicación en muchos otros casos, como ensayos clínicos de nuevos medicamentos, control de calidad, encuestas, etcétera.

 

 Ejemplo:

 

Introduciremos el tema considerando el problema expuesto por un investigador al conjeturar sobre la proporción "exacta" p₃  de individuos con genotipo aa en una población numerosa,  si se tiene en cuenta la existencia de otros dos genotipos AA y Aa, en proporciones p₁ y p₂, respectivamente. La formulación de tal hipótesis, denominada hipótesis nula  y designada por H₀, lleva aparejada una hipótesis alternativa H₁ que, en este caso, niega la aserción del experimentador. 

El procedimiento desarrollará el contraste de ambas hipótesis en juego, en base a la utilización de un criterio o regla "razonable" que permita "pronunciarse" o no por la conjetura expuesta, es decir, el rechazo o no rechazo de la hipótesis nula. 

Concretamente, las hipótesis a contrastar  giran en torno a que dicha proporción sea o no 1/4, y pueden ser expresadas formalmente como sigue:

El no rechazo de la hipótesis nula, nos conduciría a afirmar que la proporción de individuos con genotipo aa no "difiere significativamente" de 1/4, lo que no se debe interpretar como que  dicha proporción sea exactamente esta fracción.

 

 

Infografias:

 

      http://www.universidadabierta.edu.mx/SerEst/Apuntes/VelascoRoberto_EstadistInferencial.htm

 

      http://www.unlu.edu.ar/~estadistica/que_es_la_estadistica.ppt

 

      http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADstica#T.C3.A9cnicas_de_Muestreo

 

      http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/ficheros/estad_uma_02.ppt

 

      http://nutriserver.com/Cursos/Bioestadistica/Limite_Central.html

 

      http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_HCS_2/Distribucion_normal_e_inferencia_estadistica/Distribucion_normal_inferencia_estadistica.htm

 

      http://www.fca.unl.edu.ar/InferEst/EstimParam.htm

 

      http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0018-04/MINTCONF.html

 

      http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/def_nivel_signif.html

 

      http://www.itchihuahuaii.edu.mx/academico/CB/MEG/documentos/1.8.htm

 

      http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/inferencia_estadistica/contraste.htm

 

      http://www.exopol.com/general/circulares/136.html