Probabilidad y Experimento Aleatorio
Probabilidad es “el sentido común reducido al
cálculo”. Según Lapace.
Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la
frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se
realiza el experimento crece.
La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal
forma que:
Al
suceso imposible le corresponde el valor 0
Al
suceso seguro le corresponde el valor 1
El
resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1.
El concepto de probabilidad no es único, pues se puede
considerar desde distintos puntos de vista:
El
punto de vista objetivo
Definición
clásica o a priori
Definición
frecuentista o a posteriori
El
punto de vista subjetivo
Ejemplo:
Se lanzara un dado de quinielas y se anotara el resultado.
El espacio muestral es E = {1,X,2}.
Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:
P(Ø) = 0
P({1}) = 1/3 P({X})
= 1/3 P({2}) = 1/3
P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3
P({1,X,2}) = P(E) = 1
Experimento Aleatorio es aquel cuyos posibles
resultados se conocen, pero en el que es imposible saber previamente cual será
el resultado en una determinada experiencia.
Ejemplo:
En un
dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una
moneda, E={C,+}
Espacio muestral y eventos.
Espacio muestral. Para cada experimento E definimos
el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de E.
Usualmente se designa este conjunto como S.
El espacio muestral, de acuerdo con el número
de resultados posibles, puede ser: finito, infinito numerable, infinito no
numerable.
Ejemplo:
Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale
cara, sale sello} ó E = {c, s}.
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
E =
{(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.
Al lanzar
tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s),
(s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}
Eventos: Un evento A (respecto a un espacio
muestral particular S asociado a un experimento E) es simplemente un conjunto
de resultados posibles. En terminología de conjuntos, un evento es un
subconjunto del espacio muestral S. Esto implica que S también es un evento así
como lo es el conjunto vacío. Cualquier resultado individual también puede
considerarse como un evento.
Se dice que dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes
si no pueden ocurrir juntos. Expresamos esto escribiendo IMAGEN; es decir, la
intersección de A y B es el conjunto vacío.
Ejemplo:
En el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento
de un dado, los siguientes son eventos:
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
Probabilidad de ocurrencia de un evento
La probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte
de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su
disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado
cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el
evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este
enfoque es un juicio personal.
Ejemplo:
El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de
ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es
imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente
ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un
evento A y P(A´) la probabilidad de no-ocurrencia de
A, tenemos que:
Definición
axiomática de Probabilidad
La definición axiomática de Probabilidad es la relación entre la
frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces
que se realiza el experimento es muy grande. Según, Kolmogorov.
Ejemplo:
Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio.
La Probabilidad
de cada suceso es un número que verifica:
1.-Cualquiera que sea el suceso A,
P(A)
0.
2.- Si dos sucesos son incompatibles, la
probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.
= Ø 
P(
) = P(A) +
P(B).
3.- La probabilidad total es 1. P(E)
= 1.
Teorema
básicos de Probabilidad
Teorema
1: Regla de Adición
La
probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio
muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación:
P( A U B
) = P( A ) + P( B ) – P( A 
B )
Ejemplo:
Si el
experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:
S = { 1,
2, 3, 4, 5, 6 }
Si el
evento A es cae un número par
A = { 2,
4, 6 }
Si el
evento B es cae un número menor de 3
B = { 1,
2 }
¿Cuál
será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos?
La
probabilidad de A y la probabilidad de B es:
P(A) = 3
= 0.50 P(B) = 2 = 0.33
6 6
Para
aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de
estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unión, o de manera
inversa, conocer la probabilidad de la unión para calcular la probabilidad de
la intersección.
En este
caso queremos saber la unión, entonces es necesario conocer la intersección,
que es " número par y menor de 3".
A B = { 2 }
entonces P(A B)= 2
= 0.33
6
Si
aplicamos la regla de adición:
P( A U B
) = P( A ) + P( B ) – P( A B )
P( A U B
) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67
Teorema
2: Regla de Complementación
La
probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada por la
siguiente ecuación:
_
P( A ) = 1 – P ( A )
Si A es
cae un seis, entonces la probabilidad de que no caiga seis es:
_
P( A ) = 1 – 0.16 = 0.84
Teorema
3: Regla de Diferenciación
La
probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado
pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por
P(A - B)
= P(A) – P(A B)
Si el
evento A es cae un número par y si el evento B es cae un número menor de 3,
entonces la probabilidad de que caiga par pero no menor de tres es:
P(A - B) = P(A) – P(A B)
P(A - B) = 0.50 – 0.16 = 0.33
Y la
probabilidad de que caiga menor de tres pero no par es:
P(B - A) = P(B) – P(A B)
P(A - B) = 0.33 – 0.16 = 0.17
Probabilidad en espacios muéstrales finitos
Espacios
muestrales finitos
son los espacios muestrales que
provengan de experimentos para los cuales sólo existe un
número finito de resultados posibles.
Así O = { w1,
w2, ... , wn }
En un experimento
aleatorio con un
espacio muestral finito,
una distribución de probabilidad se especifica asignando una probabilidad pi a
cada resultado wi ? O, pi = P ( { wi } ). Debe cumplirse:
a) pi =
0
b) P ( 0 ) = 1 --?
? pi = 1
En estas
condiciones, si A = { wi1, wi2, ... , wir }, se tiene
P(A) = ? pij
Métodos de Conteo. Regla de multiplicación.
Métodos de Conteo: En diferentes casos se tomará de
algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes
agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la
naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son
diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de
ellos es igual se dirá que son agrupaciones con repetición.
Primer
principio de conteo:
Si una actividad puede realizarse en m etapas sucesivas y
el paso 1 puede hacerse en n1 formas, el paso 2 en n2 formas,
..., y el paso m en nm formas, entonces el número de actividades
posibles es
n1*n2*...*nm.
Ejemplo:
Se quiere saber
cuantas matriculas diferentes de automóvil, de 4 letras y 3 números se pueden
hacer.
Como se podrá ver el problema se puede resolver utilizando
el primer principio de conteo ya que si tenemos 27 letras en el abecedario y
diez dígitos del 0 al 9 entonces una de las matriculas posibles seria R T
D Z 4 7 1, pero en el primer espacio hay 27
letras distintas que pueden ponerse y así en los siguientes tres lugares en el
quinto, sexto y séptimo hay diez números distintos que se pueden colocarse así
que la solución seria
27*27*27*27*10*10*10 = 531441000 = 274 *103
Segundo
principio de conteo:
Supóngase que A1,...An, son conjuntos y que el i-ésimo
conjunto Ai tiene mi elementos. Si {A1,...,An} es familia disjunta por pares,
el número de posibles elementos que se puede seleccionar de A1 o A2 o ... o A
es
m1+m2+... + mn
Ejemplo:
Si hay 3 empresas de paquetería que hacen entregas diario
entre puebla y Morelos por vía aérea y otras 5 de igual manera hacen entregas
de puebla a Morelos pero vía terrestre, de cuantas maneras se puede hacer un envió
de puebla a Morelos?
Respuesta: 3+5
Regla de multiplicación: La regla especial de
multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes.
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de
una no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro.
La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B).
Ejemplo:
Carlos posee dos inventarios independientes uno de otro.
La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el
próximo año es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el
próximo año?
P(A y B) = (.5) (.7) = .35.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su
valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)?
Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) +
(.5)(.7) + (.7)(.5) = .85.
Permutaciones
Permutaciones es un arreglo de todos o parte de
un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el
arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es
importante resaltar que el orden es una característica importante en la
permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos
dichos elementos.
Ejemplo:
Determinar
los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b
y c tomadas de dos en dos
Método 1:
Sea el
conjunto: {a, b, c}, entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb Número de arreglos = 6
Combinaciones
Combinaciones es cada uno de los diferentes
arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto
dado sin considerar el orden en su ubicación.
El número de combinaciones de "n" elementos
diferentes tomados de "k" en "k", con k n, está dada por:
Ejemplo:
Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el
máximo número de triángulos que se podrán formar?
Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el
plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5).
Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo
tanto se trata de una combinación.
Muestreo y Muestras
Muestreo: Es la actividad por la cual se
toman ciertas muestras de una población de elementos de los cuales vamos a
tomar ciertos criterios de decisión, el muestreo es importante porque a través
de él podemos hacer análisis de situaciones de una empresa o de algún campo de
la sociedad.
Muestras: Grupo generalmente reducido de
unidades obtenidas de la población
Sucesos Dependientes e Independientes
Sucesos Dependiente: Dos sucesos A y B son dependientes
entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es
decir, si
P( B/A
) P( B )
ó P( A/B ) P( A )
Sucesos Independientes: Dos sucesos A y B son
independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la
probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A ) =
P( B ) ó P( A/B ) = P( A )
Ejemplo:
Cual es
la probabilidad de que caiga sello en el 15avo lanzamiento y caiga sello en el
16avo lanzamiento de una moneda bien construida.
E1 =
caiga sello en el 15avo lanzamiento P{E1} =1/2
E2 =
caiga sello en el 2° lanzamiento P{E2} = 1/2
P{E1E2} = P{E1} P{E2}
= (1/2) (1/2)
= 1/4
Probabilidad Condicional.
La
probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento dado ocurra dado que
otro evento ocurre. El operador de la probabilidad condicional es el signo |
Ejemplo:
El
experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5
canicas rojas y 5 canicas verdes.
P(A) =
{la primer canica es roja}
P(B) =
{la segunda canica es roja}
P(B|A) =
{la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja}
P(AnB)
={las dos canicas son rojas}
Al
extraer la primer canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por
lo que la probabilidad es:
P(A)
= 5 = 0.5
10
Al
extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por
lo que la probabilidad condicional de que la segunda sea roja dado que la
primera fue roja es: P(B|A) = 4 = 0.44
9
Sucesos Mutuamente Excluyentes.
Dos o más sucesos se dicen excluyentes si la ocurrencia de
uno o cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia de los otros. Así si E1 y
E2 son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de suceso uno por el
suceso dos es igual a cero. P{E1+E2}=0
Si E1 más E2 representa el suceso de que ocurra E1 o E2 o
ambos, entonces, la probabilidad de:
Sucesos no mutuamente excluyentes: P{E1+E2}=P{E1} + P{E2} - P{E1E2}
Sucesos mutuamente excluyentes: P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}
Ejemplo:
Se hace una
extracción de una baraja de 52 cartas ¿cual es la probabilidad de que esa
extracción sea un as o un rey?
E1 = extracción de as = 1/13
E2 = extracción de un rey = 1/13
P{E1+E2}=P{E1} + P{E2} =
1/13 + 1/13 = 2/13
Distribución de Probabilidad.
Distribución de probabilidad indica toda la gama de valores
que pueden representarse como resultado de un experimento.
Muestra todos los resultados posibles de un experimento y
la probabilidad de cada resultado.
Ejemplo:
Se quiere saber el número de caras que se obtienen al
lanzar cuatro veces una moneda al aire?
Es obvio que, el hecho de que la moneda caiga de costado
se descarta.
Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos
caras, tres caras y cuatro caras.
Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente
espacio muestral:
|
NUMERO DE
CARAS |
FRECUENCIA |
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDADES |
|
0 |
1 |
1/16 |
|
1 |
4 |
4/16 |
|
2 |
6 |
6/16 |
|
3 |
4 |
4/16 |
|
4 |
1 |
1/16 |
Distribución Normal. Tabla de Distribución.
Distribución Normal. Se utiliza en las aplicaciones estadísticas. Su
utilización es extendida, justificada por la frecuencia o normalidad con la que
ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una
función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones
binomiales, tipo B(n, p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez
mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en
"forma de campana".
La importancia de la distribución normal se debe
principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que
siguen el modelo de la normal.
Caracteres
morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,…) de una especie, p.
Ej. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros…
Caracteres
fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una
misma cantidad de abono.
Caracteres
sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de
individuos, puntuaciones de examen.
Caracteres
psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un
medio……
Errores
cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores
estadísticos maestrales, por ejemplo: la media.
Otras
distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales…
Y en general cualquier característica que se obtenga como
suma de muchos factores.
Tablas
de Distribución:
Tabla
1. Distribución Normal
Tabla
2. Distribución t de Student
Tabla
3. Distribución X2
Tabla
4. Distribución F de Fisher
Tabla
5. Probabilidades Binomiales
Tabla
6. Probabilidades de Poisson
Tabla
7. Tabla de Números al Azar
Distribución Binomial. Distribución Poisson.
Distribución Binomial es una distribución de
probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos
independientes, cada uno de los cuales tiene probabilidad θ de ocurrir.
para 
,
siendo 
las
combinaciones de n en x
(n elementos tomados de x en x)
Ejemplo:
La distribución binomial se usa para encontrar la
probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En
este caso se tiene que 
y resulta:
Su media y su varianza
son:
Distribución
Poisson es
una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número
de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa
media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.
El trabajo estaba enfocado en ciertas variables aleatorias N que cuentan, entre otras cosas, un número de ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es λ, entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un entero no negativo, k = 0, 1, 2, ...) es igual a:
dónde
- e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),
- k! es el factorial de k,
- k es el número de ocurrencias de un evento,
- λ es un número real positivo,
equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado.
Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está
interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10
minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.
Ejemplo:
Por
ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene
encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros
encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas. 
Su media y su varianza
son:
Como
una función de k, ésta
es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede ser vista
como un caso limitante de la distribución binomial.
Infografias
http://personales.com/espana/madrid/Apuntes/probabi.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html
http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema15.pdf
http://cablemodem.fibertel.com.ar/coya/formulas/est/E01.2.html
http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definiciones.html
http://www.monografias.com/trabajos13/analisco/analisco.shtml
http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml
http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_5.htm
http://html.rincondelvago.com/probabilidad_8.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad
http://www.monografias.com/trabajos10/dino/dino.shtml?monosearch#no
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Metodos/TABLAS.pdf