UNIVERSIDAD DE LAS
AMÉRICAS
Profesor: Mauricio Herrera
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS APLICADAS. Mat.
319
CARRERAS: INGENIERIA
INFORMATICA, INGENIERIA INDUSTRIAL.
ASIGNTURA: MATEMÁTICAS
APLICADAS.
NUMERO DE HORAS:
I.
INTRODUCCIÓN:
El curso está orientado a dar al
alumno las herramientas matemáticas
para la resolución de problemas prácticos en un amplio rango de aplicaciones.
Se estudian "problemas tipos " que permiten una rápida generalización a un número importante de otros casos, que
constituyen temas actuales de investigación y se utilizan recursos
computacionales de cálculo simbólico (MAPLE V) en la resolución y análisis de
los problemas tratados. El curso está
dividido en tres temas fundamentales que se detallan en los puntos IV y VII de
este programa. Los tópicos tratados incluyen: álgebra lineal, ecuaciones
diferenciales, problemas de contorno, calculo de variaciones, análisis de
Fourier, variable compleja, sistemas dinámicos etc. Muchas de las aplicaciones
incluyen circuitos eléctricos, estructuras mecánicas, mecánica de fluidos,
geometría, procesamiento de señales etc.
II. OBJETIVOS:
Al final del curso los alumnos estarán en
condiciones de:
1.
Aplicar el correcto pensamiento lógico y deductivo
de la asignatura en la resolución de
problemas prácticos.
2.
Utilizar
las técnicas de trabajo matemático de investigación en las etapas de
modelación, análisis y simulación matemática mediante computador, en la
resolución de problemas inherentes a la asignatura y a la especialidad.
III. METODOLOGIA DOCENTE:
·
Clases
expositivas con desarrollo teórico de las materias por parte del profesor.
·
Muestras de problemas tipos, con modelos de
resolución y análisis.
·
Trabajo
en el laboratorio de computación, con el uso de software de cálculo simbólico
(MAPLE V).
·
Ejecución
de tareas en equipos, con el uso del software MAPLE V.
IV.
TEMAS:
1.
SISTEMAS
DINÁMICOS DISCRETOS Y CONTINUOS.
2.
PROBLEMAS
DE CONTORNO.
3.
ANÁLISIS
Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES.
V.
EVALUACIÓN:
Evaluaciones parciales en forma de tareas con el uso del software
MAPLE V. Cátedras y examen final.
VI.
ASISTENCIA:
Se exige un 80% de asistencia obligatoria a
clases.
VII. CONTENIDO:
1.
SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS Y CONTINUOS.
1.1
Introducción, Objetivos de la asignatura.
Ejemplos de sistemas dinámicos discretos y continuos. El método de
Newton-Raphson para funciones definidas sobre Ñ y en Â. El método de "Iterated
Function System " (IFS) para la construcción de imágenes fractales en Ñ2 . Conjunto triádico
de Cantor, figuras de Sierpinski , Curvas de Koch y Peano, etc. Módelo
logístico para el crecimiento poblacional , ecuaciones de Lotka - Volterra.
Osciladores Armónicos: Simple, Amortiguado, Forzado y Acoplados . Transientes, estados estables , resonancia,
periodicidad y cuasiperiodicidad.
1.2
Sistemas Dinámicos continuos en el plano.
Plano de fase. Topología de la dinámica y estabilidad de sistemas lineales
en Ñ2. Sistemas
Conservativos, dispersivos. Noción de Integrales de movimiento, divergencia de
campos vectoriales.
1.3
Sistemas dinámicos no lineales, análisis
local, puntos estacionarios, clasificación, estabilidad lineal, asintótica,
hiperbolicidad. Orbitas periódicas, ecuación de Van der Pol. Movimiento de un trompo, Trompo de Euler y
Lagrange. Nociones de sistemas hamiltonianos.
1.4
Caos y fractales. Dimensión topológica y de
Hausdorff,. Iteraciones en Ñ y Ñ2. Bifurcaciones, Escenarios al caos. Duplicación
de período de M. Feingembaun. Exponentes de Liapunov. Conjuntos de Julia y
Mandelbrot en Â.
2.
PROBLEMAS
DE CONTORNO.
2.1. Problemas de contorno en una dimensión: Oscilaciones de una cuerda, propagación de ondas. Ondas superficiales en un líquido. La ecuación de conductividad térmica en un medio unidimensional.
2.2 Resolución de ecuaciones en derivadas
parciales de primer y segundo orden. Transformada de Fourier y Laplace. Método de
separación de variables. Gráfico y análisis de las soluciones mediante el software
MAPLE V.
2.3 Ecuaciones en derivadas parciales en dos y tres dimensiones. La ecuación de Laplace y elementos del análisis complejo. Problemas de electrostática
3. PROCESAMIENTO DE SEÑALES.
3.1 Series de Fourier y Transformada de
Fourier.
3.2 Transformada Rápida de Fourier.
3.3 Transformadas Wavelets.
3.4 Tratamiento nolineal de señales.
Reconstrucción del espacio de fases, determinación de la entropía de Kolmogorov,
dimensión fractal, dimensión de correlación. Elementos de multifractales.
VIII
BIBLIOGRAFIA.
[ 1] -"Stability, Instability and Chaos, an introduction to the theory of
nonlinear differential equation", Paul Gledinning, Cambridge Text in
Applied Mathematics 1995.
[ 2] - "Classical Mechanics with
MAPLE", Ronald L. Greene, Springer 1995.
[ 3] - "First Leaves: A Tutorial
Introduction to MAPLE V", Bruce W. Char, et. al. Springer - Verlag 1992.
[ 4] -"Nonlinear Oscillation, Dynamical Systems
and Bifurcations of Vector Fields", John Guckenheimer, Philip Holmes,
Springer Verlag, 1983.
[ 5] - "A First Course in Chaotic
Dynamical Systems. Theory and Experiments", Robert Devaney. Addison -
Wesley Publishing Company, Inc 1992.
[ 6 ] - "Theoretical
Mechanics of particles and continua" , A. Fetter, J. Walecka,
McGraw - Hill Book Company, (1980).
[7] -
" Ecuaciones de la Física - Matemática " , A. Tijonov y A. Samarski.
Se
recomienda además visitar las siguientes direcciones del Web:
i)
http://www.math.umn.edu/~olver/
iii)
http://www.math.utsa.edu/mirrors/maple/maplev.html
iv)
http://www.df.uba.ar/~jakubi/maple2.html#Packages
PROFESOR: MAURICIO HERRERA MARIN.
SANTAGO DE CHILE 1999