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Tipos de diagramas de Venn

Diagrama de dos conjuntos

Conjuntos A y B.

Considérese el ejemplo a la
derecha: supóngase que el conjunto A (el círculo anaranjado) representa,
por ejemplo, a todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el
conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden
volar. El área donde ambos círculos se superponen (que recibe el nombre de intersección
entre A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las
criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen sólo dos piernas
motrices.

Imaginemos ahora que cada
tipo distinto de criatura viva está representado con un punto situado en alguna
parte del diagrama. Los humanos y los pingüinos estarían dentro del
círculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se superpone
con el círculo azul (el conjunto B), ya que ambos son bípedos y no
pueden volar. Los mosquitos, que tienen seis piernas
motrices y pueden volar, estarían representados con un punto dentro del círculo
azul fuera de la intersección A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estarían representados
por un punto dentro de la intersección A - B. Cualquier tipo de criatura
que ni tuviera dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las ballenas o las serpientes), estaría representado
mediante puntos fuera de ambos círculos.

El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la
relación entre el conjunto A y el conjunto B. El área combinada
de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B.
La unión en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos
piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez. El área donde los conjuntos A
y B se solapan se define como la intersección de A y B. Contiene
todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A
y a B, es decir, que tienen dos piernas y pueden volar.

Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres
conjuntos A, B y C.

Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 4 áreas diferentes (la cuarta
es la exterior), que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:

A (dos patas)

B (vuelan)

A y B (dos patas y
vuelan)

A y no B (dos patas y
no vuelan)

no A y B (más o
menos de dos patas, y vuelan)

no A y no B (ni
tienen dos patas ni vuelan)

A veces se incluye un rectángulo
alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre
de universo de discurso (antes se creía en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand
Russell descubrió que con tal concepto el sistema es inconsistente, véase paradoja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La
definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama
sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada
por el propio Venn, se atribuye habitualmente a
Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos

Los diagramas de tres
conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn
en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A,
B y C definen siete (7) áreas diferentes, cuyas posibles uniones
suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.

Más de tres conjuntos

La dificultad de
representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn
(o cualquier otra representación gráfica) es evidente. Venn
sentía afición a la búsqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que
definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo
de su vida diseñó varias de estas representaciones usando elipses, así como
indicaciones para la creación de diagramas con cualquier cantidad de curvas,
partiendo del diagrama de tres círculos.

Diagramas de Venn de Edwards

A. W. F. Edwards diseñó representaciones
para diagramas de Venn de más de tres conjuntos,
proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar fácilmente tres conjuntos
tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x=0, y=0 y z=0).
Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura
de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden
proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje,
con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas
mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn
que hoy adorna el comedor de su colegio.

Diagrama para tres conjuntos.

Diagrama para cuatro conjuntos.

Diagrama para cinco conjuntos.

Diagrama para seis conjuntos.

Otros diagramas

Los diagramas de Edwards
son topológicamente equivalentes a los
diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basaban en
polígonos intersecados, con cantidades crecientes de lados. Phillip Smith ideó diagramas similares de n conjuntos
usando curvas senoidales en ecuaciones como y=sin(2ix)/2i, 0 ≤i ≤n-2.
Por su parte, Lewis Carroll diseñó un diagrama de cinco
conjuntos.

Véanse también: Carta de Smith y Diagrama de Carroll.

Diagramas similares

Diagramas de Euler

Diagrama de Euler.

Los diagramas o esquemas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Los diagramas
de Euler permiten representar inclusión de una clase en otra. Por ejemplo, en
el representado a la derecha un conjunto (el A) está totalmente incluido
en otro (el B), mientras que otro (el C) no tiene ninguna
relación con los dos anteriores.

Los diagramas de Euler
anteceden a los diagramas de Venn,7 pero son distintos. Fueron
introducidos por Euler para ayudar en la comprensión. John Venn intenta rectificar algunas deficiencias a través de los Diagramas de Venn.

Supongamos que el conjunto A
representa todos los tipos de queso que pueden encontrarse en el mundo, y el B representa a todos los
comestibles existentes en el mundo.
Según el diagrama, se ve claramente que todos los quesos son comestibles, pero
no todos los comestibles son quesos. Si definimos el conjunto C como el
de las cosas hechas de metal, el diagrama nos permite representar de forma
evidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no están hechos de
metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.

Diagrama de Johnston

Diagrama de Johnston para la
expresión ni A ni B son ciertas.

Los diagramas de Johnston se usan para ilustrar
afirmaciones lógicas como ni A ni B son ciertas, y son una forma visual
de ilustrar tablas de verdad. Pueden ser idénticos en
apariencia a diagramas de Venn, pero no representan
conjuntos de elementos.

Mapa de Karnaugh

Artículo principal: Mapa de Karnaugh

Los Mapas de Karnaugh o Diagramas de Veitch
son otra forma de representar de forma visual expresiones de álgebra booleana.

Diagrama de Peirce

Los diagramas de Peirce, creados por Charles Peirce, son extensiones de los
diagramas de Venn que incluyen información sobre
afirmaciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones.8