PROJETO DE PESQUISA

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológica
Departamento de Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Estágio de Redação em Ensino de Matemática
Professor: Antônio Carlos Brolezzi
Aluno: Luís Carlos Figueiredo Brandão

APRENDIZAGEM OPERATÓRIA DOS NÚMEROS INTEIROS :

História, Obstáculos Epistemológicos e Estratégias Didáticas

O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma em um longo desenvolvimento histórico.
A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar e desenvolvimento da Matemática.

As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática, por outro, determinaram a criação e a expansão do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número natural. Todas as nações que produziram formas de escrita introduziram o número natural e promoveram a criação de um sistema de contagem. O progresso subseqüente do conceito de número realizou-se devido ao próprio desenvolvimento da Matemática.

A construção formal dos números inteiros processou-se ao longo de vários séculos. Durante centenas anos, eles foram considerados como

"entes intuitivos cujas propriedades, como a comutatividade, a associatividade, a distributividade da multiplicação em relação à adição, eram vistas como inerentes à sua própria natureza, prescindindo de demonstrações." [Hefez, 1993, p. 22]. Os usos mais antigos dos números negativos são encontrados, na Antigüidade, juntos aos povos egípcios, babilônios, hindus e chineses. Os chineses estavam acostumados a calcular com a utilização de varetas, sendo as vermelhas para os números positivos e as pretas, para o negativos. Todavia, não aceitavam a idéia do número negativo como solução de uma equação.

Os matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. Destacam-se os trabalhos de Brahmagupta (628), em que se encontra, pela primeira vez a aritmética sistematizada dos números negativos [Boyer, 1998, p. 150]. Brahmagupta advogava o uso dos números negativos para representar pertences ou dívidas. São curiosas as suas regras para as operações com inteiros:

" a soma de dois pertences é um pertence, a soma de duas dívidas é uma dívida, a soma de um pertence e uma dívida é a sua diferença, a soma de zero e uma dívida é uma dívida e o produto de duas dívidas é um pertence." [Guelli, 1998, p. 57] O primeiro registro referente aos números negativos, na civilização ocidental, localiza-se, de acordo com Smith [1958, p.258], no livro Arithmetica de Diofante de Alexandria (século III), que considerava a equação 4x + 20 = 4 como um absurdo, pois sua solução é "-4".

Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Michael Stifel (1544) recusou-se a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi" [Smith, 1958, p. 260] . Já Cardano (1545) considerava a possibilidade de os números negativos serem raízes de uma equação, embora chamando-os de "numeri ficti" [Smith. 1958, p. 260].

Outras contribuições à essa construção formal dos números inteiros encontram-se nos trabalhos de al-Khowarizmi (séc. IX), Fibonacci (séc. XIII), Chuquet (séc. XV), Bombelli (séc. XVI), Viète (séc. XVII), Harriot (séc. XVII), Fermat (séc. XVII) e Hudde (séc. XVII).

A partir do final do século XVII e ao longo do século XVIII, a criação e divulgação do Cálculo Diferencial e Integral passou a exigir uma fundamentação mais rigorosa do conceito e propriedades dos números inteiros. Essa árdua e apaixonante missão foi empreendida por vários matemáticos do século XIX, destacando-se Weierstrass, Cantor, Dedekind, Peano e Haenkel, que estabeleceram as propriedades axiomáticas da caracterização dos números inteiros como um domínio de integridade, quais sejam:

associatividade da adição;
comutatividade da adição;
existência de um elemento neutro para a adição;
existência do elemento simétrico;
associatividade da multiplicação;
comutatividade da multiplicação;
existência de um elemento neutro para a multiplicação;
distributividade da multiplicação em relação à adição;
inexistência de divisores de zero.

Ao longo do desenvolvimento da formalização matemática dos números inteiros, verifica-se uma série de dificuldades e obstáculos de natureza epistemológica. Estas dificuldades, de certa maneira, manifestam-se em sala de aula, quando, na 6ª série do ensino fundamental, são introduzidos as idéias, conceitos e propriedades operatórias dos números inteiros.

Glaeser [1985] aponta e identifica, nesse percurso de formalização axiomática dos números inteiros, uma série de obstáculos de natureza epistemológica, tais como:

inaptidão para manipular quantidades isoladas;
dificuldade em dar um sentido a quantidades negativas isoladas;
dificuldade em unificar a reta numérica, manifesta pela diferenciação qualitativa entre quantidades positivas e negativas, pela concepção da reta como mera justaposição de duas semi-retas opostas, ou ainda por desconsideração do caráter simultaneamente dinâmico e estático dos números;
ambigüidade de dois zeros: zero absoluto e zero como origem;
dificuldade de afastamento de um sentido "concreto" atribuído aos seres numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição formal;
desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo multiplicativo, ao qual não se aplica.

Relativamente à aprendizagem operatória dos números inteiros, o principal referencial teóricos utilizado pela maioria dos autores é a Teoria da Equilibração das Estruturas Cognitivas, de Piaget.

Na perspectiva piagetina do desenvolvimento cognitivo, uma das principais razões para a dificuldade de assimilação dos números inteiros talvez resida no fato de os alunos da sexta série encontrarem-se na transição entre o estágio operatório concreto e o operatório formal.

De maneira apurada, Teixeira [1993, p. 62-67] detalha as operações mentais, do ponto de vista cognitivo, requeridas para a compreensão dos números inteiros. Entre elas, pode-se destacar: a conscientização da existência dos números negativos, que conduz, por abstração reflexiva, à idéia de que são menores que os positivos; a descoberta , por meio de abstrações reflexivas e generalizações indutivas e dedutivas, da existência de um ponto onde positivo e negativo originam-se; a ampliação do significado do zero, a partir da concepção da ausência de quantidade, chegando-se à sua diferenciação na concepção de zero de origem; compreensão de que os números negativos e positivos representam estados e operações; ampliação dos conceitos de adição e subtração, bem como a reconstrução do conceito de operador multiplicativo; concepção dos inteiros com base na negatividade ou realidade reversíveis, a que se chega por abstrações reflexivas e generalizações completivas.

Uma série de estratégias didáticas são utilizadas na superação dos obstáculos apresentados pelos alunos, sejam de natureza ontogenética (internos ao sujeito) ou epistemológica (intrínsecos ao conteúdo). Procura-se, assim, estabelecer uma ponte entre o conhecimento espontâneo e o conhecimento formal, de tal forma que os próprios alunos consigam estabelecer as propriedade operatórias dos números inteiros, encontrando respostas para os quatro maiores problemas da construção dos números inteiros, conforme assinala Baldino [1998, p. 4]:

Como tirar um número maior de um menors? 2 - 6 = ...?
Como subtrair um número negativo? -(-5) = ...?

O que "menos ... vezes alguma coisa" significa? (-4) x ...?
Por que menos vezes menos é igual a mais? (-3)(-1) = +3 ...?

Vergnaud [1985], em sua Teoria dos Campos Conceituais, propõe que um conceito não pode ser reduzido à sua definição e que é através das situações e dos problemas a resolver que um conceito adquire significado para um aluno. Assim, só faz sentido trabalhar com algum conteúdo matemático se existe um contexto onde tal conteúdo adquira significado. É realmente difícil que um aluno de sexta-série consiga assimilar as regras dos sinais sem que lhe sejam propostas situações e contextos significativos.

Modelos ligados a conteúdos de experiências vividas pelo aluno em seu dia-a-dia, podem ser vistos como ponto de partida para a criação de contextos significativos para a aprendizagem operatória dos números inteiros. Nessa perspectiva Brolezzi [1991, p. 8], acentua que

" o caminho parece ser o de seguir a chamada via semântica, isto é, trabalhar com contextos fortes nos quais as grandezas negativas e positivas surgem significativas, e depois chegar às operações por via também da contextualização." Assim, geralmente, se faz uso pedagógico de modelos de natureza física, tais como temperaturas maiores ou menores que zero, altitudes acima e abaixo do nível do mar, deslocamento no espaço e no tempo representados por pontos em uma reta numérica, datas antes e depois de Cristo, fuso horário, aumento ou diminuição de velocidade ou de tamanho, ou de natureza contábil, como a compreensão entre saldos positivos e negativos em transações bancárias, lucros e prejuízos em transações comerciais.

Uma outra estratégia didática que propicia a criação de contextos altamente significativos para a aprendizagem dos números inteiros reside na utilização pedagógica de jogos tradicionais e computadorizados. Os jogos podem ser considerados como um importante meio educacional, pois propiciam um desenvolvimento integral e dinâmico nas áreas cognitiva, afetiva, lingüistica, social, moral e motora, além de contribuir para a construção da autonomia, do espírito crítico, da criatividade e cooperação entre as crianças e adolescentes. Assim, os jogos, através de sucessivas desequilibrações e acomodações, podem contribuir sobremaneira para a construção, pelo aluno, das regras operatórias do conjunto dos números inteiros.

Para justificar a adoção dos jogos como estratégia para construção de conhecimentos matemáticos, Borin [1996, p.9] argumenta sobre a

"possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo que os alunos fazem Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos de aprendizagem." Como exemplo de jogos didáticos utilizados na aprendizagem operatória dos números inteiros, podemos citar:

Jogo do Saci, no qual são propostas atividades de operações com números inteiros através dos movimentos do Saci sobre uma reta graduada [Vila, 1995, p. 101-118];

A Cruzeta, em que se encontra atividades de multiplicação e divisão dos números inteiros com movimentos de marcadores em uma cruzeta [Vila, 1995, p. 109-135];
O Jogo das Borboletas, que é um jogo para se trabalhar a adição e subtração de inteiros [Baldino, 1998, p. 7];
O Jogo de Perdas e Ganhos, por meio do qual se pode trabalhar com o problema didático de como subtrair um número negativo [Baldino, 1998, p. 7];
O Jogo do Caracol, que é um jogo de seguir pegadas, no qual se objetiva resolver o problema didático do significado da multiplicação por um número negativo e o problema do produto de dois negativos [Baldino, 1998, p. 8];
O Jogo dos Positivos e Negativos, em que se usam fichas, azuis e brancas, e os cartões com ordens para receber/pagar fichas [Lellis et al, 1992, p. 25-27].

Concluindo, acreditamos que a visão do desenvolvimento histórico dos números inteiros, das dúvidas, incertezas e perplexidades pelas quais passaram os matemáticos, professores e estudantes ao se depararem com os negativos, possibilita uma compreensão aprofundada dos obstáculos epistemológicos presentes ao longo de sua aprendizagem operatória. Concordamos com Baldino [1990, p. 7], que acentua a necessidade da construção de uma metodologia que "parta do pressuposto de que os obstáculos enfrentados pelos alunos são semelhantes aos encontrados pelos pensadores matemáticos ao longo do tempo".

Desta forma, faz-se necessário adotar estratégias didáticas que permitam o enfrentamento e superação desses obstáculos, através da elaboração uma seqüência didática para o ensino-aprendizagem dos números inteiros que contemple a utilização de de situações problemas relacionadas ao cotidiano dos alunos e jogos didáticos adequadamente selecionados ou por eles mesmos elaborados, propiciando a criação de contextos altamente significativos para a aprendizagem operatória dos números inteiros.

Procedendo-se à introdução das operações por meio dessa estratégia didática, poderemos fazer com que os próprios alunos assimilem e construam as regras dos sinais, dos casos aditivos e multiplicativos, objetivo maior do trabalho com o conjunto dos números inteiros.

Referências Bibliográficas:

BALDINO, R.R. Metodologia de Jogos para os Números Inteiros. (mimeo). Rio Claro, SP, 1990.

BALDINO, Roberto Ribeiro. On the epistemology of Integers. (mimeo). Rio Claro, SP, 1998.

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática.
São Paulo: IME-USP;1996.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1998.

BROLEZZI, Antônio Carlos. Positivos e Negativos: História e Significado. (mimeo). CAEM/IME-USP, 1991.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1997.

GLAESER, G. Epistemologia dos Números Negativos. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, 17:29-24,1985.

GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998.
(Coleção Contando a história da matemática - vol 1).

HEFEZ, Abramo. Curso de Álgebra, vol 1. Rio de Janeiro: IMPA, 1993.

LELLIS, Marcelo Cestari et al. Números Negativos. São Paulo: Atual, 1992.
(Coleção "Pra que serve matemática?")

LINARDI, Patrícia Rosana & BALDINO, Roberto Ribeiro. More Games for Integers. (mimeo). Rio Claro, SP, 1995.

PIAGET, Jean. A Epistemologia Genética. São Paulo: Martins Fontes, 1990.

SMITH, David Eugene. History of Mathematics, vol II. New York: Dover, 1958

SOUZA et al. Games for Integers: Conceptual or Semantic Fields?. (mimeo). Rio Claro, SP, 1995.

TEIXEIRA, Leny R.M. Aprendizagem Operatória de Números Inteiros: Obstáculos e Dificuldades.
In Proposições, Vol 4, número 1 [10]. Campinas, SP: Fae/Unicamp, março 1993.

VERGNAUD, Gerard. Conceitos e Esquemas numa Teoria Operatória da Representação.
In Psycologie Française, 30 (3-4). (traduçao mimeo), 1985.

VILA, Maria do Carmo e LIMA, Reginaldo. Números Inteiros. (mimeo). Belo Horizonte, MG, 1995.

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