JUSTIFICATIVA

A escolha deste assunto, para o nosso trabalho de pesquisa, fundamentou-se na importância do tema "Números Inteiros", conteúdo de difícil assimilação pelos alunos da sexta série do ensino fundamental.

A construção formal dos números inteiros processou-se ao longo de vários séculos. Durante milhares de anos, foram considerados, segundo assinala HEFEZ, como entes intuitivos cujas propriedades, como a comutatividade, a associatividade, a distribuitividade da multiplicação em relação à adição, eram vistas como inerentes à sua própria natureza, prescindindo de demonstrações.

Os usos mais antigos dos números negativos são encontrados, na Antigüidade, juntos aos povos egípcios, babilônios, hindus, chineses. O primeiro registro referencial aos números negativos, na civilização ocidental, localiza-se, de acordo com SMITH, no livro Arithmetica de Diofante de Alexandria (século III), que considerava a equação 4x^2 + 20 = 4 como um absurdo, pois sua solução é "-4". Já na Índia, o século VII, nos trabalhos de Brahmagupta encontra-se, pela primeira vez, conforme cita BOYER, a aritmética sistematizada dos números negativos. Outras contribuições à essa construção formal dos números inteiros situam-se nos trabalhos de al-Khowarizmi (séc. XIX); Fibonacci (séc. XIII); Chuquet (séc. XV); Cardano (século XVI), que, em seu Ars Magna, reconhece as raízes negativas de uma equação; Stifel (século XVI) e Bombelli (século XVI). A partir do século XVII, a criação e divulgação do Cálculo Diferencial e Integral passou a exigir uma fundamentação mais rigorosa do conceito e propriedades dos números inteiros. Essa árdua e apaixonante missão foi empreendida por vários matemáticos do século XIX, destacando-se Weierstrass, Cantor, Dedekind e Peano.

Apesar da relevância deste assunto, verifica-se a permanência de inúmeras dificuldades em sua aprendizagem, fator este que amplia sobremaneira a importância deste projeto de pesquisa.

GLAESER, aponta e identifica, nesse percurso de formalização axiomática dos números inteiros, uma série de obstáculos de natureza epistemológica, destacando-se:

• inaptidão para manipular quantidades isoladas;
• dificuldade em dar um sentido a quantidades negativas isoladas;
• dificuldade em unificar a reta numérica, manifesta pela diferenciação qualitativa entre quantidades positivas e negativas, pela concepção da reta como mera justaposição de duas semi-retas opostas, ou ainda por desconsideração do caráter simultaneamente dinâmico e estático dos números;
• ambigüidade de dois zeros: zero absoluto e zero como origem;
• dificuldade de afastamento de um sentido "concreto" atribuído aos seres numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição formal;
• desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo multiplicativo, ao qual não se aplica.

Partindo, portanto, da importância e da dificuldade de aprendizagem dos números inteiros, desembarcamos na questão dos métodos de ensino que são empregados por ocasião da abordagem deste tema, na sexta série do ensino fundamental, procurando verificar a eficácia da utilização dos jogos didáticos ao longo do processo de sua aprendizagem operatória, tema até então não suficientemente estudado pela comunidade acadêmica.

Desta forma, justifica-se a realização desta pesquisa para buscarmos responder se é ou não eficaz a utilização dos jogos pedagógicos como instrumentos de enfrentamento e superação desse obstáculos de natureza epistemológica, presentes quando da assimilação pelos alunos das propriedades axiomáticas da caracterização dos números inteiros como um domínio de integridade, quais sejam:

• associatividade da adição;
• comutatividade da adição;
• existência de um elemento neutro para a adição;
• existência do elemento simétrico;
• associatividade da multiplicação;
• comutatividade da multiplicação;
• existência de um elemento neutro para a multiplicação;
• distributividade da multiplicação em relação à adição;
• inexistência de divisores de zero.

Desta forma, durante este trabalho, pretendemos refletir sobre as concepções paradoxais através das quais os jogos foram e são tratados ao longo da história, como bem assinala BROUGÉRE: "trabalho ou entretenimento?", "jogo ou recreação necessária?", "liberdade ou diretividade?", "espontaneidade ou controle?", "estratagema ou naturalidade", enfim, "frivolidade ou seriedade".
 
 

OBJETIVOS

Este projeto propõe-se a mostrar a importância dos números inteiros, seu conceito, propriedades e suas inter-relações, fazendo uso da história da matemática como fio condutor.

Um outro objetivo consiste em efetuar um levantamento das dificuldades e obstáculos presentes na aprendizagem operatória dos números inteiros, como propõe ANDRÉ, mediante uma aprofundada revisão da literatura específica de educação matemática, ciências cognitivas e epistemologia genética, buscando levantar quais os principais questionamentos mencionados pelos diversos autores pesquisados, apontar os pontos convergentes e divergentes encontrados em seus estudos, bem como assinalar o que porventura tenha sido negligenciado sobre o assunto em destaque.

Pretendemos, também, realizar um meticuloso levantamento dos jogos pedagógicos, que são utilizados como fatores catalisadores da aprendizagem, abordando a maior divergência, quanto ao emprego das atividades lúdicas na educação, que envolve, segundo SANTOS, a questão da diretividade ou não-diretividade da ação docente ou o paradoxo da frivolidade ou da seriedade, como acentua BROUGÉRE.

Nesta análise dos jogos pedagógicos, é nosso propósito verificar quais obstáculos e dificuldades epistemológicas podem ser enfrentadas com as suas adequadas utilizações.

Desta forma, procuraremos comprovar a eficácia da utilização desses jogos pedagógicos na aprendizagem operatória dos números inteiros, mediante a utilização abordagens qualitativas.
 

METODOLOGIA:

A metodologia utilizada ao longo da investigação proposta neste projeto de pesquisa compreende, em um primeiro momento, a realização uma revisão bibliográfica abrangendo a questão por ele delimitada, procurando obter um retrato da situação atual do problema levantado e um panorama sobre os trabalhos já realizados nessa área de interesse. Para tanto, pretendemos vasculhar todos os livros, artigos, monografias e teses, a que tivermos acesso, que tratem sobre os aspectos históricos do desenvolvimento dos conceitos e propriedades dos números inteiros, ao longo do seu processo histórico de construção formal, bem como sobre o ensino-aprendizagem dos números inteiros e a utilização dos jogos nesse processo.

Na seqüência, efetuaremos um estudo aprofundado das operações mentais, do ponto de vista cognitivo, requeridas para a compreensão dos números inteiros, através de um mergulho nas teorias epistemológicas. Procuraremos, também, verificar os vínculos existentes entre as operações lógicas e infralógicas, do ponto de vista cognitivo, necessárias à aprendizagem operatória dos números inteiros e os obstáculos epistemológicos presentes ao longo desse processo.

A partir daí, efetuaremos a coleta e análise crítica dos jogos didáticos disponíveis no mercado, destinados à aprendizagem operatória dos números inteiros. Um cuidado metodológico, a ser nesse momento considerado, é que o estudo de cada um desses jogos pressupõe a exploração e a análise de todas as suas regras, objetivos e intenções explícitas e implícitas, o que só é possível jogando, discutindo e criticando as suas várias etapas.

Por fim, procederemos à utilização de abordagens qualitativas para comprovar ou não a eficácia da utilização dos jogos didáticos como fator de superação dos diversos bloqueios de natureza epistemológica, presentes na aprendizagem operatórias dos números inteiros. Como métodos de coletas de dados, utilizaremos a observação e a entrevista.

Inicialmente, faremos uso da observação planejada, controlada e sistemática de situações de ensino-aprendizagem dos inteiros, em várias escolas da cidade, públicas e particulares, previamente contactadas. Esta nossa preocupação com o largo espectro de escolas a serem observadas reside na necessidade de obtermos uma amostragem bem significativa, em turmas de sextas-séries, cujos professores utilizem ou não os jogos pedagógicos neste contexto. Procuraremos determinar com antecedência, "o quê?", " o por quê?", "o como?" , "o quanto?" observar e o grau de participação do observadores. Durante essas observações, efetuaremos, como lembra ANDRÉ, registros descritivos, separando os detalhes relevantes dos triviais, por meio de anotações organizadas.

Nesta parte descritiva das observações, tomaremos como diretrizes gerais as sugestões de BOGDAN e BILKEN, mencionadas por ANDRÉ & LÜDKE (1986) , quais sejam: a descrição dos sujeitos, a reconstrução dos diálogos, a descrição dos locais, a descrição dos eventos especiais, a descrição das atividades e os comportamentos dos observadores. Na parte reflexiva das anotações, baseados na experiência de trabalho de campo destes mesmos autores, incluiremos as nossas "especulações, sentimentos, problemas, idéias, impressões, pré-concepções, dúvidas, incertezas, surpresas e decepções."

Em relação às entrevistas com alunos, professores, pais, orientadores educacionais e outras pessoas da comunidade escolar, empregaremos as do tipo semi-estruturadas, com o entrevistado ficando livre para discorrer sobre a questão da utilização dos jogos pedagógicos. Essas entrevistas serão cuidadosamente registradas, por meio de anotações ou, caso se faça necessário, gravadas em fita cassete.

De posse desse manancial de dados coletados durante a revisão da literatura relativa à aprendizagem operatória dos números inteiros, abarcando desde a história da matemática à educação matemática, passando pelas teorias cognitivas e epistemológicas, bem como as observações e entrevistas, procuraremos trabalhar o material coletado, através de suas leituras e releituras, buscando classificar e organizar os dados registrados, destacando as descobertas mais originais.

Desta forma, pretendemos identificar as várias concepções sobre a utilização dos jogos pedagógicos na aprendizagem operatória dos números inteiros, verificando suas oscilações entre a seriedade e a frivolidade.
 

BIBLIOGRAFIA:
 

ANDRÉ, Marli E.D. & LÜDKE, Menga. Pesquisa em Educação: Abordagens  Qualitativas.
    São Paulo: EPU, 1986.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1998.

BROUGÉRE, Giles. Jogo e Educação. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997

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GLAESER, G. Epistemologia dos Números Negativos. Boletim GEPEM, Rio de  Janeiro, 17:29-124,1985.

HEFEZ, Abramo. Curso de Álgebra, vol 1. Rio de Janeiro: IMPA, 1993.

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KISHIMOTO, Tizuko.(org.). Jogo, Brinquedo, Brincadeira e a Educação. São Paulo:  Cortez, 1996.

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PIAGET, Jean. A Epistemologia Genética. São Paulo: Martins Fontes, 1990.

PIAGET, Jean. A formação do Símbolo na Criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1975.

SANTOS, Santa Marli P. (org.) Brinquedoteca: O lúdico em diferentes contextos.  Petrópolis, RJ: Vozes, 1997.

SMITH, David Eugene. History of Mathematics, vol II. New York: Dover, 1958

TEIXEIRA, Leny R.M. Aprendizagem Operatória de Números Inteiros: Obstáculos e Dificuldades, in  Proposições,
    Vol 4, número 1 [10], março 1993.

VYGOTSKY, L.S. A Formação Social da Mente. São Paulo: Martins Fontes, 1994.

WINNICOTT, A.W. O Brincar e a Realidade. Rio de Janeiro: Imago, 1975.