UNIVERSIDAD YACAMBU

Pregrado Virtual:   Licenciatura en Contaduría Pública

Asignatura:   Cálculo Diferencial

Profesor:   Juan García

Participante: Lurinalda Navarro

 

Trabajo 1

 

CONCEPTOS DE:

Proposición: oración con valor declarativo o informativo, de la cual se puede predicar su verdad o falsedad.  Las proposiciones se utilizan para construir el discurso en matemática y en la ciencia en general.

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

Las proposiciones se pueden clasificar por su valor de verdad en verdaderas (V) o falsas (F). Además, pueden ser:

 Simples o atómicas si están formadas por una sóla proposición, o sea constituye la unidad mínima de la cual se puede decir que es V ó F. Se simbolizan con p, q, r, s, t, etc. y se denominan variables proposicionales.

Compuestas o moleculares si están formadas por dos o más proposiciones atómicas o por una proposición modificada por la negación no.   Unos signos para formar proposiciones complejas o moleculares conectándolas entre sí: se trata de las conectivas (también llamados conectores, o juntores).  En la siguiente tabla presentamos el nombre, el signo y la equivalencia con el lenguaje natural de las cinco conectivas que utilizaremos:

 

La negación de p es la proposición ¬p, que se lee "no p". Su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.

Lo importante de la negación es que si p es verdadero, entonces ¬p es falso, y viceversa. Como lo indica la tabla. Ejemplo  P hay vida en la luna la negación seria  ¬P No hay vida en la luna.

El símbolo de la negación "¬" es un ejemplo de operador lógico monario (el término "monario" indica que el operador afecta a una sola proposición).

La conjunción

Hay otras maneras de formar nuevas proposiciones a partir de otras. Si tenemos, por ejemplo, p: "Soy gordo", y q: "Tú eres inteligente", podemos formar el siguiente enunciado: "Soy gordo y tú eres inteligente". Este nuevo enunciado se puede representar con pL q, que se lee "p y q".

La conjunción de de p y q es el enunciado pLq, que se lee "p y q." Su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.

En las columnas p y q aparecen las cuatro posibles combinaciones de los valores de verdad para p y q, y en la columna pLq aparecen enumerados los valores de verdad de pLq para cada una de esas combinaciones. Por ejemplo, la segunda fila de la tabla nos dice que cuando p es verdadero y q falso, el enunciado pLq es falso. De hecho, de acuerdo con la tabla anterior y con la definición que hemos dado de la conjunción, la única forma de hacer pLq verdadero es haciendo que tanto p como q sean verdaderos (1ª fila).

El símbolo de la conjunción " L" es un ejemplo de operador binario ("binario" alude a que el operador actúa sobre un par de proposiciones).

Disyunción inclusiva: Como hemos dicho, la disyunción pvq será verdadera en caso de que p sea verdadera, o q sea verdadera, o tanto p como q sea verdadera: se trata de la disyunción inclusiva o sea una, otra o ambas. Ej...o...o; o ambas.  Siempre que utilicemos en el lenguaje natural la conjunción disyuntiva "o" en este sentido, utilizaremos el símbolo "v".

Por ejemplo, cuando decimos que para optar a un puesto de trabajo hay que saber inglés o francés, interpretamos que alguien que sabe inglés puede optar a dicho trabajo, alguien que sabe francés también, y, por supuesto, alguien que sepa tanto inglés o francés también.

Disyunción excluyente: que viene a decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. En este sentido exclusivo, si en pvq, p es verdadera y q también lo es, la disyunción exclusiva es falsa. O sea una excluye a la otra. Ej: o...o.  Por ejemplo, en el lenguaje natural empleamos este sentido exclusivo de la disyunción cuando decimos que alguien es cristiano o musulmán. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello no podrá ser musulmán, y viceversa. O cuando decimos que un examen se aprueba o se suspende.

La tabla de verdad de la disyunción exclusiva sería la siguiente:

Pv q equivale a cualquiera de las siguientes expresiones:

• (pvq) L¬(pLq)
• (pL¬q)v(¬pLq)
• ¬(pLq) L¬(¬pL¬q)

Condicional o hipotética: Es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q o sea una es condicional de la otra. Ej: si.. entonces.  se indica de la manera siguiente:

                                p ® q Se lee "Si p entonces q"®     

Un condicional siempre es verdadero, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Ejemplo:

"Si apruebas Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso". Este enunciado está formado por dos atómicas:

p: "Apruebas Filosofía"

q: "Te dejaré ir al viaje de fin de curso"

En el enunciado pgq, se dice que p es el antecedente (o hipótesis) y q el consecuente (o conclusión).

Una implicación(o un condicional) es siempre verdadera excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Por lo tanto, su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.

Bicondicional:    Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

p↔q, que se lee "p si y sólo si q" o "p es equivalente a q", se define por la siguiente tabla de verdad:

La doble flecha horizontal ↔ es el operador bicondicional

Mediante el coimplicador ↔ o que queremos decir es que un enunciado es a la vez condición necesaria y suficiente para otro.

Así, si digo que p: "apruebo Filosofía" y q: "saco un 5 o más en el examen de Lógica" la fórmula p↔q significa "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica". Con este "si y sólo si" quiero poner de manifiesto tres cosas:

1. Al introducir el primer condicional "si" (en "si y sólo si"), introduzco el antecedente, y por tanto afirmo que pgq, (es decir aprobaré Filosofía si saco 5 o más en el examen de Lógica),
2. Al introducir "sólo si" (en "si y sólo si"), introduzco el consecuente, buscando comunicar que qgp, (es decir, que si saco un 5 o más en el examen de Lógica, entonces apruebo la Filosofía), y
3. Al utilizar la partícula "y" (en "si y sólo si"), quiero comunicar la conjunción de pgq con qgp.

Así pues, el enunciado "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica" se puede formalizar de dos formas equivalentes: (pgq) L(qgp), o bien p↔q.

En consecuencia, el enunciado p↔q queda definido por el enunciado (pgq)L(qgp). Por esta razón, el símbolo ↔ se llama bicondicional, y la tabla de verdad para p↔q es la misma que la de (pgq)L(qgp).

Tablas de Verdad:

Es el resultado de aplicar un procedimiento que utilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.

El concepto de Tautología

Es cuando todas sus posibles interpretaciones son iguales por tomar los mismos valores de verdad.   Las tautologías, tienen la peculiaridad de que todas sus posibles interpretaciones son siempre verdaderas. Los enunciados tautológicos, que son verdaderos bajo cualquier posible interpretación. Vimos que son verdaderos no en virtud de la forma que adopta el mundo, sino por las relaciones que se establecen entre sus conectivas, es decir, por su estructura formal.

Ejemplos de fórmulas tautológicas

                  h
                   Todo son Verdaderas

 

Veamos un segundo ejemplo con el siguiente enunciado:

(pLq)v[(¬p)v(¬q)]

                                     h
                                 Todo son Verdaderas

Contradicciones:  consiste en que son falsos bajo cualquier posible interpretación.  

Comprobemos mediante el método de las tablas de verdad que el enunciado pL(¬p) es una contradicción:

                                                                                  h
                   Todo son Falsas

Otro ejemplo, [(¬p) Lq] L[pL(¬q)]? Aquí es un poco más complejo decidir por simple inspección visual si estamos ante un enunciado contradictorio o no, pero haciendo su tabla de verdad, salimos de dudas inmediatamente.

 

                                                                                                h
                                                                                        Todo son Falsas

 

Importancia de estos conceptos en el campo profesional:

         Las personas constantemente tomamos decisiones acerca de lo que creemos que es verdadero en distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque todo el mundo está de acuerdo en preferir creer lo que es verdad, con frecuencia discrepamos sobre lo que es verdadero en casos particulares es así, como nos encontramos en circunstancias en que deberíamos aplicar la lógica puesto que esta es una  disciplina que estudia esta distinción determinando las condiciones bajo las cuales la verdad de ciertas creencias conduce con certeza a la verdad de alguna otra creencia. La lógica Comprende las habilidades y capacidades necesarias para manejar números competentemente y razonar correctamente  de allí la importancia que esta representa en las profesiones como la contaduría, la economía, la administración, la ingeniería y sobre todo en las matemáticas y la computación donde se precisa de análisis lógicos profundos y continuos  para la interpretación y elaboración de programas, análisis financieros, análisis estadísticos y resultados matemáticos en fin la lógica se debe aplicar a cada paso que el ser humano deba dar siguiendo los esquemas necesarios,  tanto en su vida profesional como en la personal para así poder llegar a resultados satisfactorios aplicando las herramientas justas y necesarias a cada problema que se le presente en el quehacer diario.

 

La Función Lineal

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

La Función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos.

Una función lineal tiene la forma general  

                                 ƒ : R → R/ f (x) = ax + b

Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0, b).  

La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.  

Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

Ejemplo:

Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (función ingreso)  

                            y = ƒ (x), con ƒ (x) = 20x + 50

donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.  

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

     90-

     80-

     70-

     60-

     50-

     40-

     30-

     20-

     10-

       0         

                   1         2         3        4        5

 

Podemos observar:  

1.      Es función creciente

2.      Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 

 

Función Cuadrática:

         Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

La función cuadrática responde a la formula:

                                      ƒ(x)= ax² +bx +c

Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

  1-   Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo.

  2- Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el  mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

        En Economía aparecen como objeto de estudio las funciones de oferta y de demanda.

        La función de demanda fd para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.

        fd = mp + n con m<0 o bien fd = ap2 + bp + c, con a<0.

        La función de oferta fo , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.

        fo = kp + v con k>0 o bien fo = dp2 + ep + f, con d>0.

Entonces tenemos que LA DEMANDA se refiere a la cantidad de un bien que los consumidores están dispuestos a  comprar en un determinado período  de prueba. LA OFERTA, trata de la cantidad del bien que los productores colocan en el mercado para su venta.

El punto en que se cruzan las curvas de oferta y demanda,  se llama punto de equilibrio del mercado. Cuando el precio del mercado coincide con el del punto de equilibrio, la cantidad ofrecida y la cantidad demandada del bien es la misma. El precio correspondiente a ese punto es llamado precio de equilibrio. La cantidad que se ofrece y se demanda, en otras palabras, la cantidad del bien que se intercambia, es llamada cantidad de equilibrio.  

En ese punto,

                        *todo lo que se produce se vende

                        *todo lo que se demanda se puede adquirir

Cuando se desplaza alguna de las curvas por variaciones en los factores que determinan su posición, el punto de equilibrio se desplazará también, modificándose el precio y la cantidad de equilibrio. El precio de equilibrio aumenta como consecuencia de los desplazamientos a la derecha de la curva de demanda o los desplazamientos a la izquierda de la curva de oferta.

Cuando los precios reales son superiores (o inferiores) al precio de equilibrio, el precio real tiende a bajar (o a subir).

 

Importancia e Interpretación:

     Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla.

  Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona  un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.

Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.

 

 

 

Puerto la Cruz, 05/10/2007