Population

Exponentialfunktion, Logistisches Wachstum und Bevölkerung auf der Erde

Thomas Anton Gobold, Jänner 2003

http://www.geocities.com/lightvolcano/study/population.html

Inhalt

1. Exponentielles und logistisches Wachstum

2. Daten zur Bevölkerungsentwicklung der Menschen auf der Erde

3. Aufgabensammlung

4. Texte und Materialien aus dem internationalen Netz

1. Exponentielles und logistisches Wachstum

Ein klassisches Rätsel: In einem Teich wachsen Seerosen derartig rasch, sodass sich diese Seerosen jeden Tag verdoppeln. Nach 50 Tagen ist die Hälfte des Teiches mit Seerosen bedeckt. Wann ist die gesamte Teichoberfläche bedeckt?

Dieses Rätsel behandelt zwei in der Mathematik und der Wachstumsökologie wichtige Aspekte.

Einerseits werden wir hier mit einer Art von Wachstum vertraut gemacht, bei der die Verdopplungsdauer von Spezies immer gleich lang ist. Ein solches Wachstum nennt man exponentiell. Der absolute Zuwachs in einem Zeitintervall ist immer direkt proportional der vorhandenen Menge, der relative Zuwachs in einem gleich langen Zeitintervall ist demnach immer konstant (beim exponentiellen Wachstum, ohne Beachtung weiterer Nebenbedingungen).

Die folgende Exponentialfunktion erfüllt diese Anforderungen

exponentielles Wachstum:

N(t) = N₀ * e^lt

dN/dt = l * N₀ * e^lt = l * N(t)

Bemerkung: Noch etwas verallgemeinerter lautet eine Gleichung die diese Art des Wachstums beschreibt N(t) = C * N₀ * e^lt . Es wäre noch zu zeigen, dass diese Gleichung auch die einzige Lösung ist, die dieses Wachstum (die Bedingung dN/dt = l * N) erfüllt.

Ein zweiter, ebenfalls dem Rätsel innewohnender Aspekt ist jener der begrenzten Ressourcen! Was passiert, wenn der ganze Teich mit Seerosen belegt ist? Ideales exponentielles Wachstum einer Art führt auf Dauer zu einer unrealistisch unendlich hohen Anzahl von Spezies.

Die Exponentialfunktion kann nur einige wenige Vorgänge in der Natur annähernd korrekt wieder geben. Beispielsweise werden durch ein Medium durchgehende Lichtstrahlen vom Medium teilweise absorbiert. Die Intensitätsabnahme der Strahlen ist exponentiell und wird mit dem Lambert-Beer-Gesetz beschrieben. Der Zerfall radioaktiver Teilchen erfolgt ebenfalls exponentiell, es müssen jedoch genügend viele Teilchen vorhanden sein (239g Plutonium enthalten 6*10²³ Teilchen und erfüllen diese Voraussetzung; bei sehr wenigen Teilchen kann keine Aussage erfolgen, da ein einzelnes Teilchen spontan und ohne äußere Einwirkung zerfällt, bei einem großen Ensemble an Teilchen ist eine stochastische Beschreibung der Lebensdauer möglich und somit eine Betrachtung mit exponentiellem Zerfall korrekt). Wachstumsprozesse von Individuen in einem Anfangsstadium haben in der Regel im Vergleich zur Individuenzahl noch reichlich Nahrung und Ressourcen, sodass hier, während des Anfangsstadiums noch von einem exponentiellen Wachstum gesprochen werden kann. Mit zunehmender Individuenzahl kommt es jedoch wegen der letztlich doch begrenzten Ressourcen zu einem immer stärker werdenden Verdrängungswettbewerb, die Entwicklung der Population kann nun nicht mehr exponentiell beschrieben werden. Ein realistisches Wachstumsmodell hängt somit von Ressourcen ab und kann daher auf Dauer nur zu einem endlichen Wert führen. Wie sieht eine mathematische Beschreibung einer Population unter Zugrundelegung beschränkter Ressourcen aus?

Wir wollen also, dass der relative Zuwachs, also [ N(n+1) - N(n) ] / [ N(n) ] mit dem Annähern an die Kapazität K einer Population gegen Null geht. Dieser relative Zuwachs muß daher proportional dem Ausdruck K - N(n) sein. Das ergibt folgenden Ansatz:

[ N(n+1) - N(n) ] / [ N(n) ] = C * [ K - N(n) ]

Umformungen und das Setzen von CK:=l führen zu

[ N(n+1) - N(n) ] / [ N(n) ] = l * [ 1 - N(n)/K ]

Funktionen, bei denen Populationen betrachtet werden, sind vom Ansatz her zunächst diskret. Bei hoher Individuenzahl ist es jedoch hilfreich und annähernd auch richtig, diese Funktionen auf Stetigkeit zu ergänzen. Sodann kann die Differentialrechnung benützt werden. Differentiell betrachtet ergibt sich nun folgender Ansatz:

(dN/dt) * 1/N = l*(1-N/K)

dN/dt = l * N * ( 1 - N/K )

K ist dabei die maximal mögliche Anzahl der Spezies (Kapazität). Es ist ersichtlich, dass (solange Wachstum vorliegt und daher N(t) notwendig kleiner als K ist), dass die relative Wachstumsrate gegen Null geht, wenn N gegen K konvergiert. Eine Gleichung die diesem Wachstum entspricht ist folgende

Logistisches Wachstum

Ansatz: (dN/dt) * 1/N = l*(1-N/K)

Gleichung: N(t) = [ K * N₀ * e^lt ] / [ K + N₀ * ( e^lt - 1 )] "logistische Gleichung"

Eigenschaften dieser "logistischen Gleichung":

Für im Vergleich zur Kapazität K sehr kleinen Individuenzahl N ist der Zuwachs annähernd exponetiell.

N konvergiert asymptotisch gegen K. Falls eine Entwicklung betrachtet wird, bei welcher N(t) größer als K ist, fällt die Individuenzahl und konvergiert ebenfalls gegen K.

Die Wachstumskurve aufgrund der logistischen Gleichung hat einen Wendepunkt, zu diesem Zeitpunkt (des Wendepunkts) ist die relative Zunahme am größten.

2. Daten zur Bevölkerungsentwicklung der Menschen auf der Erde
Während für die Vergangenheit und Gegenwart reichlich Datensätze vorhanden sind, aus denen das Bevölkerungswachstum mathematisch interpretiert werden kann, ist es schon wesentlich schwieriger für die Zukkunft Aussagen zu treffen oder langfristige Prognosen bzw. Trends zu erstellen. Derartigen Voraussagen liegen in der Regel Annahmen oder Abschätzungen über künftige Ereignisse bzw. Entwicklungen mit mehr oder minder komplexen Szenarien zugrunde. Dabei werden Aspekte wie Fruchtbarkeit, Säuglingssterblichkeit, Empfängnisverhütung, Altersstruktur eines Volkes, regionale Unterschiede, Ernährung, Politische Entwicklungen und Kriege beachtet. Die gängigen Prognosen mußten in den letzten Jahren nach unten revidiert werden, die Erdbevölkerung wächst also doch etwas langsamer an als noch vor einigen Jahren angenommen. Nachstehende Tabellen geben einige Daten aus der Vergangenheit, der Gegenwart und der Zukunft wieder:

Zeit	Bevölkerung (in Mrd, 10⁹)
1000 v.Chr.	0.1
1	0.2
1500	0.5
1800	1
1927	2
1960	3
1974	4
1987	5
1999	6

Prognosen !	Bevölkerung (in Mrd, 10⁹)
2050	8.9
2150	11.5

Tabelle 1, Entwicklung der Bevölkerung auf der Erde, Die Daten entstammen unterschiedlichen Quellen:
http://www.census.gov/ipc/www/worldpop.html enthält Daten bis 2050 (Stand Oktober 2002),
http://www.hmg-koeln.de/aktiv/mathe/weltbevo.htm,
Internet-Magazin für Geo- und Naturwissenschaften,
http://www.signale.de/arecibo/35_1.html enthält Daten ab 10000 v.Chr.)

Staat	Einwohnerzahl 2000	Bevölkerungswachstum im Jahr (Durchschnittswerte für 2000-2010)
Australien	19.165	0.9
Österreich	8.131	0.2
Bangladesh	130.407	2.0
Kanada	31.278	0.9
China	1262	0.6
Ägypten	70.492	1.7
Äthiopien	62.651	1.8
Deutschland	82.188	0.0
Irak	22.676	2.7
Israel	5.842	1.3
Japan	126.7	0.0
Kenya	30.31	1.0
Madakaskar	15.506	3.0
Mexiko	100.305	1.4
Schweiz	7.262	0.2
USA	282.3	0.9

Tabelle 2, Bevölkerung und Wachstum um 2000 in ausgewählten Ländern, (Quelle: http://www.census.gov/ipc/www/idbsum.html , US census bureau United States Department of Commerce )

Staat	Bevölkerung 2000 (in Millionen)	Bevölkerung 2001 (in Millionen)	Bevölkerung 2002 (in Millionen)	Bevölkerung 2003 (in Millionen)
Österreich	8.131	8.151	8.170	8.188
China	1262	1271	1279	1286
Deutschland	82.19	82.28	82.35	82.40
Schweiz	7.262	7.283	7.302	7.319
USA	282.3	285.0	287.7	290.3

Tabelle 3,Bevölkerungsentwicklung von 2000 bis 2003 in einigen ausgewählten Ländern, Quelle wie Tabelle 2. Die in Tabelle 2 berechneten Wachstumswerte sind Durchschnittswerte für den Zeitraum 2000-2010 und stellen daher keinen Widerspruch zu den Daten in Tabelle 3 dar.

3. Aufgabensammlung

Aufgabe 1: Leite die logistische Gleichung nach der Zeit ab. Setze in den Ansatz (dN/dt) * 1/N = l*(1-N/K) auf der rechten Seite für N die logistische Gleichung ein und zeige, dass der so gewonnene Ausdruck und die durch Differenzieren gewonnene Ableitung äquivalent sind.

Aufgabe 2: Wodurch unterscheidet sich das Wachstum der Seerosen im Rätsel vom logistischem Wachstum?
Lösung: Es ist ideales exponetielles Wachstum, welches plötzlich, bei vollständiger Belegung des Teiches endet!)

Aufgabe 3: Lese dir Text 1 im Anhang durch! Ging der Verfasser auf Nebenbedingungen ein? Welche stark vereinfachenden Annahmen liegen all denen im Text 1 angeführten Berechnungen zugrunde? Diskutiere mit deinen Klassenkameraden, welchen natürlichen Gefahren oder Feinden der Mensch heute noch ausgesetzt ist.
Lösung: Der Verfasser ging auf keine Nebenbedingungen oder weitere Effekte ein. Alle Berechnungen beruhen auf über Jahrtausende hinweg konstant bleibende Verhältnisse, welche es im Allgemeinem in der Natur nicht gibt. Ebenso erfolgte keine Eingehen auf Verbesserungen, welche die Zivilisation gelegentlich mit sich bringt (Kindersterblichkeit, Älter werden und längere Verfügbarkeit für die Fortpflanzung....). Im üblichen Sinne hat der Mensch heute keine natürlichen Feinde mehr. Ein Ersatz hiefür mögen vielleicht Krankheiten sein, welche die Zivilisation oder Überbevölkerung mit sich bringt. Gefahren wie Kriege oder Verbrechen verdanken wir der modernen Zivilisation!

Aufgabe 4: Drücke aus der logistischen Gleichung die Größen l, t, N₀ und K jeweils explizit aus!
Lösung: l = (1/t)*ln[(KN-NN₀)/(KN₀-NN₀)],
t = (1/l)*ln[(KN-NN₀)/(KN₀-NN₀)],
N₀ = (NK)/[ e^lt*(K-N) +N ],
K = [NN₀*( e^lt-1 )]/[N₀ * e^lt - N]

Aufgabe 5: Benütze die Gleichung für exponentielles Wachstum und drücke den Parameter l explizit aus. Setze aus Tabelle 1 die Datensätze für 1500 und 1800 ein und berechne l. Mache dassselbe mit jeweils aufeinanderfolgenden Paaren von Datensätzen ab 1800 d.h. für (1800,1927), (1927,1960), (1960,1974), (1974,1987), (1987,1999), (1999,2050) und (2050,2150).
Lösung: l = (1/t) * ln [N/N₀]. Von 1500 bis 1800 wurde die Bevölkerung verdoppelt, (N/N₀)=2, t=300, daher beträgt l=0.0023. Die anderen Werte betragen 0.0055, 0.012, 0.021, 0.017, 0.015, 0.0077, sowie 0.0026 für den Zeitraum 2050 bis 2150!

Aufgabe 6: Betrachte die letzte Aufgabe und deren Lösung! Was könnten Gründe für ein Ansteigen des Parameters l sein? Was könnten Gründe für ein Abfallen sein?
Lösung: Anstieg: Enorme Verbesserung der Lebensbedingungen!
Reduktion: Beschränkte Ressourcen!

Aufgabe 7: Nehme l=0.02 sowie aus Tabelle 1 die Datensätze für 1960 und 1999, setze in die logistische Gleichung ein und berechne K!
Lösung: K=39 Milliarden

Aufgabe 8: Nehme l=0.02 sowie aus Tabelle 1 die Datensätze für 2050 und 2150, setze in die logistische Gleichung ein und berechne K!
Lösung: K=12.05 Milliarden
Bemerkung: Für die maximale Bevölkerungszahl der Menschen auf dieser Erde liegen unterschiedliche Prognosen vor. Mäßigere Szenarien lassen auf Werte von ca. 12.3 Milliarden schließen, das Anwachsen der Bevölkerung auf der Erde endet regional zu unterschiedlichen Zeiten, letztlich (den Prognosen nach) jedoch ca. im 22. Jahrhundert!

Aufgabe 9: CHINA Für den Staat China liegen folgende Bevölkerungsdaten und Prognosen (in Millionen) für den Zeitraum 2000 bis 2050 vor:

Jahr	2000	2010	2020	2030	2040	2050
Bevölkerung (in Millionen)	1262	1343	1424	1459	1452	1418
Wachstum p.a. (in%)	1.0, 1990-2000	0.6, 2000-2010	0.6, 2010-2020	0.2, 2020-2030	0.0, 2030-2040	-0.2, 2040-2050

a) Schätze einen geeigneten Wert für den Paramter l ab: 1950 lebten in China 563 Millionen Menschen, im Jahr 2000 waren es 1262 Millionen, nehme diese beiden Werte und t=50 und setze in die Gleichung für das exponentielle Wachstum ein und berechne so l!
b) Nehme für China den soeben berechneten Wert für l, K=1460 Millionen sowie den Datensatz für 1950 als N₀, setze in die logistische Gleichung ein und prognostiziere die Bevölkerung in China für 2050. Wiederhole diese Rechnung mit den Daten für 2000!
c) Warum weichen die Ergebnisse von dem in der Tabelle dargestellten Wert für 2050 ab?

Lösung: l=0.016, die Prognosen aus der Gleichung betragen 1105 und 1363 (in Millionen), in den tabellierten Prognosen gehen zusätzliche Annahmen über Geburtenkontrolle und Empfängnisverhütung ein! Darüber hinaus stellt die logistische Gleichung eine streng monotone Funktion dar, während die realen Bevölkerungsprognosen für China ein lokales Maximum vorsehen.

Aufgabe 10: Die Dinosaurier gingen, einer blieb Die australische Kragenechse trägt ihren Kragen fast immer flach angelegt am langgestreckten Körper. Während der Balz oder bei Gefahr kann sie diese prachtvolle, bunt gefleckte Halskrause blitzartig aufklappen ( aus http://home.pages.at/alfred/reptilien/reptil6.htm). Auf einer kleinen Insel leben 10000 Exemplare dieser Kragenechse. Hervorgerufen durch Umweltgifte der Zivilisation läßt ein plötzlicher Klimawechsel nur noch Lebensraum für 1000 Individuen dieser Art. 2 Jahre nach dem Klimawechsel leben von den 10000 Kragenechsen nur noch deren 5000. Mit wievielen Kragenechsen ist unter Annahme eines logistischen Wachstums nach 10 Jahren sowie nach 20, 50 oder 100 Jahren zu rechnen? Nach welchem Zeitraum ist der Bestand auf ein Viertel der ursprünglichen Größe reduziert?
Lösung: l = (1/2) * ln [45/40] ~ 0.05889. N(10) = 1998, N(20) = 1383, N(50) = 1050, N(100) = 1002. Nach 6 Jahren und 11 Monaten sind es ca. 2500 Kragenechsen.

Aufgabe 11: Lese Text 4 und Text 6 im Anhang. Was ist jeweils die zentrale Aussage? Unterstreiche in beiden Texten die erwähnten mathematischen Begriffe und ziehe die einzelnen angeführten Rechenbeispiele inhaltlich gedanklich nach!
Lösung: Der Autor von Text 4 führt Begründungen und Analysen an, denen zufolge zu viel Menschen auf der Erde leben. Der Autor von Text 6 führt Begründungen und Analysen an, denen zufolge dieser Pessimismus nicht nötig ist. Bilde dir dein eigenes Urteil!

Aufgabe 12: Der radioaktive Zerfall wird mit der Exponentialfunktion N(t) = N₀ * e^-lt beschrieben. Ein negatives Vorzeichen steht im Exponenten, damit die für das jeweilige Nukleotid charakterischen und tabellierten Werte für l (bei Zerfall) positiv sind.
a)Interpretiere N(t) wie eine stetige Funktion und zeige, dass die Halbwertszeit (das ist jene Zeitspanne, in welcher die Hälfte des Materials zerfällt) den Wert (ln2)/l ausmacht.
b) Interpretiere N(t) wie eine stetige Funktion und berechne die Fläche unter der Kurve von N(t) im Intervall von Null bis "Unendlich" und zeige, dass die durchschnittliche Lebensdauer eines Nukleotids 1/l beträgt.
Lösung: a)2 = e^lt, daraus folgt dass die Halbwertszeit t(1/2) = ln2/l.
b) Die Fläche beträgt N₀/l. Division durch N₀ ergibt wegen des Mittelwertsatzes der Integralrechnung die gesuchte durchschnittliche Lebensdauer 1/l /dabei haben wir vereinfachend die Funtkion als stetig betrachtet. Die Integration hätte eigentlich über die Umkehrfunktion durchgeführt werden müssen, da jedoch N(t) im Intervall [0,¥] streng monoton steigend und daher t(N) im Intervall [0,N] streng monoton fallend ist sind die Flächeninhalte bezogen auf die beiden Funktionen und ihren jeweiligen Intervallgrenzen äquivalent.
Bemerkung: In der Literatur wird dir durchschnittliche Lebensdauer häufig ohne Erkärung eingeführt bzw. als der Wert 1/l definiert.

Aufgabe 13: Eine Exponentialfunktion muß nicht immer die Eulersche Zahl e als Basis haben. Möglich ist jede beliebige reelle Zahl a. Für eine Funktion der Art N(t) = N₀*a^t ist a ein Faktor (entstanden aus a:=e^l) welcher die relative Veränderung (bzw. den Neubestand) einer Population nach genau einer Zeiteinheit ausdrückt. Beispielsweise bedeutet ein Faktor a = 1.05, dass die Population nach genau einer Zeiteinheit auf 105% des ursprünglichen Bestandes angewachsen ist, also um 5% zugenommen hat. Dementsprechend bedeutet ein a=0.93, dass die Population um 7%, auf 93% abgenommen, hat.
Wie aus Tabelle 3 ersichtlich hat Madagaskar derzeit ein Bevölkerungswachstum von 3%. Berechne unter der Annahme, dass dieses Wachstum konstant bleibt, wie lange es dauert, bis sich die Bevölkerung auf Madagaskar verdoppelt!
Lösung: Eine konstante relative Zunahme wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben. Ein möglicher Ansatz ist hier N(t)= N₀*a^t. Die Verdoppelungsdauer beträgt t = [ln2]/[ln(1.03)], der numerische Wert hiervon entspricht ca. 23 Jahren und 5 Monaten.

Nachwort (Beweis der logistischen Gleichung, Zerfall von Vitaminen im Kühlschrank und Abtransport von Stoffen): Einige der Aufgaben haben gezeigt, dass das Verwenden der logistischen Gleichung ihre Grenzen hat. Im Vergleich zum exonentiellem Wachstum stellt das logistische Wachstum zwar ein realistischeres Modell dar, letztlich aber dennoch eine starke Vereinfachung der realen Verhältnisse

Die exakte Herleitung der Gleichung beginnend mit dem Ansatz (dN/dt) * 1/N = l*(1-N/K) erfordert Methoden zum Lösen von Differentialgleichungen, die in der AHS nicht (wohl aber in der HTL) zur Verfügung stehen. Zuerst werden die Variablen getrennt, das ergibt nach einigen Umformungen

[K/(KN-N²)] * dN = l * dt

Nun folgt auf der linken Seite eine Partialbruchzerlegung

[ 1/N + 1/(K-N) ] * dN = l * dt

Nun können beide Seiten problemlos integriert werden. Für die linke Seite wird dann das bestimmte Integral mit den Werten [N₀, N(t)] genommen, die zugehörigen Zeiten für die rechte Seite sind dann die Grenzen [0,t]. Das ergibt

ln[N/(K-N)] - ln[N₀/(K-N₀)] = lt

Die Gleichung wird vereinfacht und in der Exponentialform angeschrieben

[N*(K-N₀)] / [N₀*(K-N)] = e^lt

Nun kann N als zeiabhängige Variable N(t) explizit ausgedrückt werden, wir erhalten die logistische Gleichung

N(t) = [ K * N₀ * e^lt ] / [ K + N₀ * ( e^lt - 1 )]

Selbst das Herleiten einer relativ trivialen Gleichung, die nur wenige Verhältnisse korrekt beschreiben kann, erfordert einigen mathematischen Aufwand! Denken wir nun über den Zerfall von Vitaminen im Kühlschrank nach: Bei einer chemischen Reaktion gehen Ausgangsstoffe in Endprodukte über. In erster Näherung und vor allem am Anfang einer Reaktion sind die Voraussetzungen für exponentiellen Zerfall erfüllt: Der Stoffumsatz bei einer Reaktion zwischen Teilchen fällt mit der Stoffmenge der Teilchen, welche bei der Reaktion umgesetzt werden. Dazu kommt aber, dass, wenn die Endprodukte nach einer chemischen Reaktion weiterhin zur Verfügung stehen, auch eine Rückreaktion in die Ausgangsstoffe möglich ist. Auch wenn die Reaktion in eine Richtung energetisch (genauer: entahlpisch und entropisch) begünstigt ist, ist die Umkehrreaktion in einem geringeren Ausmaß ebenfalls gegeben. Dadurch wird ein mathematischer Ansatz zur Beschreibung solcher Abläufe schon komplexer.

Ferner ist eine Reaktion häufig mit weiteren Reaktionen gekoppelt. Ein Vitamin zerfalle also in irgendwelche Abbauprodukte, die reagieren weiter. In einem mathematischen Ansatz für die vorhandene Stoffmenge eines Vitamins in Abhängigkeit von der Zeit gehen neben dem elementaren Term für exponentiellen Zerfall und einem Term für die Rückreaktion nun auch andere Terme bezogen auf die weiteren Reaktionen ein. Oftmals stehen bei solchen Ansätzen keine allgemeinen Gleichungen sondern oft nur beschränkt anwendbare Lösungen (in Form von Gleichungen) zur Verfügung!

Neben Reaktionen ist auch oft noch der simple Abtransport gebildeter Produkte ein Aspekt. Monozellen und Akkumulatoren stellen einem Verbraucher Energie zur Verfügung, eine chemische Reaktion liefert an den Elektroden die nötige Energie bei Benützen eines Geräts. Die Reaktionsprodukte müssen aus den Elektroden abntransportiert werden. Bei längerem durchgehenden Benützen eines Geräts läuft dieses nach einiger Zeit "nicht mehr so gut" und "erholt sich wieder" in einer anschließenden Ruhephase. Dem liegt keine Regeneration der Stoffe, sondern der Abtransport von vorerst unbrauchbaren Stoffen, zugrunde. Auch hier wäre eine differentielle Betrachtung nicht so einfach....

Zugehörigkeit zum Lehrplan Das Rätsel mit den Seerosen und die Texte hinsichtlich der Themen sind durchaus schon für die Unterstufe geeignet. Die meisten Aufgaben zum exponentiellen Wachstum sind in der 6. Klasse möglich. Aufgabe 1 setzt Kenntnisse der Differentialrechnung voraus, Aufgabe 12 setzt Kenntnisse der Integralrechnung und den Mittelwertsatz der Integralrechnung voraus.

4. Texte und Materialien aus dem internationalen Netz

[email protected]
(E mail, Thomas Anton Gobold)

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