Modelo
de Regresión
Se
denominan modelos de regresión a los modelos estadísticos que explican la
dependencia de una variable dependiente “Y” respecto de una o varias variables
cuantitativas “X”.
Para obtener los estimadores de
los parámetros desconocidos del modelo así como para realizar contrastes de
hipótesis y la verificación del modelo, se necesitan un conjunto de hipótesis
que, si bien se pueden ir desarrollando a medida que se vayan necesitando, se establecerán
en esta sección, haciéndose referencia a ellas en el momento en el que se
utilicen.
El conjunto de hipótesis sobre las
que se basa el modelo de regresión versa sobre los siguientes aspectos:
1.- Forma funcional de la
relación. (Supondremos que es lineal)
2.- Correcta especificación del
modelo. (Es decir, que x es la única variable explicativa)
3.- La variable x es no
estocástica.
4.- Identificabilidad
de los parámetros. (β1y β2 se podrán estimar de forma única)
5.- Valor esperado de la
perturbación dada la información observada. (E (ε)=0(nx1))
6.- Varianzas y Covarianzas de las
perturbaciones dada la información observada.
E[εε]
= Σz
7.- Distribución de probabilidad
de la parte estocástica del modelo.
A continuación, se enumerarán y
comentarán las hipótesis básicas del modelo lineal dedos variables
La regresión lineal es un modelo
matemático mediante el cual es posible inferir datos acerca de una población.
Se conoce como regresión lineal ya que usa parámetros lineales (potencia
1).Sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas
variables
La regresión lineal es un modelo matemático mediante el
cual es posible inferir datos acerca de una población. Se conoce como regresión
lineal ya que usa parámetros lineales (potencia 1).Sirve para poner en
evidencia las relaciones que existen entre diversas variables.
Regresión
Lineal Simple:
Dado el modelo de esta en particular regresión simple, si
se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene - considerando
los supuestos para los errores:
Regresión
Lineal Múltiple:
Para calcular los parámetros debe tomarse en cuenta que se
está refiriendo a matrices:
Estimación
de parámetros
La estimación de parámetros consiste en el cálculo
aproximado del valor de un parámetro en la población, utilizando la inferencia
estadística, a partir de los valores observados en la muestra estudiada. Para
el cálculo del tamaño de la muestra en una estimación de parámetros son
necesarios los conceptos de Intervalo de confianza, variabilidad del parámetro,
error, nivel de confianza, valor crítico y valor α.
Varianza
de la regresión en la muestra
La Varianza para regresión en la
muestra se fundamenta en descomponer la variación total de la variable de
respuesta en varias partes llamadas fuentes de variación.
La Varianza para la regresión en
la muestra se presenta como respuesta a la necesidad de utilizar una técnica de
comparación de más de dos grupos, es decir como un método para comparar más de
dos tratamientos: si disponemos de medidas cuantitativas continuas, que se
puede suponer como procedentes de una distribución de probabilidad normal, y
queremos comparar dos grupos -dos tratamientos-, la prueba estadística que se
utiliza es un contraste de medias basado en la t de Student, y cuando se
dispone de más de dos grupos, la prueba a emplear es el análisis de la
varianza.
Esta técnica, nos permite no sólo
para analizar los datos sino también para planificar los experimentos, y creo
más apropiado hablar de que el análisis de la varianza es un procedimiento
estadístico que nos permite dividir la variabilidad observada en componentes
independientes que pueden atribuirse a diferentes causas de interés.
Inferencias
acerca de los coeficientes de regresión de la Población.
La inferencia estadística, que se dedica a la generación
de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en
cuestión teniendo en cuenta lo aleatorio e incertidumbre en las observaciones.
Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población
de estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas
si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas
(estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación
(correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de
regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen ANOVA, series de tiempo y
minería de datos.
Predicción
y Pronosticación
Predicción:
El intervalo de predicción para un valor individual de Y
para un valor dado de X se define por:
Tipos
de predicciones:
Existen dos tipos de 5 categóricas. Consisten en
afirmaciones que indican que ciertos eventos (o valores de variables)
particulares van a ocurrir o no - las predicciones se indican sin cualidades.
Por ejemplo, "esta noche va a llover" o "mañana la temperatura
subirá hasta 25°C".
Predicciones probabilistas. Consisten en afirmaciones
sobre la probabilidad de que ocurra un evento. Por ejemplo, "esta noche
hay un 80% de probabilidad de que llueva" o "hay un 10% de
probabilidad de que la temperatura suba más de 3°C sobre la normal".
Nótese que esos dos tipos de predicciones están
relacionados: las predicciones categóricas son de hecho predicciones
probabilistas en las que las únicas probabilidades que se utilizan son 0 y 1.
Ejemplos
de Predicción:
Ventas por una empresa para comprobar
nivel de stocks
Rentabilidad de una inversión para
determinar si buena inversión
Ventas de un nuevo producto para
decidir su producción
Efectos de una medida de política
económica
Población estudiantil de aquí a 15
años, para construcción colegios
Tipo de interés para decidir qué
tipo de préstamo escoger
Pronosticación:
Las técnicas de pronóstico que pueden emplearse para
complementar el sentido y la capacidad administrativa de los que toman las
decisiones son elementos de juicio en el proceso de pronóstico. Quienes toman
la decisión lo harán mejor si a partir de la comprensión de las técnicas de
pronóstico, tanto cualitativa como cuantitativa, las utilizan de manera
adecuada, en vez de que se vean forzados a planear el futuro sin el beneficio
de esta valiosa información complementaria.
Tipos
de Pronostico:
En primer término, se deben clasificar los procedimientos
de pronóstico de largo o corto plazos. Los pronósticos a largo plazo son
necesarios para establecer el curso general de la organización para un largo
periodo; de ahí que se conviertan en el enfoque particular de la alta
dirección. Los pronósticos a corto plazo se utilizan para diseñar estrategias
inmediatas y que usan los administradores de rango medio y de primera línea
para enfrentar las necesidades del futuro inmediato.
También se podría clasificar a los pronósticos en términos
de su posición en el entorno micro – macro, es decir, según el grado en que
intervienen pequeños detalles versus grandes valores resumidos.
Los procedimientos de pronósticos pueden también
clasificarse de acuerdo con su tendencia a ser más cuantitativos o
cualitativos. En uno de los extremos, una técnica puramente cualitativa es
aquella que no requiere de una abierta manipulación de datos, sólo se utiliza
el “juicio” de quién pronostica. Desde luego, incluso aquí, el “juicio” del
pronosticador es en realidad el resultado de la manipulación mental de datos
históricos pasados.
En el otro extremo, las técnicas puramente cuantitativas
no requieren de elementos de juicio; son procedimientos mecánicos que producen
resultados cuantitativos. Por supuesto, ciertos procesos cuantitativos
requieren de una manipulación de datos mucho más compleja que otros. Debemos
enfatizar de nuevo que junto con los nuevos procedimientos mecánicos y de
manipulación de datos, se deben emplear elementos de juicio y sentido común.
Sólo en esta forma se puede llevar a cabo un pronóstico inteligente.
Análisis
de Correlación.
Es el conjunto de técnicas estadísticas empleado para
medir la intensidad de la asociación entre dos variables.
El principal objetivo del análisis de correlación consiste
en determinar que tan intensa es la relación entre dos variables. Normalmente,
el primer paso es mostrar los datos en un diagrama de dispersión.
Por ejemplo, la estatura y el peso se encuentran
relacionados: las personas más altas suelen pesar más que las más bajas. Pero
la relación no es perfecta. Hay personas de igual altura que no pesan lo mismo
y, a veces, una persona más baja pesa más que una más alta. Sin embargo, el
peso promedio de las personas que miden 162cm es inferior al peso promedio de
quienes miden 166cm, y su peso promedio es inferior a las que miden 170cm, y
así sucesivamente. La correlación puede indicar con exactitud qué proporción de
la variación de pesos se vincula con las estaturas. Si bien esta correlación es
bastante obvia, es posible que los datos que usted posea contengan
correlaciones no esperadas. También es posible que usted crea que existen
correlaciones, pero que no sepa cuáles son más significativas. Un análisis de
correlación adecuado permite un mejor entendimiento de los datos.
El resultado principal de una correlación se denomina
coeficiente de correlación (o "r"). Varía entre -1.0 y +1.0. Cuánto
más cerca se halla el coeficiente de -1 o +1, más alto es el grado de relación
de las dos variables. Si el coeficiente se encuentra cerca de 0, significa que
no existe relación alguna entre las variables. Si el coeficiente es positivo,
significa que cuando una variable aumenta, la otra también. Si el coeficiente
es negativo, significa que cuando una variable aumenta, la otra disminuye (esto
se suele denominar correlación "inversa"). Si bien los coeficientes
de correlación suelen registrarse como r = (un valor entre -1 y +1), resulta
más fácil comprenderlos si se los eleva al cuadrado. El cuadrado del
coeficiente (o r al cuadrado) es igual al porcentaje de la variación en una
variable relacionada con la variación de la otra. Después de elevar r al
cuadrado, se debe ignorar la coma decimal. Un r de 0,5 significa que el 25% de
la variación se halla relacionada (0,5 al cuadrado = 0,25). Un r de 0,7
significa que el 49% de la variación se halla relacionada (0,7 al cuadrado = 0,49).
Coeficiente
de Correlación de la población
Estudiar la significación estadística del coeficiente de
correlación es, en definitiva, determinar si r es estadísticamente diferente de
cero. Así mismo, puede obtenerse un intervalo de confianza para el coeficiente
de correlación en la población.
Coeficiente
de Correlación de la muestra
El coeficiente de determinación es la principal forma en
que podemos medir la extensión, o fuerza de asociación que existe entre dos
variables, X y Y. Puesto que hemos desarrollado una
muestra de puntos para desarrollar las líneas de regresión, nos referimos a
esta medida como el coeficiente de determinación de la muestra.
El coeficiente de determinación de la muestra se desarrolla
de la relación entre dos tipos de variación: la variación de los valores Y en
conjunto de los datos alrededor de: la línea de regresión ajustada y su propia
media.
El termino variación en estos dos casos se refiere a “la
suma de un grupo de desviaciones cuadradas”. Al usar esta definición, entonces
es razonable expresar la variación de los valores Y alrededor de la línea de
regresión con esta ecuación:
Variación de los valores Y alrededor de la línea de
regresión = La segunda variación, la de los valores de Y con respecto a su
propia media, esta determinada por Variación de los valores de Y alrededor de
su propia media = uno menos la razón entre estas dos variaciones es el
coeficiente de determinación de la muestra que se simboliza r2, esta ecuación
es una medida del grado de asociación lineal entre X y Y.
Una correlación perfecta es aquella en que todos los
valores de Y caen en la línea de estimación, por lo tanto el coeficiente de
determinación es 1
Cuando el valor del coeficiente de determinación es 0
quiere decir que no hay correlación entre las dos variables
En los problemas con que se topa la mayoría de los
responsables de la toma de decisiones, r2 caerá en alguna parte entre estos dos
extremos de 1 y 0.
Ejercicio:
Consideremos las cifras del Cuadro 1, que muestra datos
mensuales de producción y costos de
operación de la Compañía: Serrano Cid & Asociados, de transporte de
pasajeros por carretera durante los años 1949-52 (la producción se mide en
términos de miles de millas-vehículo recorridas por mes, y los costos se miden
en términos de miles de libras por mes). Para poder visualizar el grado de
relación que existe entre las variables, como primer paso en el análisis es
conveniente elaborar un diagrama de dispersión, que es una representación en un
sistema de coordenadas cartesianas de los datos numéricos observados. En el
diagrama resultante, en el eje X se miden las millas-vehículo recorridas, y en
el eje Y se mide el costo de operación mensual. Cada punto en el diagrama
muestra la pareja de datos (millas-vehículo y costos de operación) que corresponde a un mes determinado. Como era de esperarse, existe una relación
positiva entre estas variables: una mayor cantidad de millas-vehículo
recorridas corresponde un mayor nivel de costos de operación.
Cuadro
1.
Operaciones Mensuales en
una Empresa de Transporte de Pasajeros.
Costos
Millas
Totales Vehículo
(Miles) (Miles)
Mes
Nº
Y
X
1
213.9 3147
2
212.6 3160
3
215.3 3197
4
215.3 3173
5 215.4
3292
6
228.2 3561
7
245.6 4013
8
259.9 4244
9
250.9 4159
10
234.5 3776
11
205.9 3232
12
202.7 3141
13
198.5 2928
14
195.6 3063
15 200.4
3096
16
200.1 3096
17
201.5 3158
18
213.2 3338
19
219.5 3492
20
243.7 4019
21
262.3 4394
22
252.3 4251
23
224.4 3844
24
215.3 3276
25
202.5 3184
26
200.7 3037
27
201.8 3142
28
202.1 3159
29
200.4 3139
30
209.3
3203
31
213.9 3307
32
227.0 3585
33
246.4 4073
Diagrama de dispersión
Por otro
lado, también se aprecia por qué este gráfico se denomina un diagrama de
“dispersión”: no existe una relación matemáticamente exacta entre las
variables, ya que no toda la variación en el costo de operación puede ser
explicada por la variación en las millas-vehículo. Si entre estas variables
existiera una relación lineal perfecta, entonces todos los puntos caerían a lo
largo de la recta de regresión, que también ha sido trazada y que muestra la
relación “promedio” que existe entre las dos variables. En la práctica, se
observa que la mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino
que están “dispersos” en torno a ella. Esta dispersión representa la variación
en Y que no puede atribuirse a la variación en X.
Infografias:
http://www.uam.es/departamentos/economicas/econcuan/PID.Aplicaciones_Intr-Econometria/mrls1.PDF
http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal#Regresi.C3.B3n_lineal_simple
http://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestra#Estimaci.C3.B3n_de_par.C3.A1metros
http://www.seh-lelha.org/anova.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica#Niveles_de_medici.C3.B3n
http://www.surveysystem.com/correlatione.htm
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/pearson/pearson.asp
http://html.rincondelvago.com/regresion-lineal-simple.html
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/serietiempo.htm
