UNIVERSIDAD YACAMBU
Pregrado Virtual:
Licenciatura en Contaduría Pública
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Profesor: Juan García
Participante: Lurinalda Navarro
Trabajo 5
El
límite de la función
Lo
expresamos de la siguiente manera:
El
que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer
Se
dice que el límite de la funcion
Lo
expresamos como:
El
que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer
Analogamente, se dice que el límite de la funcion
Lo
expresamos como:
El que la anterior
igualdad sea cierta significa que podemos hacer
INFINITOS ASINTóTICOS
Se
llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva
tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.
La
recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+
f(x) = inf o limx->a-
f(x) = inf.
La
recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) = b.
|
f(x) = x/(x-1) |
|
|
La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si limx->inf
f(x) - (mx + n) = 0.
|
f(x) = x + 1/x |
|
|
Consideremos
la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que
hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el
conocimiento de la función en una
vecindad arbitraria del punto
P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería
definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de
límite.
Consideremos
un segundo punto P'(x,f(x))
sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la
recta PP' se aproxima a la tangente.
Sea
α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.
Entonces
limP'->P α' = α
Considerando
las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:
f(x) - f(a) cateto opuesto
tan α' = ----------- ( ---------------- )
x - a cateto adyacente
Así,
nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:
f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim -----------
x->a x->a x - a
A
este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se
denota f'(a)
Se llama derivada de f(x) en
x=a, y se denota f'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a
La
derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada
valor de x.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN EL CAMPO DE LAS
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS.
Sea
C el capital prestado a interés compuesto durante t años, siendo r el tanto por
uno anual, o sea lo que gana Bs. 1 al año.
Cada
peso gana r al año; Luego, en un año se convierte en 1 + r y c bolívares se
convertirán, al cabo de un año, en c(1+r).
Formula
derivadas
La
ecuación (1) nos da una relación entre cuatro cantidades; conociendo tres de
ellas, podemos hallar la cuarta.
Despejando
c en (1), se tiene:
C
(1+r)t
Y
aplicando logaritmos: log c= log C- t log(1+r),
T
puede despejarse en esta ultima formula.
Pasando – t log(1+r) al primer miembro y log c
al segundo, se tiene:
t
log(1+r)= log C- log c,
log C – log c
log (1+r)
t
C
c
t
log C – log c
t
Hallado el valor de 1 + r, se le resta 1 y se tiene r.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA
ADMINISTRACIÓN E INTERPRETACIÓN. EJEMPLOS PRACTICOS EN EL ÁREA. FUNCIONES
CRECIENTES Y DECRECIENTES. MÁXIMO Y MINIMO EN TODO SU DOMINIO Y EN UN
INTERVALO:
Cuando las empresas o compañías calculan
sus costos, suelen evaluar también los costos marginales. El costo marginal es
uno de los conceptos más importantes de la microeconomía, es el costo de
producir una unidad adicional.
El costo marginal y se
define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una
unidad más del producto. Este costo se conoce como el costo marginal (CM). En
formula:
Si la función de costo de producir las cantidades
x e
y de dos bienes está dado por
C=Q(x,y), entonces las
derivadas parciales de c son las funciones de costo marginal, así:
Ejemplo:
En la función de costo de producción dos artículos x e
y es: C=Q(x.y)= x² y ² - 3xy+y+8.
Determine
el costo marginal con respecto a “x” y el costo marginal con respecto a “y”
Desarrollo:
∂C/∂y
= ∂Q(x,y)/∂x =
2x²y – 3x= Costo Marginal con respecto a x
∂C/∂y
= ∂Q(x,y)/∂x =
2x²y – 3x+1= Costo Marginal con respecto a y
Si
x =3 y = 4 se tiene ∂C/∂x = 84, ∂C/∂y = 64, esto quiere decir, si
“y” se mantiene constante e igual a 4, al producir una unidad adicional de “y”
aumentará 64 unidades monetarias al costo total.
Ejemplos:
Una empresa
hotelera tiene la función de costos totales: C= 9,17.27+0.058556x, donde x es el
número de servicios vendidos de un año. Calcule la razón de cambio promedio y
diga cuál es la interpretación económica de esta fracción.
Solución
C(x+∆x)=9,119.27+0.058556(x+∆x)=9,119.27+0.058556x+0.05856∆x
∆C = 9119.27+058556x+0.58556∆x-(9119.27+0.58556x)
∆x ∆x
∆C = .058556∆x = 0.58556
es el costo marginal ( el costo de producir una
unidad más)
∆x ∆x
ANALISIS MARGINAL:
El término Análisis Marginal, en economía, hace
referencia a la práctica de usar una
derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un
aumento en una unidad en una de sus variables.
Supongamos que la producción diaria Q, de una fabrica
depende de la cantidad K de capital invertido (medido en unidades de 1.000
dólares) en la fabrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de
trabajo (medida en horas-trabajador)
En economía las derivadas parciales ∂Q / ∂k y
∂Q / ∂L se conoce como los productos marginales del
capital y del trabajo respectivamente.
∂Q / ∂L
es el producto marginal del trabajo, que es el ritmo al que cambia la
producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo k de capital
invertido, por lo tanto ∂Q / ∂L
es aproximadamente el cambio en la producción que resulta ei el capital
invertido se deja fijo y el trabajo se aumenta en una hora-trabajador.
En forma similar, ∂Q / ∂k es el Producto Marginal del capital, que es
aproximadamente el cambio en la
producción que resulta si el tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el
capital invertido se aumenta en 1.000 dólares.
Se
estima que la producción semanal de una cierta fabrica viene dada por la
función f(x,y)=1200+500y+x²y-y³ unidades, donde x es
el número de trabajadores expertos e es
el número de trabajadores inexpertos empleados en la fábrica, actualmente la
fuerza de trabajo está formada por 30 trabajadores expertos y 60 trabajadores
inexpertos. Use el Análisis Marginal para estimar el cambio de producción
semanal que resultaría de la adición de un trabajador experto, más si el número
de trabajadores inexpertos no cambia.
Desarrollo: ∂f(x,y) / ∂x= 1200+2xy-3x² es la derivada parcial y representa el ritmo
de cambio de la producción con respecto
al número de trabajadores expertos, para cualquier valor de x e y.
Esto es una aproximación al número de unidades
adicionales que se producirán cada semana si el número de trabajadores expertos
aumenta de x a x+1
mientras que el número de trabajadores inexpertos se deja fijo en y.
En particular, si la fuerza de trabajo se aumenta de 30
trabajadores expertos y 60 inexpertos a 31 expertos y 50 inexpertos, el cambio resulta en la
producción es aproximadamente.
∂f(30,60) / ∂x=
1200+2(30)(60)-3(30)²=2100
PRODUCTIVIDAD
MARGINAL
La productividad de
cierto artículo que fabrica una empresa se ve afectada principalmente por dos
factores: el monto del capital
invertido en la planta productiva y la
mano de obra empleada en la fabricación del artículo.
Sean: Q
la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo).
K
el monto del capital invertido en la planta productiva ($).
L
el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios
pagados).
Se establece entonces
una función de dos variables: Q(K, L), llamada función de producción, donde
K y L son los insumos de producción, como por ejemplo:
Productividad
marginal del capital:
Es la derivada parcial de Q con
respecto a K, es decir ∂Q /
∂K, y significa el incremento en la producción debido al incremento de
una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la
inversión en mano de obra.
Productividad
marginal de la mano de obra:
Es la derivada parcial de Q con
respecto a L, ∂Q
/ ∂L, y significa el
incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra,
manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva.
Ejemplo: Para la función Q(K,L) = 8L+4K+3LK-L²-2K², calcular las productividades
marginales del capital y de la mano de obra para L = 3 y K = 5.
Solución: ∂Q / ∂K= 4+3L-4K = 4+3(3)
– 4(5) = 4+9-20 = -7 unidades / unidad adicional de capital.
∂Q / ∂L = 8+3K-2L= 8+3(5) -2(3) -8+15-6 = 7 unidades
/ unidad adicional de mano de obra.
DEMANDAS MARGINALES
Ciertos productos en el
mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el precio de uno de
ellos se afecta la demanda del otro.
FUNCIONES DE LA
PRODUCTIVIDAD:
Productividad puede definirse como la relación entre la cantidad de
bienes y servicios producidos y la cantidad de recursos utilizados. En la
fabricación la productividad sirve para evaluar el rendimiento de los talleres,
las máquinas, los equipos de trabajo y los empleados.
Productividad en términos de empleados es sinónimo de rendimiento. En
un enfoque sistemático decimos que algo o alguien es productivo con una
cantidad de recursos (Insumos) en un periodo de tiempo dado se obtiene el
máximo de productos.
La productividad en las máquinas y equipos esta dada como parte de sus
características técnicas. No así con el recurso humano o los trabajadores.
Deben de considerarse factores que influyen.
Además de la relación de cantidad producida por recursos utilizados,
en la productividad entran a juego otros aspectos muy importantes como:
Calidad: La calidad es la velocidad a la cual los bienes y servicios
se producen especialmente por unidad de labor o trabajo.
Productividad = Salida/ Entradas
Entradas: Mano de Obra, Materia prima, Maquinaria,
Energía, Capital.
Salidas: Productos.
Misma entrada, salida mas grande
Entrada mas pequeña misma salida
Incrementar salida disminuir entrada
Incrementar salida mas rápido que la entrada
Disminuir la salida en forma menor que la entrada.
Si La cantidad z de un artículo se produce utilizando las
cantidades x e y respectivamente de dos factores de la
producción, en tal caso la función de producción final z cuando se usan de manera simultánea
las cantidades x e y de
los insumos respectivamente, para que la representación z=f(x,y) tenga significado en economía, las cantidades
de los insumos pueden venir sin restricción por lo menos en el intervalo que
interesa y que la función de producción sea continua.
PRODUCTIVIDAD
MARGINAL:
La productividad marginal
muestra el aumento de producción obtenido al agregar una unidad más del factor
de producción que se analiza en cada caso.
Si z=f(x,y) es la
función de producción, entonces la derivada parcial ∂z/∂x es la productividad marginal de x, mientras
que la derivada parcial
∂z/∂y es la
productividad marginal de y.
Si la función de producción esta dada por: z²+4x²+5y²-12xy = 0 en la cual z es la cantidad producida, x e
y son las cantidades de los insumos:
Hallar la productividad marginal.
Desarrollo: Por calcular ∂z/∂x = productividad de x, y ∂z/∂y = productividad marginal de y.
Las derivadas parciales las calcularemos por derivación implíicta.
Sea F(x,y,z) = z²+4x²+5y²-12xy, de donde.
∂F / ∂x = 8x-12y
∂F / ∂x = 10y-12x
∂F / ∂z = 2z
La productividad marginal de x es:
∂z/∂x = ∂F /
∂x = 8x-12y = 6y -4x
∂F / ∂z
2z z
La productividad marginal de y es: ∂z/∂y = ∂F / ∂x = 10y-12x
= 6x -5y
∂F
/ ∂z 2z z
INGRESOS.
El Ingreso Total de la empresa es el resultado de multiplicar
el precio por el número de unidades producidas y vendidas.
El Ingreso Marginal es el aumento
de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más. Como esta
unidad es vendida al precio de mercado, para una empresa en libre competencia
el ingreso marginal es igual al precio.
Los Ingresos Medios son el
resultado de dividir los ingresos totales entre el número de unidades
producidas; si todas las unidades se han vendido al mismo precio es evidente
que el ingreso medio será igual al precio.
Funciones crecientes y
decrecientes y su relación con la derivada
Una función y = f (x) se llama Función
Creciente si y aumenta (algebraicamente) cuando x aumenta Una
función y = f(x) se llama Función Decreciente si y
disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta.
Sea f una
función continua con ecuación
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo
|
|
En la
representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:
También
se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f
crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función
decrece.
Note además que en los puntos
En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.
|
|
Teorema 1 |
|
|
Sea f
una función continua en un intervalo cerrado
|
Ejemplos:
1.
Determinemos
los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación
Para ello calculemos la primera derivada de
Como
Como
En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido
anteriormente.
|
|
2.
Determine
en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación
La derivada de f está dada por
Como
Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
|
|
3.
Luego:
Además:
La representación gráfica de la función es la siguiente:
4.
|
|
5.
6.
Determinar
los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación
La derivada de f es
Como
|
|
Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f
es una función dada, entonces
Si
Similarmente,
Si
Ejemplo:
Considere una función f definida en un intervalo
|
|
Note que
Similarmente,
|
|
Teorema 2 |
|
|
Sea c
un punto interior del dominio de una función f. |
Ejemplo:
|
Considere
la función f definida por |
|
Su representación gráfica es la siguiente:
|
|
Puede observarse que cuando x
toma el valor de
Según el teorema anterior debe cumplirse que
En efecto, como
|
|
Teorema 3 |
|
Sea c
un punto interior del dominio de una función f. Si |
Ejemplo:
|
Considere
la función f definida por: |
|
Su representación gráfica es la siguiente:
|
|
Note que
la función f tiene un valor mínimo en
De acuerdo con el teorema
Como
Observación:
El recíproco de los dos teoremas
anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que
Por ejemplo, para la función f con ecuación
|
|
|
|
Definición |
|
|
Sea
f una función. Recibe el nombre de valores
críticos del dominio de f, aquellos en los que |
Ejemplo:
Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones:
|
a. |
|
|
b. |
|
Solución:
a.
Como
Ahora:
Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.
b.
Como
Luego
Por lo tanto el valor crítico de f es
Note que aunque
Observación:
Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores
máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función
f cuyo dominio es el intervalo k, un valor
|
a. |
|
|
b. |
|
|
c. |
c es un extremo del intervalo k. |
En este último caso, si
Criterio de la primera
derivada para determinar los máximos y los mínimos
de una función
En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos
y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o
decrece la función.
|
|
Teorema 4 |
|
|
Sea f una función
continua en un intervalo cerrado a. Si b. Si c. Si |
Las situaciones enunciadas en a.,
b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:
|
|
Máximo relativo en
|
|
Mínimo relativo en
|
|
En
En los
siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya
ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego
se determinan los valores críticos y por último se aplica el teorema
anterior.
1.
Note que f está definida para
Como
Los valores críticos son
Determinemos ahora cuándo
Como
|
|
Como
Como
La representación gráfica de la función es la siguiente:
|
|
Note que
2.
En este caso
Luego,
Además,
Los valores críticos de f son
Como
Utilizamos la siguiente tabla:
|
|
i.
Como
Por lo tanto
ii.
Como
iii.
Como
3.
Se tiene que
Ahora,
Los valores críticos de f son
Como
Luego se tiene:
|
|
i.
Como
ii.
Como
iii.
Como
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas3.html
http://matematica.50webs.com/asintotas.html
http://www.sectormatematica.cl/educsuperior.htm
http://www.economia.unam.mx/sua/site/materia/sem2/taller2/Tema4/ejerTema4.html
http://www.eumed.net/cursecon/5/productividad.htm
http://www.eumed.net/cursecon/5/Ingresos.htm
http://html.rincondelvago.com/derivadas.html