APLICACIÓN
DE LAS DERIVADAS EN
Cuando las empresas o compañías calculan sus costos, suelen evaluar
también los costos marginales. El costo marginal es uno de los conceptos más
importantes de la microeconomía, es el costo de producir una unidad adicional.
El costo marginal y se
define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una
unidad más del producto. Este costo se conoce como el costo marginal (CM). En
formula:
Si la función de costo de producir las cantidades x e
y de dos bienes está dado por
C=Q(x,y), entonces las derivadas parciales de c son las funciones de costo
marginal, así:
∂C/∂x= Costo Marginal con respecto a x ∂C/∂y= Costo Marginal con respecto a y
Ejemplo: En la función de costo de producción dos
artículos x e y es:
C=Q(x.y)= x² y ² - 3xy+y+8.
Determine el costo marginal con respecto a “x” y
el costo marginal con respecto a “y”
Desarrollo:
∂C/∂y = ∂Q(x,y)/∂x = 2x²y – 3x=
Costo Marginal con respecto a x
∂C/∂y = ∂Q(x,y)/∂x = 2x²y –
3x+1= Costo Marginal con respecto a y
Si x =3 y
= 4 se tiene ∂C/∂x = 84, ∂C/∂y = 64, esto
quiere decir, si “y” se mantiene constante e igual a 4, al producir una unidad
adicional de “y” aumentará 64 unidades monetarias al costo total.
Ejemplos:
Una empresa hotelera
tiene la función de costos totales: C=
9,17.27+0.058556x, donde x es el número de servicios vendidos de un año.
Calcule la razón de cambio promedio y diga cuál es la interpretación económica
de esta fracción.
Solución
C(x+∆x)=9,119.27+0.058556(x+∆x)=9,119.27+0.058556x+0.05856∆x
∆C = 9119.27+058556x+0.58556∆x-(9119.27+0.58556x)
∆x ∆x
∆C = .058556∆x = 0.58556 es el costo marginal (
el costo de producir una unidad más)
∆x ∆x
ANALISIS MARGINAL:
El término Análisis
Marginal, en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio
en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de
sus variables.
Supongamos
que la producción diaria Q, de una fabrica depende de la cantidad K de capital
invertido (medido en unidades de 1.000 dólares) en la fabrica y equipamiento, y
también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horas-trabajador)
En
economía las derivadas parciales ∂Q / ∂k y ∂Q / ∂L se conoce como los
productos marginales del capital y del
trabajo respectivamente.
∂Q / ∂L es el producto marginal del
trabajo, que es el ritmo al que cambia la producción Q con respecto a la mano
de obra L para un nivel fijo k de capital invertido, por lo tanto ∂Q / ∂L es aproximadamente el cambio en
la producción que resulta ei el capital invertido
se deja fijo y el trabajo se aumenta en una hora-trabajador.
En
forma similar, ∂Q / ∂k es el
Producto Marginal del capital, que es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el
tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el capital invertido se aumenta
en 1.000 dólares.
Se estima que la producción semanal
de una cierta fabrica viene dada por la función f(x,y)=1200+500y+x²y-y³
unidades, donde x es el número de trabajadores expertos e es el número de trabajadores inexpertos
empleados en la fábrica, actualmente la fuerza de trabajo está formada por 30
trabajadores expertos y 60 trabajadores inexpertos. Use el Análisis Marginal
para estimar el cambio de producción semanal que resultaría de la adición de un
trabajador experto, más si el número de trabajadores inexpertos no cambia.
Desarrollo:
∂f(x,y) / ∂x= 1200+2xy-3x² es la derivada
parcial y representa el ritmo de cambio de la producción con respecto al número de trabajadores
expertos, para cualquier valor de x
e y.
Esto
es una aproximación al número de unidades adicionales que se producirán cada
semana si el número de trabajadores expertos aumenta de x a x+1
mientras que el número de trabajadores inexpertos se deja fijo en y.
En
particular, si la fuerza de trabajo se aumenta de 30 trabajadores expertos y 60
inexpertos a 31 expertos y 50
inexpertos, el cambio resulta en la producción es aproximadamente.
∂f(30,60) / ∂x= 1200+2(30)(60)-3(30)²=2100
PRODUCTIVIDAD MARGINAL
La
productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se ve afectada
principalmente por dos factores: el monto del capital invertido en la planta
productiva y la
mano de obra empleada en la fabricación del artículo.
Sean: Q
la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo).
K el monto del capital invertido en la planta
productiva ($).
L el número de unidades de mano de obra (en
horas-hombre o en $ por salarios pagados).
Se establece
entonces una función de dos variables: Q(K, L),
llamada función de producción, donde K y L son los insumos de producción, como
por ejemplo:
Productividad marginal del capital: Es la
derivada parcial de Q con respecto a K, es decir ∂Q / ∂K, y significa
el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de capital
invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversión en mano de
obra.
Productividad marginal de la mano de
obra:
Es la derivada parcial de Q con
respecto a L, ∂Q / ∂L, y
significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de
mano de obra, manteniendo fija la inversión del capital de la planta
productiva.
Ejemplo: Para la función
Q(K,L) = 8L+4K+3LK-L²-2K², calcular las productividades marginales del capital
y de la mano de obra para L = 3 y K = 5.
Solución: ∂Q / ∂K= 4+3L-4K =
4+3(3) – 4(5) = 4+9-20 = -7 unidades / unidad adicional de capital.
∂Q / ∂L = 8+3K-2L= 8+3(5) -2(3) -8+15-6 = 7 unidades /
unidad adicional de mano de obra.
DEMANDAS
MARGINALES
Ciertos
productos en el mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el
precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro.
FUNCIONES DE
Productividad puede definirse
como la relación entre la cantidad de bienes y servicios producidos y la
cantidad de recursos utilizados. En la fabricación la productividad sirve para
evaluar el rendimiento de los talleres, las máquinas, los equipos de trabajo y
los empleados.
Productividad en términos de
empleados es sinónimo de rendimiento. En un enfoque sistemático decimos que
algo o alguien es productivo con una cantidad de recursos (Insumos) en un
periodo de tiempo dado se obtiene el máximo de productos.
La productividad en las máquinas
y equipos esta dada como parte de sus características técnicas. No así con el
recurso humano o los trabajadores. Deben de considerarse factores que influyen.
Además de la relación de cantidad
producida por recursos utilizados, en la productividad entran a juego otros
aspectos muy importantes como:
Calidad: La calidad es la
velocidad a la cual los bienes y servicios se producen especialmente por unidad
de labor o trabajo.
Productividad = Salida/ Entradas
Entradas: Mano de Obra, Materia prima, Maquinaria, Energía, Capital.
Salidas: Productos.
Misma entrada, salida mas grande
Entrada mas pequeña misma salida
Incrementar salida disminuir entrada
Incrementar salida mas rápido que la entrada
Disminuir la salida en forma menor que la entrada.
Si
La cantidad z de un artículo se produce utilizando las cantidades x e y
respectivamente de dos factores de la producción, en tal caso la función de
producción final z cuando se usan de
manera simultánea las cantidades x
e y de los insumos respectivamente, para que la
representación z=f(x,y) tenga significado en economía, las cantidades
de los insumos pueden venir sin restricción por lo menos en el intervalo que
interesa y que la función de producción sea continua.
PRODUCTIVIDAD MARGINAL:
La productividad marginal muestra el aumento de producción obtenido
al agregar una unidad más del factor de producción que se analiza en cada caso.
Si z=f(x,y) es la función
de producción, entonces la derivada parcial ∂z/∂x es la productividad marginal de x, mientras
que la derivada parcial ∂z/∂y es la productividad marginal
de y.
Si la función de
producción esta dada por: z²+4x²+5y²-12xy = 0
en la cual z es la cantidad producida, x e y son las cantidades de los insumos: Hallar la
productividad marginal.
Desarrollo: Por calcular ∂z/∂x = productividad de x, y ∂z/∂y = productividad marginal de y.
Las derivadas parciales
las calcularemos por derivación implíicta.
Sea F(x,y,z) = z²+4x²+5y²-12xy, de donde.
∂F / ∂x = 8x-12y
∂F / ∂x =
10y-12x
∂F / ∂z = 2z
La productividad marginal
de x
es: ∂z/∂x = ∂F / ∂x = 8x-12y = 6y -4x
∂F / ∂z 2z z
La productividad marginal
de y es: ∂z/∂y = ∂F / ∂x = 10y-12x = 6x -5y
∂F / ∂z 2z z
INGRESOS.
El Ingreso
Total de la empresa es el resultado de multiplicar el precio por
el número de unidades producidas y vendidas.
El Ingreso
Marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una
unidad de producto más. Como esta unidad es vendida al precio de mercado, para
una empresa en libre competencia el ingreso marginal es igual al precio.
Los Ingresos Medios
son el resultado de dividir los ingresos totales entre el número de unidades
producidas; si todas las unidades se han vendido al mismo precio es evidente
que el ingreso medio será igual al precio.
FUNCIONES CRECIENTES Y
DECRECIENTES.
Una
función y = f (x) se llama Función Creciente
si y aumenta (algebraicamente) cuando x aumenta Una función y = f(x) se
llama Función Decreciente si y disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta.
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES
Aplicando la derivada de una función,
determinamos los intervalos en que la es creciente o decreciente; ahora la
utilizaremos para analizare los puntos en que la función pasa de creciente a
decreciente o viceversa
Si f es una función cuyo valor es c,
se tiene que:
a) f(c) se llama un Valor Máximo de f si existe un
intervalo (a, b) que contiene a c tal que f(x) < f(c)
para todo x en dicho intervalo, es decir, si f(c) es mayor que
cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen
inmediatamente en el intervalo dado
f(c) se llama un Valor
Mínimo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c
tal que f(x) > f(c) para todo x en dicho intervalo, es
decir, si f(c) es menor que uno cualquiera de los valores de f(x)
que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado
Ejemplo. Sea f la
función definida por f(x) = x2 - 4x + 5
Entonces f'(x) = 2x - 4. Como f'(2)
=
EXTREMO ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.
- La función f(x) tiene un máximo absoluto en x0 si f(x)£f(x0)
para todo xÎDf
- La función f(x) tiene un mínimo absoluto en x0 si f(x)³f(x0)
para todo xÎDf
EXTREMO RELATIVO O LOCAL DE UNA FUNCIÓN.
- La función f(x) tiene un máximo relativo en x0 si
existe un valor h >0 tal que f(x)£f(x0) para todo xÎ]x0-h,x0+h[
Ì Df
- La función f(x) tiene un mínimo relativo en x0 si
existe un valor h >0 tal que f(x)³f(x0) para todo xÎ]x0-h,x0+h[
Ì Df
INTERVALOS
1. La refrigeración
industrial de los alimentos permite controlar la velocidad de ciertas
actividades químicas y enzimáticas y el ritmo de crecimiento y metabolismo de
ciertos microorganismos tóxicos.
El cuadro siguiente
muestra la relación entre la temperatura medida en grados Celsius y el
crecimiento microbiano.
|
Grados C |
Proceso |
|
35 |
de crecimiento rápido |
|
25 |
|
|
15 |
|
|
10 |
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
-10 |
sin crecimiento |
|
-15 |
|
|
-25 |
muerte lenta |
Fuente: A. Coenders,
«Química culinaria», Editorial Acribia, España, 1996
I. expresa esta
información utilizando desigualdades
II. expresa esta
información utilizando intervalos
III. propone hipótesis de lo que sucede en los extremos de los
intervalos
IV. propone hipótesis de lo que sucede en el intervalo de 0° a 5°
Celsius.
2. De los siguientes números: 0; -3,5; Ö2 ; 1,4; 30; propone un
intervalo que:
I. contenga a todos
estos números
II. contenga sólo Ö2
III. no contenga
ninguno de estos números
IV. contenga sólo los
positivos
V. contenga sólo los
negativos
En cada caso, compara con tus compañeros y analiza el número de
respuestas posibles y correctas, graficar algunos de los intervalos obtenidos
en la recta numérica.
3. Graficar las rectas
y = 2 x – 7 e y = – 3 x + 1
En cada gráfico marca los valores para y que corresponden al intervalo
de valores para x dado por -2 £ x < 1. Expresalo utilizando desigualdades y
notación de intervalos. Compara ambas respuestas.
¿Cuál es el valor máximo y mínimo que toma el valor de y en ambos
casos?
¿A qué valor de x se asocia el valor mínimo de y en cada caso?
Compara la distancia entre los valores máximo y mínimo de y que se asocien
a los intervalos para x, I 1 = [ 2,5 ] e I 2 = [ -2,1 ] en cada una de las
rectas.
Propone un intervalo de valores para y ;
determina el intervalo correspondiente para x.
4. Un túnel de una determinada carretera mide
http://www.economia.unam.mx/sua/site/materia/sem2/taller2/Tema4/ejerTema4.html
http://www.eumed.net/cursecon/5/productividad.htm
http://www.eumed.net/cursecon/5/Ingresos.htm
http://html.rincondelvago.com/derivadas.html