REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD YACAMBU.

PREGADO: LICENCIATURA EN CONTADURÍA PÚBLICA

ASIGNATURA: ESTADISTICA INFERENCIAL

Participante: LUCI RAMÍREZ

Probabilidad y Experimento Aleatorio

Probabilidad:

La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho, hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad:

.- Los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio.

.- Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Concepto Clásico de la Probabilidad:

El primero en dar una definición clásica de probabilidad fue Jakob Bernoulli en 1713, reformulada después por Abraham De Moivre de la siguiente manera:

"...una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción expresa la probabilidad de que ocurra el suceso".

El enfoque clásico de la probabilidad está basado en la suposición de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se calcula de la siguiente manera:

Probabilidad = Número de posibles resultados del evento / Número total de resultados posibles del experimento

Ejemplo:

El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba?

Las caras del dado están numeradas del 1 al 6, entonces hay una posibilidad de un total de seis de que el número 2 quede hacia arriba:

P (cae 2) = 1/6 = 0,166

La principal dificultad que presenta esta interpretación de la probabilidad es que se basa en sucesos equiprobables, siendo fácil para problemas sencillos, como los de cartas, dados o urnas, es casi imposible para problemas más complejos.

Concepto Frecuentista de Probabilidad:

Bernoulli resolvió la cuestión de cómo hallar la probabilidad de ocurrencia de un suceso aun siendo imposible contar los casos favorables:

"Aquí hay otro camino disponible para alcanzar el resultado deseado. Lo que no se puede hallar a priori se puede obtener a posteriori, es decir, mediante la observación múltiple de los resultados de pruebas similares…"

De esta manera, Bernoulli introdujo el concepto de probabilidad "frecuentista" o "estadística": asignar como probabilidad de un suceso el resultado que se obtendría si el proceso se repitiera en condiciones similares un número grande de veces.

La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En términos de fórmula:

Probabilidad = Número de veces que sucedió el evento en el pasado / Número Total de observaciones

Ejemplo:

Se quiere saber si una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos la fórmula:

P (cae águila) = 25 / 60 = 0,41

Algunas dificultades que presenta este enfoque de la probabilidad son que no dice cual es el número "grande" de observaciones necesario, o que se entiende por condiciones similares, porque si las condiciones son las mismas los resultados serán también los mismos.

Concepto Subjetivo de Probabilidad

En el segundo cuarto del siglo XX surgió una nueva interpretación, llamada ‘subjetiva’, según la cual la probabilidad mide el grado de creencia de un individuo en la verdad de una proposición, variando entre 0 (el individuo cree que es falso) a 1 (cree que es cierto). Esta interpretación fue propuesta por primera vez por el filósofo Frank P. Ramsey. Para los subjetivistas la probabilidad de un suceso debe variar en función de la nueva información recibida respecto del suceso.

Según este enfoque la probabilidad de que un evento en particular suceda es asignada basándose en cualquier información disponible, como intuición, opiniones etc.

Ejemplo:

Hay una probabilidad del .80 de que el América le gane a las Chivas.

Hay una probabilidad del .90 de que las ventas mejoren el año próximo.

Hay una probabilidad del .70 de sacar un 10 en el examen.

Experimento aleatorio

Es el experimento que se caracteriza porque su desarrollo no es previsible con certidumbre.

Un experimento es un experimento aleatorio si puede dar lugar a varios resultados y de antemano no se puede saber cuál de ellos va a ocurrir. Por ejemplo, lanzar un dado, extraer una bola de una urna, etc.

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

· Es posible conocer previamente todos los posibles resultados (espacio muestral) asociados al experimento.

· Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.

· Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un número ilimitado de veces.

Ej.: El lanzamiento de una moneda observando la sucesión de caras y cruces que se presentan

Espacio muestral y eventos.

Espacio Muestral:

Es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra E.

Ejemplo

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Para que el espacio muestral esté bien definido, cada punto muestral (resultado posible del experimento) queda descrito por un sólo punto del espacio.

En el caso de la moneda, los resultados posibles son cara y sello, por lo tanto, su espacio muestral es E = {cara, sello}

En el caso de arrojar un dado: E = {1,2,3,4,5,6}

Si se tiran dos dados distintos, su espacio muestral puede ilustrarse mediante el siguiente diagrama:

En este caso el espacio muestral está formado por 36 elementos.

Eventos:

En la teoría de la probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo.

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.

Se llama evento a todo subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, si se tiran dos dados, un evento puede ser que la suma de las puntuaciones sea igual a seis.

Un evento se denomina cierto cuando siempre ocurre, siendo igual al espacio muestral, por lo que su probabilidad es uno.

Un evento se denomina imposible cuando nunca ocurre, y por lo tanto su probabilidad es cero.

Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es uno.

Probabilidad de ocurrencia de un evento.

La probabilidad de un evento es un valor que nos permite determinar qué tan posible es que un evento ocurra o no.

La probabilidad de que un evento A ocurra se anota P(A) y se calcula mediante el cuociente:

P (A) = Número de casos favorables a A / número de casos totales.

Esto es válido, eso sí, cuando en el experimento aleatorio todos sus resultados son equiprobables.

Decimos que un evento es más probable ó tienen mayores posibilidades, si es más frecuente. Así podemos definir la probabilidad de ocurrencia de un evento, como la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese evento.

Sin embargo, cuando trabajamos con frecuencias relativas, normalmente existe alta variación, a menos que el experimento se repita un alto número de veces, en donde las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.

Para ejemplificar lo anterior, se simuló el experimento consistente en arrojar una moneda al aire y registrar el número de veces que cayó "águila". En los primeros 20 intentos, se obtuvieron 6 águilas y 14 soles; en los siguientes 20 intentos se obtuvieron 8 águilas y 12 soles. Sin embargo, con los valores acumulados, se fue observando una estabilización de las frecuencias. El Cuadro 1 muestra un resumen de los datos, y su representación gráfica se muestra en la Figura 1.

Cuadro 1. Frecuencia relativa del evento "águila", en el experimento consistente en lanzar una moneda al aire.

N° de lanzamientos	Frecuencia relativa de águila
20	0.30
40	0.35
60	0.37
100	0.41
200	0.49
300	0.51
400	0.51

Figura 1. Frecuencia relativa del evento "águila", en el experimento consistente en lanzar una moneda al aire.

A esta estabilización de la frecuencia relativa de un evento, cuando el experimento se repite un gran número de veces se le denomina "Regularidad Estadística". En esto se basa la "Ley de los Grandes Números", que indica que si se incrementa el número de veces que se repite un experimento, la proporción de ocurrencia de un evento tiende a acercarse a la probabilidad teórica.

En el ejemplo anterior, la probabilidad teórica es 0.5, valor al que el evento "águila" se acerca al aumentar el número de repeticiones del experimento.

Así, entenderemos que la probabilidad de un evento A es la cantidad P(A), que es la frecuencia relativa estabilizada del evento A.

Definición axiomática de Probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.

La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

AXIOMA 1: La probabilidad del suceso seguro vale 1. P ( Ω ) = 1

AXIOMA 2: La probabilidad de cualquier otro suceso S es no

negativa. P (S) ≥ 0.

AXIOMA 3 : La probabilidad de la unión de dos sucesos, A y B,

Mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabili-

dades. Si A Ç B =Æ, entonces P(AÈB) = P(A) + P (B)

Generalizando este último axioma:

La probabilidad de la unión de un conjunto infinito numerable de sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades.

P (ÈA_i) = å P (Ai) = P (A1) + P (A2) + ...........

Teorema básicos de Probabilidad

Los tres teoremas básicos que hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy fueron:

Teorema 1: Regla de Adición

La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación:

P (A U B ) = P (A) + P (B) – P (A B)

Ejemplo:

Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es: S= {1,2,3,4,5,6}

Si el evento A es cae un número par

A = {2, 4, 6}

Si el evento B es cae un número menor de 3

B = {1, 2}

¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos?

La probabilidad de A y la probabilidad de B es:

P (A) = 3/6 = 0,50 P (B) = 2/6 = 0,33

Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unión, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unión para calcular la probabilidad de la intersección.

En este caso queremos saber la unión, entonces es necesario conocer la intersección, que es " número par y menor de 3".

A B = { 2 } entonces P (A B ) = 2/6 = 0,33

Si aplicamos la regla de adición:

P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A B)

P(A U B) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67

Teorema 2: Regla de Complementación

La probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada por la siguiente ecuación:

) = 1 – P ( A )

Si A es cae un seis, entonces la probabilidad de que no caiga seis es:

) = 1 – 0.16 = 0.84

Teorema 3: Regla de Diferenciación

La probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por

P(A - B) = P(A) – P(A B)

Si el evento A es cae un número par y si el evento B es cae un número menor de 3, entonces la probabilidad de que caiga par pero no menor de tres es:

P(A - B) = P(A) – P(A B)

P(A - B) = 0.50 – 0.16 = 0.33

Y la probabilidad de que caiga menor de tres pero no par es:

P (B – A) = P (B) – P (A B)

P (A-B) = o,33 – 0,16 = 0,17

Probabilidad en espacios muéstrales finitos:

Llamaremos espacios muéstrales finitos a los espacios muéstrales que provengan de experimentos para los cuales sólo existe un número finito de resultados posibles, así W = { w₁, w₂, ... , w_n }

En un experimento aleatorio con un espacio muestral finito, una distribución de probabilidad se especifica asignando una probabilidad p_i a cadaresultado w_i Î W, p_i = P ( { w_i } ) . Debe cumplirse:

a) p_i³ 0

b) P ( W ) = 1 ¾¾® å p_i = 1

En estas condiciones, si A = { w_i1, w_i2, ... , w_ir }, se tiene P(A) = å p_ij

Métodos de Conteo. Regla de multiplicación.

Método de Conteo:

Los métodos de conteo se utilizan básicamente para encontrar los casos favorables y además es útil para saber la cantidad de casos totales.

Regla de multiplicación

Sean A y B eventos cualesquiera, y además independientes entre si, entonces P(AΩB) = P(A)P(B), esto ultimo se conoce como regla multiplicativa.

Permutaciones:

Una permutación es un arreglo de un conjunto de N objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos N objetos es N!; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los N elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los (N -1) restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto. N. (N-1)……..1 = N!

El número de permutaciones posibles al tomar R objetos del conjunto de N elementos será, siguiendo el mismo razonamiento,

$\displaystyle N\cdot(N-1)\cdot\dots\cdot(N-R+1)=\frac{N!}{(N-R)!} \;.$

Ejemplo:

1) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología (B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

En principio se puede elegir cualquiera de los 3 para colocar en primer lugar:

1^a	2^a	3^a
A
B
C

Una vez elegido uno de ellos, para ocupar el primer lugar, quedan 2 posibles para ubicar

Se ve entonces que hasta ahora hay 3.2 maneras distintas de ordenar los libros. Pero una vez dispuestos las 2 primeros queda unívocamente determinado cuál debe ser el tercero.

O sea que el número total de maneras posibles de ordenar los 3 libros se puede calcular como: 3.2.1 = 6

Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Una combinación es una selección de R objetos sin importar el orden en que se escojan:

$\displaystyle C_R^N = \frac{N!}{(N-R)!\;R!} \equiv \left(\! \begin{array}{c} N R \end{array} \!\right) \;.$

El factor R! del denominador descuenta aquellas configuraciones que tienen los mismos elementos y sólo difieren en su ordenamiento.

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

No influye el orden en que se colocan.
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Existen dos tipos combinaciones:

Ø Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ø Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplo:

Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar?

Se trata de formar todas las ternas posibles, sin repetir elementos en cada una, y sin importar el orden de los elementos.

Si quisiéramos formar todas las ternas posibles, sin repetición de elementos en cada una, para elegir el primer elemento hay 21 posibilidades, para el segundo quedan 20 posibilidades, y para el tercero 19 posibilidades, por lo tanto el número de ternas posibles está dado por: 21* 20*19 = 7980

Pero en este caso cada terna aparece repetida en distinto orden, por ejemplo tendremos: ABC, ACB, BAC, CAB y CBA. Son seis ternas con los mismos elementos, que está dado por el factorial de 3.

Por lo tanto el total de ternas obtenido 7980, hay que dividirlo por 6 =

7980 / 6= 1.330

Se pueden organizar las guardias de 1.330 maneras diferentes

Este es un problema de combinación. Si llamamos m al número de elementos del conjunto y n al número que integrará cada uno de los conjuntos que debemos formar, de modo que los elementos de cada uno sean diferentes y no importa el orden, se tiene la fórmula:

C_{m,n =}m!/ (n!. (m-n)!)

Muestreo y Muestras.

Muestreo:

En estadística un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a partir de una población.

Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio fiable (que represente a la población), debe cumplir ciertos requisitos, lo que lo convertiría en una muestra representativa.

En el muestreo, si el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la población, se puede extraer dos o más muestras de la misma población.

Muestras:

Una muestra estadística es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística.

Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma.

Distinguimos entre muestras ordenadas y muestras no ordenadas.

Ø .Una muestra ordenada es aquella donde el orden de extracción importa.

Ø Una no muestra ordenada es aquella donde el orden no importa.

Ø Muestras ordenadas con reemplazo: es aquella donde realizamos extracciones de la población total (permitimos muestras con elementos repetidos).

Ø Muestras ordenadas sin reemplazo: es aquella donde realizamos extracciones en la población de forma que los elementos extraídos no se regresan a la población.

Sucesos Dependientes e Independientes

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Sucesos Independientes:

Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P (B /A) = P (B) ó P (A/B) = P(A)

Sucesos Dependientes:

Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P (B/A) ≠ P(B) óP(A/B) ≠ P(A)

Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

P(A B) = P(A) · P (B)

Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

P(A B) = P(A) · P (B)

P(A C) = P(A) · P(C)

P (B C) = P (B) · P(C)

P(A B C) = P(A) · P (B) · P(C)

Probabilidad Condicional:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, B \left| \, A \, \, \right. </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) </pre> } { <pre> \mathrm{P} \left( \, A \, \right) </pre> }$ Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotamos por P (B l A) al cociente

Ejemplo

.- Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos

A = "la suma de los puntos es siete" y

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso B l A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3, 4) y (4,3). Por tanto,

P (B l A) = 2/6 = 1/3

Sucesos Mutuamente Excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro.

· P (AÇB) =P (AyB) =P (AB) =0

Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes

Distribución de Probabilidad.

Una distribución de probabilidad la podemos concebir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Dada una variable aleatoria $x$ la función de distribución de probabilidad $F (x)$ asigna a un evento definido sobre $x$ una probabilidad.

Entonces la probabilidad $P( X \le x )$ es: $F(x) = P( X \le x )$

Una función de distribución ha de cumplir 3 condiciones:

1. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ y $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$

2. Es continua por la derecha

3. Es monótona no decreciente

La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad $f (x)$ . Es decir, se calcula directamente según:

-Si $x$ es una variable aleatoria discreta

$F(x) = \sum_{t=-\infty}^{x}f(t)$

-Si $x$ es una variable aleatoria continua: $F(x) = \int_{t=-\infty}^{x}f(t)$

Distribución Normal. Tabla de Distribución.

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.

Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

La función de densidad está dada por:

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \,\!$ donde $\mu \,\!$ (Μ) es la media y $\sigma \,\!$ (sigma) es la desviación estándar ( $\sigma^2 \,\!$ es la varianza).

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

Caracteres morfológicos de individuos
Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco
Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos
Caracteres psicológicos como el cociente intelectual
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadísticos muéstrales como la media.

La gráfica de una distribución normal es la conocida campana de Gauss.

La función de densidad de la distribución normal sigue la ecuación que determina la conocida campana de Gauss, cuya expresión matemática es la siguiente:

Tabla de Distribución.

§ Tabla 1. Distribución Normal

§ Tabla 2. Distribución t de Student

§ Tabla 3. Distribución X²

§ Tabla 4. Distribución F de Fisher

§ Tabla 5. Probabilidades Binomiales

§ Tabla 6. Probabilidades de Poisson

§ Tabla 7. Tabla de Números al Azar

Distribución Binomial.

$\!b(x;n,\theta)={n \choose x}\theta^x(1-\theta)^{n-x}$ En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes, cada uno de los cuales tiene probabilidad $θ$ de ocurrir. (La distribución de Bernoulli es una distribución binomial con n = 1). Su distribución de probabilidad está dada por:

para $\!x = 0, 1, 2,...,n$ , siendo $\!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$ las combinaciones de $n$ en $x$ ( $n$ elementos tomados de $x$ en $x$ )

$\!b(5;12,0.5)={12 \choose 5}0.5^5(1-0.5)^{12-5}=0.19$ Por ejemplo, la distribución binomial se usa para encontrar la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En este caso se tiene que $\!x = 5, n = 12, \theta = 0.5$ y resulta:

Su media y su varianza son:

$\!\mu = n\theta$

$\!\sigma^2 = n\theta(1-\theta)$

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial

Parámetros de la Distribución Binomial

Distribución Poisson.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).

Ø Propiedades

El valor esperado de una variable aleatoria con distribución Poisson es igual a λ y también lo es su varianza. Los momentos más altos de la distribución Poisson son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen un sentido combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución Poisson es 1, entonces la fórmula de Dobinski dice que el enésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

Las medidas de tendencia central de una variable aleatoria de distribución Poisson con un λ no entero es igual a $\scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor$ (o suelo de λ), el cual es el número entero más grande menor o igual a λ. Esto también es expresado como la función parte entera de λ. Cuando λ es un entero positivo, las medidas de tendencia central son λ y λ − 1.

Sumas de las variables aleatorias de distribución Poisson: Si $X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i)\,$ sigue una distribución Poisson con parámetro $\lambda_i\,$ y $X i$ son independientes entonces $Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,$ también sigue una distribución Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros del componente.

$\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} f(k;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} {\lambda^k e^{-\lambda} \over k!} =e^{\lambda(e^t-1)}.$ La función generadora de momentos de la distribución Poisson con valor esperado λ es:

Todas las acumulaciones de la distribución Poisson son iguales al valor esperado λ. El enésimo momento factorial de la distribución Poisson es λⁿ.

La distribuciones Poisson son funciones probabilísticas infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler dirigida entre Poi(λ₀) y Poi(λ) está dada por:

$\Delta(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).$

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Ejemplo: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución a:

x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 2,…….., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718