Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

 

 

 

         Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x®a⁺) y límite por la izquierda (x®a^-). Por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

 

 

 

 

 

 

 

 

         Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x tiende a a, se dice que su límite es infinito (+¥, si el crecimiento es en sentido positivo, y -¥, si lo es en sentido negativo). Análogamente, también es posible definir límites de una función cuando el valor de x tiende a +¥ o a -¥

         Entonces, se dice que una función f (x) tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es x = a, cuando al menos existe uno de los límites laterales de la función en el punto a y dicho límite es +¥ o -¥

         De igual forma, la función f (x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y == b, cuando existe al menos uno de los límites de la función en el caso de que x tienda a +¥ o -¥ y dicho límite sea b

 Asíntotas horizontales de una función

 

 Asíntotas verticales de una función

 

 

 

 

 

                    El concepto de la derivada se originó, en parte por el problema geométrico de encontrar la recta tangente a una curva dada en un punto cualquiera, y también en parte para describir el movimiento de una partícula

 

                    En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la anti-derivada, el inverso de la derivada.)

 

         El concepto de derivada está intimadamente ligado al del límite.

         Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :

         El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .

Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) : 

Por lo tanto tendremos que :

Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :

         Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)

La ecuación de la recta tangente vendrá dada por:

Donde la pendiente es:

Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto:

 

 

        

         Aplicación para optimizar ingresos, costos y utilidades. Costo medio, marginal mínimo.

       El análisis de la eficiencia de la  empresa tiene 3 variables de interés: el ingreso total (It), el costo total (Ct) y el beneficio total  (B). Visto en términos algebraicos esto se expresa como It = Ct + B.

Estas relaciones absolutas en el corto plazo se expresan como:

It = PQ donde P es el precio unitario y Q el volumen de ventas.

         Ct = Cf + CvQ donde Cf es el costo fijo que engloba los costos disociados de la escala productiva, el Cv es el costo variable que son precisamente los costos implicados directamente en la producción y varían en directa proporción a la escala de la producción, y finalmente se tiene que B representa el total de los beneficios.

         Los ingresos en el corto plazo se expresan como una línea que nace del origen y se eleva según el volumen de ventas, la pendiente de la línea la establece el precio unitario que es una constante, tal como se aprecia en la siguiente gráfica:

        INGRESO TOTAL EN EL CORTO PLAZO

En el largo plazo la línea se vuelve una curva tipo potencia donde el valor exponencial es positivo pero menor a cero, nace del origen y crece como una parábola:

        INGRESO EN EL LARGO PLAZO

La expresión gráfica de los costos como relación lineal se expresa como:

        COSTOS EN EL CORTO PLAZO

         Si no se consideran los costos fijos la función de costos inician de cero y la pendiente esta dada por los costos variables, ahora cuando se consideran los costos fijos la línea de costos totales en el corto plazo inicia ordenada al origen pero no en el origen o valor cero. Los costos fijos están dados como constantes por lo que se representan como una línea horizontal.

         En el largo plazo estas relaciones no son lineales sino de potencia. Su expresión gráfica es la siguiente:

         La línea que nace del origen no contiene costos fijos, y la paralela ordenada al origen los considera. Las constantes a y b son parámetros que se calculan estadísticamente con base a la escala productiva y la escala de costos fijos y variables para cada nivel de producción que exprese la empresa.

         En el corto plazo las relaciones entre el ingreso total, el consto total y el beneficio son las siguientes expresadas en la gráfica que sigue:

        INGRESO, COSTO Y BENEFICIO EN EL CORTO PLAZO

         La pendiente del ingreso total esta dado por el precio (P), y la pendiente del costo total esta dado por el costo variable (Cv), siendo el P mayor a Cv entonces ambas líneas en algún punto se cruzan, siendo este punto el de equilibrio entre el ingreso total y el costo total, donde el beneficio es cero. La sombra roja indica el área de las pérdidas y el área verde es de beneficios.

         Siendo el ingreso medio igual al precio unitario se tiene entonces que P = a + bQ y el It = PQ por lo que PQ = aQ - bQ2<

         Donde la pendiente es negativa a razón de que el nivel de precios está en inversa proporcionalidad de las ventas para el caso de un bien normal. Dada esta relación entonces se puede representar esta relación entre el ingreso total, el costo total y el beneficio como se observa en al gráfica siguiente:

        INGRESO, COSTO Y BENEFICIO EN EL LARGO PLAZO

         La línea punteada indica donde se logra el máximo beneficio, que es la cantidad QB donde la mayor distancia entre la curva del ingreso total y el costo total se da en dicho nivel de ventas, que es precisamente donde se maximiza el beneficio. Las relaciones entre el ingreso, el costo y el beneficio como valores absolutos quedan expresados en estas líneas, ahora queda analizar las relaciones medias y marginales que hablan de los puntos de venta críticos para la empresa en materia del punto de la mínima pérdida, el punto de equilibrio, el equilibrio de mercado y el óptimo de la empresa, pero estos son temas de otro apartado.

                      COSTOS MEDIOS Y MARGINALES

         El Costo Marginal: Es el cambio del costo total resultante del incremento de una unidad producida. Es el costo adicional de producir una unidad más de producción

         La relación de costos medios y marginales necesariamente se obtienen del costo total de tal manera que:

Costo Medio (CMe) = Ct / Q

Costo Marginal (CMg) = dCt / dQ

Costo Medio Variable (CMeV) = [Ct - Cf] / Q donde Cf es el costo fijo.

         De esta manera se obtiene las funciones que describen las siguientes relaciones en la gráfica:
 

         De esta manera las intersecciones A y B dan puntos que son críticos para la empresa. Por decir, el punto A es el punto de la mínima pérdida pues es el nivel de producción Q que como ventas absorbe los costos fijos. Es también el punto donde inicia la oferta de la empresa por eso es que la parte de la curva de los costos marginales (Cmg) que va de dicho punto a la derecha de la gráfica presenta la oferta de la empresa. Esta valor Q se obtiene de la igualación entre el costo marginal y el costo medio variable (CMg = CMeV).

         El punto B es la intersección entre el costo marginal (CMg) y el costo medio total (CMe), donde el valor de producción Q indica el nivel de ventas que iguala los costos totales a los ingresos obtenidos, por lo que ni se gana ni se pierde, la razón de beneficios es cero (0). Obsérvese el gráfica contigua.

         Con esto se tiene entonces como las relaciones absolutas entre el ingreso y el costo tienen sus reflejos críticos en las relaciones medias y marginales, al menos en este apartado se tiene lo concerniente a los costos.

 

Bibliografía

 

http://www.mailxmail.com/curso/empresa/economiaadministrativa/capitulo14.htm

 

http://www.mailxmail.com/curso/empresa/economiaadministrativa/capitulo7.htm

 

http://www.mailxmail.com/curso/empresa/economiaadministrativa/capitulo13.htm

 

http://www.definicion.org/costo-marginal