Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológica
Departamento de Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Estágio de Pesquisa Bibliográfica
Professor: Eduardo Sebatiani
 

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Uma revisão na Literatura

por

Luís Carlos Figueiredo Brandão
Maria Izabel Lage Gomes
Rogério Alves de Brito
Vilma Conceição Silva


 


SUMÁRIO 
1.  APRESENTAÇÃO 
2.  JUSTIFICATIVA 
3. OBJETIVOS
4. METODOLOGIA 
4.1. Histórico 
4.2. Resolução de Problemas Segundo Polya
4.3. Níveis de Capacidade de Resolução de Problemas
4.4. Resolução de Problemas: Propostas de Metodologias Didáticas
4.5. Fatores que influenciam na Resolução de Problemas em Sala de Aula 
4.6. Estratégias para Resolução de Problemas
4.7. Proposta de Avaliação à Luz do Método de Resolução de Problemas
5.  CONCLUSÃO 
6.  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 
 
 
"Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema".

Polya


 

1. APRESENTAÇÃO

O tema Resolução de Problemas foi, em algumas oportunidades, superficialmente abordado, ao longo de nosso curso de Licenciatura em Matemática. Todavia não havíamos tido a oportunidade de estudá-lo com maior profundidade, ocasião em que nos dispusemos a pesquisá-lo, como trabalho final da disciplina Estágio de Pesquisa Bibliográfica.

Este projeto de pesquisa pretende apresentar uma revisão da literatura na área de Resolução de Problemas, mediante sínteses de trabalhos e artigos diversos que enfocam este paradigma da Educação Matemática.

Em seu desenvolvimento, apontamos propostas de uma metodologia didática para trabalhar problemas em sala de aula, fatores que influenciam na resolução de problemas e estratégias específicas sugeridas para facilitar a atividade de resolver problemas.

Apresentamos várias abordagens sobre o conceito de problemas, bem como a distinção entre problemas e exercícios, destacando alguns modelos heurísticos gerais empregados na resolução de problemas.

Sugerimos a utilização de um modelo de avaliação contínua, de natureza qualitativa, em que se procura valorizar todo processo de resolução de um problema e não apenas o seu resultado final.

Ao final, listamos as referências bibliográficas catalogadas por ocasião de nosso trabalho de pesquisa, citando livros, teses de doutorado, dissertações de mestrado, artigos em revistas diversas, pesquisados na biblioteca da UFOP, bem como em bancos de dados dos sistemas informatizados das bibliotecas centrais da USP, UNICAMP, UFRGS, UFMG, UFRJ e PUC-SP.
 

2. JUSTIFICATIVA

Uma das maiores deficiências demonstradas pelos jovens, após a escolaridade, manifesta-se na capacidade de resolver problemas fora do contexto estritamente escolar. Estudos realizados mostram que o panorama não se tem alterado nos últimos anos. Apesar das contribuições significativas de Polya (1995) e Gúzman (1995), parece ser uma tarefa especialmente difícil, essa de desenvolver nos alunos as capacidades inerentes à resolução de problemas. Não será difícil aceitar que uma das causas seja o reduzido tempo dedicado nas aulas a tarefas de exploração, conjectura, experimentação e verificação que fazem parte da atividade de resolução de problemas.

De um modo geral, os alunos apresentam alguma resistência à tarefa de resolver problemas, relacionada às dificuldades que eles enfrentam nesta atividade. O próprio termo "problema" encontra-se vinculado a uma conotação extremamente negativa.

A palavra "problema" normalmente é empregada de forma equivocada na aula de matemática. Geralmente chamamos de problemas, uma série de exercícios aplicados pelo professor, que necessitam da execução rotineira de um procedimento já estabelecido. Um verdadeiro problema pode ser definido como uma situação que é nova para o indivíduo a quem se pede resolvê-la.

Os exercícios tirados de um livro texto de matemática geralmente consistem em trabalhar certo número de atividades idênticas ou quase idênticas às que o professor usou de exemplo em sala de aula. Com isto não queremos dizer que tais atividades como a solução de exercícios não sejam úteis; na verdade, estas atividades são extraordinariamente importantes e necessárias. O que queremos dizer é que também devemos dar oportunidade ao estudante para que realmente resolva problemas e, além disso, proponha problemas.

George Polya (1995) assegura que a resolução de problemas é uma habilidade prática como nadar, esquiar, tocar piano: somente se pode aprender mediante a imitação e a prática, pois não há nenhuma "chave mágica" que abra todas as portas ou resolva todos os problemas. Se queremos aprender a nadar, temos que entrar na água; analogamente, se queremos ser hábeis na solução de problemas, temos que resolver problemas.

Determinado exercício pode ser simples rotina para alguns indivíduos, mas para outros, se converte em tarefa que requer decisão e reflexão cuidadosa. Há uma expressão de autoria desconhecida que resume isto: " o que para uma pessoa é um problema, para outra é um exercício, e para uma terceira um fracasso". É por isto que é difícil determinar de antemão se uma determinada situação é ou não um problema para certa pessoa.

Na área de Ciências e Matemática esta situação já está quase institucionalizada entre os professores e entre os próprios alunos. O estudante que apresenta um desempenho melhor em Resolução de Problemas é considerado exceção.

A pergunta que devemos nos fazer é "Por que tantos alunos têm tão baixo rendimento quando solicitados a resolverem problemas?".

A necessidade de investigarmos esta questão é indiscutível. Como participantes do processo ensino-aprendizagem, seja como professores e/ou pesquisadores, não podemos aceitar passivamente que esta situação permaneça como está. Faz-se urgente que enfrentemos este desafio.

Atualmente, a Psicologia Cognitiva pode subsidiar-nos no que diz respeito a estudos sobre os fatores cognitivos que influenciam um indivíduo quando ele precisa resolver problemas de qualquer tipo, desde problemas do cotidiano até problemas de conteúdos específicos de papel e lápis. A Ciência Cognitiva têm contribuído para nos esclarecer sobre o papel do conhecimento prévio específico na tarefa de resolução de problemas, além do papel da prática e da disponibilidade e ativação de conhecimentos conceituais adequados.

Os processos cognitivos envolvidos no que chamamos Resolução de Problemas têm despertado um interesse marcante entre os pesquisadores das áreas de Ciências e Matemática. De maneira geral, isto é atribuído ao fato de que na Resolução de Problemas raciocínio e pensamento são atividades que se sobrepõem e fazem parte destas disciplinas. Por outro, o fracasso generalizado nesta tarefa, dentro do contexto educacional, reforça a necessidade de entendê-la melhor com o objetivo de reverter esta situação.

Uma das maiores deficiências demonstradas pelos jovens, após a escolaridade, manifesta-se na capacidade de resolver problemas fora do contexto estritamente escolar. Estudos realizados mostram que o panorama não se tem alterado nos últimos anos.

Uma discussão que permeia o tema resolução de problemas diz respeito à generalidade ou não da tarefa: muitos autores admitem que independentemente do tipo de problema e portanto das diferenças de procedimentos na sua resolução, existe uma série de procedimentos e habilidades que são comuns em todos os problemas. Em outras palavras, para resolver um problema precisamos prestar atenção nele, recordar, relacionar certos elementos entre si, além de que, na maioria dos problemas estas habilidades devem ser utilizadas numa determinada ordem para que atinjamos a nossa meta.

Outra questão refere-se à aceitação pelo aluno da tarefa de Resolução de Problemas: uma mesma tarefa de qualquer livro texto pode ser percebida pelos alunos como um exercício ou como um problema, dependendo de como percebam sua funcionalidade dentro da aprendizagem, a partir da forma como o professor a apresenta, guia sua solução e a avalia. A realização das atividades e tarefas em contextos muito definidos e fechados fazem com que os alunos realizem de modo mecânico as atividades, sem envolver-se muito no processo. Aqui o papel do professor como mediador desta atividade é imprescindível, daí a necessidade, desde o ensino fundamental, de expor os alunos a técnicas e estratégias relativamente transferíveis (como leitura de textos e interpretação), mas também promovendo atividades que exijam técnicas e estratégias de soluções diferentes.

Por outro lado a visão de problema para o professor pode não ser a mesma para o aluno: muitas vezes ele não consegue categorizar o problema em relação a um padrão como o professor o faz , então é necessário que este professor faculte ao aluno várias estratégias em Resolução de Problemas, inclusive o raciocínio "para trás" simultaneamente com o procedimento dito "científico".

De qualquer modo, falar em problema é considerar uma gama de situações que inclui desde simples quebra-cabeças, passando por problemas que enfrentamos no nosso cotidiano até problemas específicos envolvendo conhecimentos e/ou habilidades muito particulares.

No contexto em que está inserida esta revisão de literatura, a resolução de problemas será considerada, principalmente, uma atividade de papel e lápis, mas poderá também envolver atividades experimentais em ciências ou matemática, onde o sujeito terá oportunidade de, aplicando seus conhecimentos e procedimentos na busca de uma solução para a situação proposta, desenvolver a sua estrutura cognitiva. Na vida diária se resolve um problema para se obter um resultado; ao contrário, no contexto escolar o resultado importa menos do que a própria resolução.

O desenvolvimento, nos alunos, da capacidade de aprender nos parece uma síntese dos objetivos psicopedagógicos de qualquer sistema educacional de sociedades que querem preparar pessoas que tenham condições de adaptar-se a mudanças tanto culturais, tecnológicas ou sociais.

Uma vez justificada a importância do tema escolhido e definido o que entendemos por resolução de problemas, podemos passar ao estudo propriamente dito desta importante temática.
 

3. OBJETIVOS

Este projeto de pesquisa almeja esclarecer aos professores, alunos, pesquisadores e demais personagens do processo ensino-aprendizagem as diversas perspectivas sobre o tema Resolução de Problemas, acentuando a necessidade de um maior aprofundamento na compreensão das várias heurísticas modernas, nas quais se objetiva a compreensão do processo solucionador de problemas, através do enfoque das suas operações cognitivas subjacentes.

Pretendemos discutir algumas metodologias de sala de aula que usam como veículo a resolução de problemas, comentar os fatores que influenciam na resolução de problemas em sala de aula, bem como sugerir algumas estratégias facilitadoras da atividade de resolução de problemas em sala de aula.

É nossa intenção estimular a leitura, discussão e pesquisa sobre este paradigma da educação matemática, na maioria das vezes mal compreendido pelos professores, que só o vêem como um mero objetivo de ensino, em detrimento de sua visão como um processo, ou mesmo um ponto de partida para a construção do conhecimento matemático, conforme destaca Mendonça (1994).

Procuramos também apreender e divulgar as principais técnicas de pesquisas quantitativas e qualitativas empregadas nos vários trabalhos analisados, destacando a análise de protocolos verbais e a comparação entre novatos e especialistas na resolução de problemas.

4. METODOLOGIA

4.1.  Histórico

A Resolução de Problemas é considerada, pela maioria dos autores, sob duas perspectivas principais: conteúdo educativo e modo de conceber as atividades educativas. Conforme Pozo et al. (1994): "O ensino baseado na resolução de problemas supõe fomentar nos alunos o domínio de procedimentos para dar respostas a situações distintas e mutáveis". Segundo este mesmo autor, "ensinar ao aluno a resolver problemas consiste não apenas em ensinar-lhe estratégias eficazes mas em criar-lhe o hábito e a atitude de encarar a aprendizagem como um problema para o qual se tem que encontrar respostas. Para Garrett (1987), a Resolução de Problemas "pode ser vista como um elemento do pensamento, mas é provável que seja mais apropriadamente considerada como uma atividade de aprendizagem complexa que envolve pensamento".

A maioria dos pesquisadores nesta área vê a resolução de problemas como "um processo pelo qual o aprendiz descobre uma combinação de regras anteriores aprendidas que ele pode aplicar para atingir uma solução para uma situação problemática nova" (Gagné, 1965). Este processo deve favorecer a aprendizagem significativa na medida em que propicia uma reorganização da informação e do conhecimento armazenado na estrutura cognitiva do sujeito (Novak, 1977).

Já Polya (1995) assinala que "é possível que se chegue a perceber que um problemas de Matemática pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de tênis. Tendo experimentado prazer no estudo da Matemática, o aluno não esquecerá facilmente e haverá, então, uma boa probabilidade de que ela se torne alguma coisa mais, um hobby, um instrumento profissional, a própria profissão ou uma grande ambição."

Definir o que se entende por problema pode dar margem a várias interpretações: um problema é um estado subjetivo da mente, pessoal para cada indivíduo, um desafio, uma situação não resolvida, cuja resposta não é imediata, que resulta em reflexão e uso de estratégias conceituais e procedimentais, provocando uma mudança nas estruturas mentais. Hayes (1980) definiu problema como a fenda que separa um estado presente de um estado almejado; Gil Pérez et al. (1992) consideram problema como uma situação para a qual não há soluções evidentes; já Perales (1993) considera-o uma situação qualquer que produz, de um lado, um certo grau de incerteza e, de outro, uma conduta em busca de uma solução.
Hennig (1998) define problema como uma situação de dúvida, ou seja, um estado de tensão psicológica capaz de estimular a curiosidade, o pensamento reflexivo e provocar a ação em busca de uma solução ou atitude de trabalho.

Para Porto da Silveira (1999), professor da UFRGS, define problema de uma maneira muito poética: "problema é o alimento de que se nutre a Matemática. Para um verdadeiro matemático, um grande problema é aquele que se torna fonte de novas idéias e é capaz de fertilizar outros campos da Matemática". Em nossa perspectiva, entendemos um problema matemático como toda situação que requer a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-la e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado.

A maioria dos autores parece concordar que a diferença entre um problema e um exercício é que este último requer mecanismos que nos conduzem de forma imediata à sua solução. Por outro lado, uma mesma situação pode ser um problema para algumas pessoas e um exercício para outras. De qualquer forma, tanto exercícios como problemas requerem dos alunos a ativação de diversos tipos de conhecimento, de procedimentos, de atitudes e motivações.
 

4.2 Resolução de Problemas Segundo Polya

A principal referência bibliográfica ao tema "Resolução de Problemas" é o matemático húngaro George Polya, nascido em Budapeste, no dia 13 de dezembro de 1887 e falecido em 7 de setembro de 1985, na cidade de Palo Alto, Califórnia. Polya foi um dos pioneiros da discussão da heurística da resolução de problemas. Escreveu um livro intitulado "How to Solve It", publicado em 1944 e traduzido no Brasil como "A Arte de Resolver Problemas".

Desde o seu tempo de estudante, Polya já se revelava intrigado em relação aos problemas matemáticos e físicos que se lhe apresentavam. Não se satisfazia com as resoluções, procurando sempre questioná-las: "Sim, a resolução parece que funciona, que está certa, mas como seria possível inventar, eu próprio, essa coisas?"

Em uma tentativa pessoal de responder a estes questionamentos, Polya foi levado a escrever o livro em destaque, que objetiva compreender como se resolve um problema, bem como as motivações e procedimentos de resolução.

Procurando organizar o processo de resolução de problemas, Polya o dividiu em quatro etapas, quais sejam:

  1. Compreensão do problema;
  2. Estabelecimento de um plano;
  3. Execução do plano;
  4. Retrospecto.
É importante destacar que o autor nunca pretendeu sugerir que essas etapas deveriam ser percorridas de maneira rigorosamente seqüencial e nem que esse procedimento funcionasse como uma receita de bolo.

O que se oferece neste trabalho é uma coleção de estratégias gerais que os matemáticos de todos os tempos têm utilizado na resolução de problemas. Ao longo dos problemas concretos que tentamos resolver, nosso objetivo deverá ser sempre o de olhar através das estratégias apresentadas a seguir.

Primeiro as estratégias são enunciadas, explicadas brevemente na forma de alguns questionamentos e depois detalhadas e discutidas, para que fique mais fácil entendê-las. Ao procurarmos a solução de um problema, podemos proceder de diversas maneiras e aperfeiçoá-las ao longo do desenvolvimento da questão.

Em linhas gerais, mudando o que houver a mudar, pode-se utilizar essas mesmas estratégias em muitos problemas não-matemáticos. Trata-se, indubitavelmente, de uma das competências mais importantes para o mundo moderno: aprender a pensar, resolver problemas e tomar decisões adequadas.

É de fundamental importância que o aluno observe estas quatro fases, e compreenda o significado de cada uma delas, para evitar eventuais confusões que poderiam leva-lo a caminhos errôneos.

Cabe aqui colocarmos, ratificando Bertoni (1983), uma crítica à tradução deste livro do Polya, principalmente na insistência em se traduzir o termo "condition" por condicionante, quando o mais adequado seria traduzi-lo por condição.
 

 FASE I -   COMPREENSÃO DO PROBLEMA:

Antes de fazer, tente entender!
É preciso compreender o problema.
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?
É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?
Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.
Separe as condições em partes.
Este princípio é evidente, mas às vezes, por sermos apressados ou por pressas que nos impõem de fora, pomo-nos imediatamente a caminho.

Quando for proposto um problema, deve-se assegurar de que se entende os dados, as incógnitas e as condições que devem ser satisfeitas, bem como familiarizar-se com os elementos da situação. Mesmo que a princípio pareça melhor outro caminho, ganha-se tempo procedendo-se dessa maneira.

Nesta etapa deve-se responder às seguintes perguntas: Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições? É importante também separar as várias partes das condições, anotando-as. O objetivo aqui é manter em mente o ponto onde se quer chegar.

Muitas pessoas pensam melhor com imagens do que com palavras, ou seja, o pensamento durante uma investigação pode ser não-verbal, mas acompanhado de imagens sensoriais e até mesmo motoras.

Muitos problemas ficam imensamente complicados com uma notação inadequada e tornam-se transparentes quando tomamos eixos adequados, os nomes apropriados para os elementos. A melhor notação é a que se presta para a expressão das simetrias, a que expressa a própria função dos elementos que representa.

É impossível resolvermos um problema sem antes compreender o propósito de sua pergunta. No entanto, estas situações costumam ocorrer com determinada freqüência entre os alunos, que partem em busca de soluções sem traçar objetivo algum e sem o menor desejo de resolvê-lo.

Para evitarmos tais situações, devemos ser bastante rígidos no escolha dos problemas que serão propostos aos alunos. Tais problemas devem estar bem enunciados, apresentar uma linguagem acessível ao resolvedor e, talvez o mais importante, despertar o curiosidade e o interesse, servindo assim de estimulo para o aluno.
 

FASE II -  ESTABELECIMENTO DE UM PLANO


À procura de estratégias...
Construção de uma estratégia de resolução
Ache conexões entre os dados e as incógnitas.
Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, caso uma conexão não seja encontrada em tempo razoável.
Você já encontrou este problema ou algum parecido?
Você conhece um problema semelhante?
Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
Olhe para a incógnita! Tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante.
Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Você consegue aproveitá-lo? Você pode usar o seu resultado? Ou o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos?
Você consegue enunciar o problema de uma outra maneira?
Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Você consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Você consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora?
Você consegue obter alguma coisa a partir dos dados? Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Você consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos?
Você está levando em conta todos os dados? E todas as condições?

Nesta fase do processo, deve-se tentar reunir uma quantidade de possíveis modos de atacar o problema. É preciso que surjam muitas idéias, mesmo que de início possam parecer totalmente despropositadas. As idéias mais extravagantes podem depois vir a ser as melhores. Aqui a quantidade gera a qualidade. Mas não se deve, ainda, pôr nenhuma em prática. Deve-se tentar agir com espontaneidade, suspendendo o juízo crítico: não se trata agora de decidir se uma é melhor que outra, nem se preocupar se à primeira vista pareçam ridículas, pois se percebe que não o são.

Sem dúvida, esta é uma das etapas mais tortuosas da processo, pois é comum fracassarmos em diversas tentativas e de repente uma boa idéia surgir e como num passe de mágica encontrarmos a resposta.
Para que o aluno possa alcançar estas "idéias luminosas", convém que o professor lhe auxilie através de discretas sugestões e indagações que o conduzam ao caminho certo. Contudo, é muito difícil termos boas idéias a respeito de algo que não conhecemos, pois estas idéias geralmente baseiam-se em conhecimentos já adquiridos ou experiência vivenciadas. Como nos diz Polya (1995): "não bastam os materiais para a construção de uma casa, mas não podemos construí-la sem lançar mão dos materiais necessários". Analogamente, alguns conhecimentos matemáticos são indispensáveis para "construção" de nossa solução. Daí a pergunta: " Conhece um problema correlato?", ou seja, devemos buscar em nossa experiência e em nosso conhecimento os "materiais" que nos serão úteis no processo, é preciso ainda, ter bastante cuidado para que neste momento não sejamos levados a desistir de nossas idéias e simplesmente aceitar outras.

Ao termos que decidir qual os "materiais" que realmente nos serão úteis, nos deparamos com outro problema, pois de uma maneira ou de outra todos estão interrelacionados com problema em questão. Neste momento Polya (1995) nos sugere: "Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante". Se conseguirmos lembrar de tal problema, estaremos direcionados à uma correta caminhada. Caso não seja possível, devemos procurar resolver um problema correlato. Devemos, no entanto, evitar o distanciamento do problema original.

Para facilitar este fluxo de idéias, apresentamos alguns temas sobre os quais pode-se começar a refletir e a exercitar:
 

1.  Procurar semelhanças com outros problemas

A idéia fundamental aqui é estabelecer uma conexão entre os dados e a incógnita. O que é que a situação nos faz lembrar? Não nos dá a idéia de que talvez seja como um outro problema que já foi anteriormente analisado? Conhecemos um problema correlato e já resolvido antes? É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível sua utilização?

2.  Começar pelo fácil torna fácil o difícil

Talvez o problema seja complicado porque há muitos elementos. Por que nós mesmos não o tornamos mais fácil. Pode-se tentar resolver um problema parecido com menos elementos. Talvez com isso tenha-se uma idéia para resolver o mais complicado. É possível resolver um problema correlato, mais específico ou mais genérico? É possível resolver uma parte do problema? Mantendo apenas uma parte das condições, deixando as outras de lado, até que ponto fica determinada a incógnita? Como pode ela variar?

3.  Experimentar e procurar regularidades

Os grandes resultados da história da matemática são fruto de muitas experiências. Como todas as ciências, também a matemática avança por tentativas e erros, mais tentativas e erros ... É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?

4.  Modificar o problema

Procurar mudar alguma coisa no enunciado, para ver se assim ocorre um caminho possível para a solução. Já não será o problema proposto, mas pode ser que seja proporcionado uma escada à qual acrescente outra e chegue-se ao objetivo.

5.  Explorar a simetria ... se possível

São muitos os problemas que se resolvem mediante apoio na simetria que, de forma explícita ou velada, apresentam. Deve-se pensar nesta possibilidade no caso particular.

6.  Supor que não ... Onde isto leva?

Este é o raciocínio a que se costuma chamar de indireto ou por redução ao absurdo. São muitos os problemas que se podem tratar assim. Pretende-se demonstrar que uma situação se comporta de determinada forma. Começa-se supondo que não se comporta assim e se vai fazendo deduções e raciocinando corretamente e a cadeia de raciocínios leva a uma conclusão contrária ao senso comum. Fica claro então que o seu ponto de partida estava incorreto e fica assim demonstrado o resultado.

7.  Supor o problema resolvido

Esta tática será especialmente útil nos problemas em que se tenha de construir alguma figura, algum elemento que tenha de estar relacionado, de forma determinada pelas condições, com outros que são dados. Imagine-se o problema resolvido. E construindo de forma aproximada como a coisa deve funcionar, tem-se a oportunidade de explorar as relações entre os elementos dados e os que são procurados. Finalmente, ao aproximá-los, pode acontecer de "saltar a faísca’’ que nos faça ver claro como devemos proceder a partir dos dados.
 

FASE III -  EXECUÇÃO DO PLANO

Execute a estratégia, o seu plano anteriormente traçado.

Ao executar a estratégia, verifique cada passo.

Você consegue mostrar claramente que cada um deles está correto?

Freqüentemente, esta etapa mais fácil de um problema. Todavia, a maioria dos principiantes tendem a pular para esta etapa prematuramente, e acabam se dando mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução.

É muito importante valorizarmos a exploração de nossa estratégia. Geralmente já temos algumas estratégias possíveis para atacar o problema, acumuladas na fase anterior. O mais aconselhável é que se tenha uma lista escrita de todas elas, sem esquecer as que ao princípio pareçam mais absurdas. Chegou agora o momento de escolher quais das estratégias, que foram anotadas no papel, têm mais probabilidades de êxito. Talvez a idéia que antes parecia despropositada pareça-nos precisamente a melhor.

Além dos conhecimentos matemáticos, a paciência é extremamente necessária para que possamos executar o plano com uma perfeita compreensão e sem omitir nenhum erro. Se o próprio aluno alcançar este objetivo ou até mesmo com alguma ajuda, um grande conhecimento terá sido construído e dificilmente será esquecido.

É de fundamental importância, que o professor certificar-se de que o aluno compreendeu claramente todos os passos, inclusive a correção de um erro anterior. Para isso o professor poderá reforçar a idéia de "perceber" e "demonstrar", ou seja, além de perceber que o passo esta correto, demonstrar que ele realmente esta correto.

Para bom êxito nesta etapa, deve-se seguir as seguintes recomendações:

1.  Explorar as melhores idéias

Não misturar as idéias a princípio, mas considerá-las separadamente, uma a uma. Trabalhar com decisão e confiança, sem precipitações . Se ao pôr em prática uma idéia ocorrer-nos outra totalmente desligada da primeira e que pensemos poder nos ajudar, não a desprezemos! Anotemos em nossa lista. Mas também não se deve desviar a atenção da idéias que agora estamos a explorar.

2.  Não desistir facilmente

Recomenda-se não abandonar facilmente uma idéia que nos pareceu boa. Mas também não teimemos demais com uma só idéia. Se as coisas se complicarem, haverá provavelmente um outro caminho. Deve-se estar preparado para reconhecer que as virtualidades talvez fossem uma miragem que se torna mais clara à medida que a exploramos. Se virmos que a idéia não nos faz aproximarmos da solução, tentemos outra. Lembremo-nos: tentativa e erro, tentativa e erro ...

3.  Verificar cada passo

Obtivemos a resposta? Com certeza? Deve-se olhar para a solução com mais cuidado. Não nos enganemos a nós próprios. Certifiquemo-nos bem se chegamos à solução. É possível verificar se cada etapa está correta? É possível demonstrar que cada etapa está correta?
 

FASE IV -  RETROSPECTO ( REVISÃO)

Examine a solução obtida.
Verifique o resultado e o argumento.
Você pode obter a solução de um outro modo?
Qual a essência do problema e do método de resolução empregado?
Em particular, você consegue usar o resultado ou o método em algum outro problema?

O problema está resolvido? Parabéns! Ou trabalhamos horas a fio, acabando por não o resolver? Parabéns também! Se passamos algum tempo interessado e tentando resolver o problema e decidimos pedir auxílio para ver como resolvê-lo, a experiência até pode ser mais satisfatória do que no primeiro caso. Muitas vezes aprende-se muito mais, e mais profundamente, com os problemas que se tentaram com interesse e persistência e não se resolveram, do que com os que se resolvem quase à primeira vista.

Lembremo-nos: o erro pode ser instrutivo, e as pessoas que realmente pensam, aprendem tanto com os sucessos quanto com os insucessos. Seja como for, o que é preciso agora é refetir um pouco sobre todo o processo, para que fiquemos com uma idéia de quais foram as dificuldades, os becos sem saída em que nos enveredamos, bem como por quê e como poderíamos proceder no futuro para resolver melhor outros problemas, parecidos ou não.

Esta fase do processo pode ser a mais proveitosa de todas e a que mais vezes nos esquecemos de realizar, pois, uma vez que se chega à solução, fecha-se os livros e abandona-se a questão. Assim perde-se uma etapa importante da construção do conhecimento, pois o retrospecto é de extrema importância para aperfeiçoarmos a capacidade de resolver problemas, pois um problema jamais se esgota e a solução sempre poderá ser melhorada. Para tanto devemos sempre perguntarmos : "É possível chegar ao resultado por outro caminho?", e outro desafio esta lançado, e todo processo poderá se repetir, no entanto, num estágio mais avançado.

Algumas recomendações devem ser seguidas, nesta fase do processo de resolução de um problema:
 

1.  Examinar como chegamos à solução

É possível verificar o resultado? Examinemos o caminho que seguimos para obter a solução. Utilizamos todos os dados? Satisfizemos todas as condições? Levamos em conta todas as noções essenciais implicadas no problema? As condições são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias? Ou por que não chegamos à solução? Ia bem encaminhado a princípio? Tínhamos adivinhado a estratégia correta na etapa 2? Ou, por que não nos ocorreu pensar nela? O que nos induziu em erro ao escolher a estratégia? Qual foi a idéia brilhante que nos fez pensar que tudo ia funcionar?

2.  Verificar por que o argumento funciona

É possível verificar o argumento? Tentar perceber não só que a coisa funciona de fato, mas também por que tem de funcionar assim. Não devemos nos contentar em obter a resposta por acaso, pois a maior parte das vezes não teremos tanta sorte.

3.  Descobrir se é possível resolvê-lo de outro modo

Os matemáticos não costumam considerar que compreenderam um resultado se não forem capazes de vê-lo com um simples e tranqüilo olhar, que lhes permita contemplar de uma só vez, pelo menos, as suas partes principais. Quem consegue compreender algo desta forma será capaz de construir sobre esse resultado outras estruturas mais poderosas. Perguntemo-nos nesta etapa: É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isso num relance?

4.  Utilizar o problema em outras circunstâncias

Vejamos até onde pode ir o método que foi segundo, para ver se o podemos aplicar em outras situações. Talvez nós mesmos possamos inventar outros problemas mais interessantes que se resolvam com os mesmos processos. Nossa preocupação agora deve ser em responder: É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

5.  Refletir sobre o nosso próprio processo de pensamento

Repetindo experiências como esta, talvez consigamos fazer um diagnóstico de nosso próprio estilo de conhecimento. Como é o nosso pensamento? É analítico ou visual? Depende da expressão verbal ou da fórmula escrita? Temos a tendência para o compromisso com uma única idéia, sem flexibilidade, ou para o raciocínio interativo? Como poderíamos aumentar o fluxo espontâneo de idéias variadas, novas, originais? Descobrindo as respostas a essas perguntas, saberemos como tratar problemas, não só matemáticos, mas de todos os gêneros, tentando, ao abordá-los, tirar o melhor partido possível das vantagens do nosso próprio estilo.
 

4.3 Níveis de Capacidade de Resolução de Problemas


Baseado em suas observações, Porto da Silveira (1999) propôs um perfil do resolvedor de problemas, que abaixo reproduzimos, no qual os níveis de capacidade de resolução de problemas dependem, basicamente, da dotação genética e da qualidade da orientação didática.

É interessante que cada um de nós faça uma auto-avaliação do seu perfil de resolvedor de problemas, dentro dessas categorias criadas por esse autor:

4.4. Resolução de Problemas: Propostas de Metodologias  Didáticas
 

As metodologias didáticas em Resolução de Problemas certamente constituem uma fonte de informações relevantes para o aperfeiçoamento da prática docente para professores de qualquer nível escolar e/ou pesquisadores nesta área.

A prática de resolução de problemas, recurso indispensável para o ensino de Matemática, precisa ser repensada pelos envolvidos no processo ensino-aprendizagem e ninguém melhor do que o professor ou pesquisador para empreender esta empreitada que certamente trará benefícios para seus alunos.

O ensino por resolução de problemas coloca ênfase nos processos cognitivos, nos processos de aprendizagem e toma os conteúdos matemáticos como um "campo de operações privilegiado", conforme assinala Guzman (1995), para a tarefa de se atingir formas de pensamentos eficazes.

O conhecimento por parte do professor/pesquisador dos processos envolvidos na resolução de problemas e das dificuldades encontradas pelos alunos permitirá que a tarefa seja mediada pelo professor de maneira mais produtiva, permitindo-lhe desenvolver em seus alunos a capacidade autônoma para resoluções dos seus próprios problemas

A seguir, citamos algumas sugestões de metodologias didáticas em resolução de problemas, apontadas ao longo de nosso estudo e discussão sobre o assunto:
 

O "brainstorming" é a técnica de procurar soluções para um problema cruzando todas as idéias dos diferentes membros de um grupo.
É um interessante meio de desenvolvimento da criatividade que, com regras muitos simples, ajuda a encontrar respostas que com métodos mais formais não se conseguem alcançar.
As regras simples e imperativas, quando bem aplicadas, são muito produtivas:         - Absoluta ausência de crí;ticas;
        - Total liberdade de idéias;
        - Todas as idéias são boaas;
        - Quanto mais idéias melhor.


4.5.  Fatores que Influenciam na Resolução de Problemas em Sala de Aula

Em nosso estudo sobre o paradigma da Resolução dos Problemas, deparamo-nos com uma série de fatores que influenciam a sua utilização em sala de aula.

Isto nos fez refletir sobre as situações problemáticas que são apresentadas aos alunos, às quais eles geralmente reagem de maneira desmotivada e desinteressada.

Pela heurística de Pólya, é inconcebível resolver um problema sem a sua correta compreensão. Mas nem sempre os enunciados propostos são entendidos adequadamente pelos alunos.

A resolução de problemas, na maioria das vezes como aplicação da matemática no cotidiano, pode nos parecer muito simples, mas deve haver uma grande preocupação com a linguagem . O enunciado deve ser claro, para não descaracterizar o problema, e o aluno poder refletir e dar a sua resposta, que muitas vezes não é a resposta esperada pelo professor. Intuitivamente, os alunos pensam que problemas é "armadilha para pegar alunos", não procurando refletir sobre o enunciado, e procura simplesmente descobrir que operações ele deve efetuar para resolvê-lo, e achar a resposta igual a do professor.

Devemos dar liberdade para os alunos, sem formalismo, e mostrar que nem sempre temos uma única solução. Precisamos levar o aluno a interpretar corretamente o texto e tirar suas conclusões.

Objetivando contribuir para a reflexão sobre a prática da resolução de problemas em sala de aula, destacamos alguns fatores influenciadores desta metodologia didática:

 4.6. Estratégias para Resolução de Problemas

A observação comparativa de pessoas bem e mal-sucedidas na solução de problemas, aliada à análise teórica dos processos cognitivos possibilitou que algumas sugestões fossem propostas para o treinamento da resolução de problemas, em termos de princípios gerais, abrangendo várias áreas do conhecimento, como Matemática, Física, Ciências, Química, Biologia e Genética.

Apontamos, a seguir, algumas outras sugestões de estratégias que visam
facilitar a atividade de resolver problemas em sala de aula, além da heurística de Polya (1995), já fartamente discutida anteriormente.

Acentuamos a necessidade do ensino de heurísticas, gerais ou específicas, em que se pretende dotar os alunos de determinados códigos ordenados de condutas, que possam ajudá-los a tomar decisão sobre o caminho que conduzirá à solução do problema.

        Aspectos principais dos modelos de solução de problemas de novatos e especialistas:

         1.   Processos dos Novatos:

    • Construção de descrição original;
    • Construção de descrição matemática;
    • Identificação e aplicação de princípios relevantes;
    • Combinação de equações para eliminar quantidades indesejáveis.


    2.   Processos dos Especialistas
     

    • Construção de descrição original;
    • Construção de descrição física em detalhes;
    • Seleção de um método;
    • Seleção de aspectos chaves do problema;
    • Aplicação dos princípios principais;
    • Verificação da existência de anomalias;
    • Construção da descrição matemática;
    • Aplicação do princípio principal para obter as equações;
    • Aplicação de princípios subsidiários para eliminar quantidades indesejáveis;
    • Combinação e solução da equações.
        ( Estratégia apropriada para o estágio das operações concretas)  4.7. Proposta de Avaliação à Luz do Método de Resolução de Problemas

Quando se trabalha com o método da Resolução de Problemas, é importante, no processo de avaliação, considerar o conhecimento prévio, as hipóteses e os domínios dos alunos e relacioná-los com as mudanças que ocorrem no processo de ensino e aprendizagem. O professor deve identificar a apreensão de conteúdos, noções, conceitos, procedimentos e atitudes como conquistas dos estudantes, comparando o antes, o durante e o depois. A avaliação não deve mensurar simplesmente conteúdos assimilados. Deve ter um caráter diagnóstico e possibilitar ao educador avaliar o seu próprio desempenho como docente, refletindo sobre as intervenções didáticas e outras possibilidades de como atuar no processo de aprendizagem dos alunos.

Com a utilização do método de resolução de problemas faz-se necessário procurar avaliar continuamente os alunos, ao longo de todo as fases da utilização desse método, destacando-se, neste contexto, a avaliação de natureza qualitativa, valorizando todo o processo heurístico e não apenas o resultado final do problema. Esse enfoque avaliativo faz aflorar uma série de questionamentos: Como avaliar a criatividade dos alunos? Como avaliar a sua originalidade? Como avaliar a sua capacidade de resolver problemas? Como avaliar a sua capacidade de elaborar problemas? Estas questões devem ser discutidas entre os professores, de forma a se estabelecer um correto diagnóstico de como os objetivos propostos para o processo ensino-aprendizagem estão sendo atingidos, assumindo a avaliação uma dimensão orientadora.

Um dos erros didáticos mais freqüentes é o da não-integração dos critérios e processos de avaliação na dinâmica geral do ensino. Avalia-se com um quadro de referência diferente daquele com que se ensinou. Assim, trabalhando com métodos e técnicas dinâmicas de ensino, tais como o método de resolução de problemas, o professor não faz convenientemente o controle do rendimento dos alunos e, ao final (na hora do exame), oferece questões memorísticas, em desacordo com as situações de aprendizagem que ofereceu e que visavam desenvolver pensamento reflexivo e imaginação criadora.

O desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem deve, portanto, ser acompanhado de uma avaliação contínua. Verificações periódicas fornecem maior número de amostras e funcionam como um incentivo para que o aluno estude de forma sistemática, e não apenas às vésperas de uma prova. Tais verificações podem ser informais (trabalhos, exercícios, participação nos debates, solução dos problemas, aplicação de conhecimentos, etc.) ou formais (provas propriamente ditas). Mas a eficácia da avaliação depende do fato de o aluno conhecer seus erros e acertos, para poder reafirmar os acertos e corrigir os erros.

A avaliação é um meio para alcançar fins e não um fim em si mesma. "o uso da avaliação implica propósito útil, significativo. É necessário que a escola, os professores e os alunos retomem com mais clareza e atenção esse princípio. Isso implica atribuir à avaliação seu verdadeiro papel, ou seja, de que deve esse processo contribuir para melhorar as decisões de natureza educacional - melhorar o ensino e a aprendizagem, bem como o planejamento e o desenvolvimento curricular.
 
 

5. CONCLUSÃO


O método da de resolução de problemas é um recurso didático que se fundamenta em fazer surgir na mente do aluno uma situação de dúvida capaz de estimular sua curiosidade, atingindo-o em seus impulsos fundamentais, determinando seu pensamento reflexivo e conduzindo-o à ação em busca de uma solução racional para um problema.

Manifestamo-nos como defensores da idéia de que a Resolução de Problemas pode efetivamente se tornar um método ideal para o desenvolvimento do raciocínio e da criatividade dos alunos, servindo também como elemento motivador para o estudo da Matemática.

Concordamos com Nasser (1989), ao enfatizar a necessidade da exploração de um problema, no sentido de se procurar soluções alternativas, além da natural, analisando-o sob diferentes perspectivas.

Dar chances aos alunos de tentar estratégias pessoais de solução de problemas, aproveitar ao máximo as idéias dos alunos, permitir que eles façam todo o tipo de pergunta necessária à compreensão do problema e não mostrar soluções prontas e arrumadas são algumas atitudes positivas que o professor deve procurar estimular em seus alunos, desenvolvendo-lhes o espírito crítico, criativo e inovador.

Para compreender como os seus alunos resolvem os problemas propostos, o professor deve traçar o seu auto-retrato heurístico e procurar compreender os processos cognitivos utilizados nestas resoluções, bem como nortear a avaliação como um processo contínuo e qualitativo.

A utilização do método de resolução de problemas contextualizados é uma ferramenta indispensável na função principal do ensino da Matemática, que é preparar o cidadão para atuar em uma sociedade cada vez mais complexa, através da formação de um indivíduo autônomo diante de problemas, obstáculos e dificuldades enfrentadas ao lodo sua vida.
 
 

 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 

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