M "O filho vivia às custas (!) do pai.''

J "O filho vivia à custa do pai.''

J "O filho vivia a expensas do pai.''

À custa de, com custa no singular, é a forma registrada pelos dicionários, portanto a aceita pela norma culta. Mas atenção para não confundir com a expressão sinônima a expensas de (ou às expensas de), sempre no plural.