Grup

 

1.tentukan apakah sistem ini menggambarkan grup-grup.jika tidak, tunjukkan yang mana grup mengaksiomakan yang salah.

a. G=himp. Semua bil.bulat, a-b.

b.G=himp. Semua bil. Bulat positif, a=ab, kegunaan product dari bil.bulat

c. G=a₀,a₁,...,a₆ dimana, jika i+j < 7

                                    , jika i+j ≥ 7

(sebagai contoh =a₂ ketika 5+4=9>7).

d. G=himp. Semua bil. Rasional dengan penyebut yang ganjil, a+b, kegunaan penjumlahan pada bil. rasional

2. buktikan bahwa jika G grup abelian, maka untuk semua a,bG dan semua bil.bulat n,

3. jika g grup seperti padauntuk semua a,bG. Tunjukkan bahwa G abelian

4. jika G grup dimanauntuk bil.bulat i berurut untuk semua a,bG, tunjukkan G abelian

5. tunjukkan bahwa kesimpulan dari masalah no.4 tidak perlu diikuti jika kita mengasumsikan relasi  untuk hanya dua bil.bulat berurut.

6. dalam S₃, berikan satu contoh untuk dua elemen x,y seperti pada  

7. dalam S₃, tunjukkan bahwa ada empat elemen yang memenuhi x²=e dan tiga elemen yang memenuhi y³=e.

8. jika G grup terbatas. Tunjukkan bahwa ada suatu bil.bulat positif N seperti pada a^N=e untuk semua aG

9.a. jika G grup yang mempunyai tiga elemen, tunjukkan G abelian

b. lakukan bagian (a), jika G mempunyai empat elemen

c. lakukan bagian (a), jika G mempunyai lima elemen

10. tunjukkkan bahwa jika setiap elemen dari grup G mempunyai invernya sendiri, maka G abelian.

11. jika G grup dari order ganjil, buktikan G mempunyai suatu elemen a ≠ e yang memenuhi a²=e

12. G suatu himp. Tak kosong tertutup dibawah product assosiatif, dimana dala penjumlahan memenuhi :

a. ada e G seperti pada a=a untuk semua a G

b. berikan aG, ada suatu elemen y(a) G seperti pada .buktikan G grup dibawah product ini.

13. buktikan, suatu contoh , bahwa kesimpulan dari masalah no.12 adalah salah. Jika kita mengasumsikan sebagai ganti :

a. ada suatu eG seperti pada a=a untuk semua a G

b. berikan aG, ada suatu elemen y(a) G seperti pada .buktikan G grup

14. anggap suatu G himp. Terbatas adalah tertutup dibawah suatu product assosiatif dan kedua hukum kanselasi berada dalam G. Buktikan G grup.

15.a. gunakan hasil pada masalah no.14, buktikan bahwa bil.bulat tanpa nol modulo p, p suatu bil. Utama, membentuk suatu grup dibawah perkalian mod p.

b. lakukan bagian (a) untuk bil.bulat tanpa nol realtif mengutamakan pada n dibawah perkalian mod n.

16. dalam masalah no.14 melalui suatu contoh bahwa jika hanya mengasumsikan satu dari hukum kasnselasi, maka kesimpulan tidak perlu diikuti.

17. buktikan bahwa masalah no. 14 ada contoh infinite / tidak terbatas, memenuhi  syarat dimana bukan merupakan grup.

18. untuk setiap n>2 membangun suatu grup tidak abelian pada order 2n (petunjuk : contoh relasi pada S₃)

19. jika S himp. Tertutup dibawah operasi assosiatif, buktikan bahwa tidak ada masalah bagaimana anda menggolongkan a₁a₂...a_n. menguasai order dari elemen-elemen itu, anda mendapatkan elemen yang sama dalam S (contoh : . gunakan induksi pada n.

20. G himp. Dari semua bil. Real matriks 2x2 , dimana ad – bc ≠ 0 adalah bil. rasional. buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks.

21. G himp.bil.real matriks 2x2dimana ad≠0. buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks. Apakah G abelian?

22. G himp.bil.real matriks 2x2dimana a≠0.buktikan bahwa G suatu grup abelian dibawah perkalian matriks.

23.konsep dalam G pada masalah no.21 suatu subgrup order 4

24. G himp. Dari semua bil. Real matriks 2x2 , dimana a,b,c,d adalah bil.bulat modulo 2, seperti pada ad – bc ≠ 0.gunakan perkalian matriks sebagai operasi dalam G, buktikan G grup order 6

25. a. G himp. Dari semua bil. Real matriks 2x2 , dimana ad – bc ≠ 0dan a,b,c,d adalah bil.bulat modulo 3, relative pada perkalian matriks. Tunjukkan o(G)=48.

b. jika kita mengubah contoh dari G pada bagian (a) dengan menegaskan ad-bc=1, maka berapakah o(G) ?

26.a. G himp. Dari semua bil. Real matriks 2x2 , dimana a,b,c,d adalah bil.bulat modulo p, p suatu bil. Utama.  seperti pada ad – bc ≠ 0. G membentuk suatu grup relatif pada perkalian matriks. Berapakah o(G) ?

b. H subgrup dari G pada bagian (a) didefinisikan oleh :

H=, berapakah o(H) ?

 

 

 

subgrup

1. jika H dan K adalah subgrup dari G, tunjukkan HK adalah suatu subgroup dari G. (dapatkah anda lihat  bahwa bukti yang sama menunjukkan irisan beberapa bilangan dari subgrup G,   finite (terbatas) atau infinite (tidak terbatas), adlah juga suatu subgrup dari G).

2.  G suatu grup yang mengiris dari semua subgrupnya yang berbeda dari (e) adalah suatu subgrup berbeda dari (e). Buktikab bahwa setiap elemen dalam G mempunyai order yang terbatas.

3. Jika G tidak mempunyai subgrup nontrivial, tunjukkan bahwa G harus terbatas dari order utama

4. a. Jika H adalah suatu subgrup dari G, dan aG sehingga aHa^-1=. Tunjukkan bahwa aHa^-1 adalah suatu subgrup dari G

b. jika H adalah terbatas, berapakah o(aHa^-1).

5. untuk subgrup H dari G mendefinisikan koset kiri aH dari H dalam G sebagai himpunan dari semua elemen dari bentuk ah, hH. Tunjukkan bahwa ada korespondensi satu-satu antara himpunan koset kiri dari H dalam G dan himpunan koset kanan dari H dalam G.

6.Tuliskan semua koset kanan dari H dalam G dimana

a. G=(a) adalah grup siklik dari order 10 dan H =(a²) adalah subgrup dari G yang dibangkit kan oleh a²

b.G sebagai bagian dari (a), H=(a⁵) adalah subgroup dari G yang dibangkitkan oleh a⁵

c. G=A(S), S={x₁,x₂,x₃), dan H=

7. tuliskan semua koset kiri dari H dalam G untuk H dan G sebagai bagian dalam (a), (b), (c) dari masalah no.6

8. apakah koset kanan dari H dalam G suatu koset kiri dari H dalam G pada masalah no.6

9. anggap bahwa H adalah suatu subgrup dari G bilamana HaHb maka aHbH. Buktikan bahwa gHg^-1G untuk semua gG

10. G grup dari bilangan bulat dibawah penjumlahan, H_n subgrup yang terdiri atas berbagai suatu penyelesaian bilangan bulat n dalam G. Tentukan indeks dari H_n dalam G dan tuliskan semua koset kanan dari H_n dalam G.

11. pada masalah no.10, apakah H_nH_m?

12. jika G grup, dan H, K adalah subgroup dari indeks terbatas dalam G, buktikan bahwa HK adalah indeks terbatas dalam G. dapatkah anda temukan kaitan atas indeks dari HK dalam G.

13.--------

14.jika H adalah subgrup dari G, kemudian melalui sentralisasi C(H) dari H yang kita artikan himpunan . Buktikan bahwa C(H) adalah subgrup dari G.

15.Center Z dari suatu grup G didefinisikan oleh Z =buktikan bahwa Z adalah subgrup dari G. Dapatkan anda mengenali Z sebagai C(H) untuk beberapa subgrup T dari G?

16. jika H adalah subgrup dari G, ambil N(H)=.(lihat masalah no.4a).buktikan bahwa

a. N(H) adalah subgrup G

b. N(H)H

17. buat suatu contoh dari grup G dan subgroup H seperti N(H)C(H). adakah hubungan antara N(H) dan C(H)?

18. jika H subgrup dari G

Ambil N=

Buktikan bahwa N subgrup dari G dimana aNa^-1=N untuk semua aG

19. jika H subgrup dari indeks terbatas dalam G, buktikan bahwa ada hanya a bilangan terbatas dari subgrup yang jelas dalam G dari bentuk aHa^-1.

20.Jika H adalah indeks terbatas dalam G buktikan bahwa ada suatu subgrup N dari G, yang berisi dalam H, dan indeks terbatas dalam G seperti aNa^-1=N untuk semua aG. Dapatkan anda memberikan kaitan atas indeks dari N dalam G.

21. pemetaan  untuk a,b bilangan real. petakan bil. Real dalam bil.real melalui aturan : x→ax+b. misal G =.buktikan bahwa G adalah grup dibawah pemetaan komposisi. Temukan rumusan

22. pada masalah no.21, misal H=. Tunjukkan bahwa H adalah subgroup G. daftarkan semua koset kanan dari H dalam G, dan semua koset kiri dari H dalam G. Tunjukkan setiap koset kiri dari H dalam G adalah koset kanan dari H dalam G.

23.dalam grup G pada masalah soal no. 21, ambil N=.

a. Buktikan N adalah subgrup G

b. jika aG, nN, maka ana^-1N

24. G suatu grup terbatas yang memiliki order yang tidak dapat dibagi oleh 3. anggap bahwa (ab)³ = a³b³ untuk semua a,b G. Buktikan G abelian

25.  G suatu grup abelian dan anggap G mempunyai elemen dari order m dan n, berturut-turut. Buktikan G mempunyai elemen dimana ordernya adalah peling sedikit dari m dan n.

26. jika suatu grup abelian mempunyai subgrup dari order m dan n, berturut-turut. Kemudian tunjukkan grup itu mempunyai suatu subgrup dimana ordernya adalah paling sedikit m dan n .

27. buktikan bahwa setiap grup dari suatu grup siklik adalah grup siklik itu sendiri.

28. berapa banyak generator dari grup siklik dari order n ? {bG adalah suatu generator jika (b)=G).

 

Dalam beberapa masalah berikutnya, kita lihat pada the Nature of  U_n sebagai suatu grup untuk beberapa nilai yang khusus dari n.

29. tunjukkan bahwa U₈ bukan grup siklik.

30. tunjukkan bahwa U₉ adalah grup siklik. Apa saja generator nya?

31. tunjukkan U₁₇ grup siklik, apa saja generatornya?

32. tunjukkan U₁₈ grup silklik.

33. tunjukkan U₂₀ grup siklik

34. tunjukkan U₂₅ dan U₂₇ yang kedua-duanya grup siklik.

35. Hazard menduga  apakah semua n seperti pada U_n adalah siklik. (anda dapat mengverifikasi dugaan anda dengan mencarinya pada berbagai buku teori bilangan)

36. jika aG dan a^m=e, buktikan bahwa o(a)

37. jika dalam grup G, a⁵=e, aba^-1=b² untuk beberapa a,b G, temukan o(b)

38. G grup abelian terbatas dimana sejumlah solusi dalam G dari persamaan xⁿ=e adalah paling banyak n untuk setiap bil bulat positif n. Buktikan bahwa G grup siklik.

39. G grup dan A,B subgroup dari G. jika x,yG mendefinisikan x~y. Jika y=axb untuk beberapa aA, bB. buktikan

a. relasi yang didefinisikan adalah suatu relasi persamaaan

b. kelas persamaan dari x adalah AxB={axbA, bB}. (AxB disebut suatu koset ganda dari A dan B dalam G).

40. jika G grup terbatas, tunjukkan bahwa sejumlah elemen dalam koset ganda AxB adalah

41. jika G grup terbatas dan A adalah subgrup dari G seperti pada koset ganda AxA mempunyai jumlah elemen yang sama. Tunjukkan bahwa gAg^-1 = A untuk semua g G.