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Beispiel: Die Quadrik            2xy - Ö2 x + 5 Ö2 y - 6 = 0 ist in Hauptlage zu bringen. Lösung: Die zugehörige symmetrische Matrix lautet             0 1             1 0 Die Spur beträgt 0, die Determinante beträgt -1, wir erhalten die beiden reellen Eigenwerte +1 und -1, falls sich keine Entartung herausstellt ist die Quadrik eine gleichseitige Hyperbel. Zum Eigenwert +1 erhalten wir den Spaltenvektor (1/Ö2 , 1/Ö2), zum Eigenwert -1 erhalten wir den Spaltenvektor (1/Ö2, -1/Ö2) Die Transformationsmatrix ist hier auch gleich ihrer Transponierten, sie lautet             1/Ö2             1/Ö2             1/Ö2             -1/Ö2 Angewandt auf den Spaltenvektor aus dem beiden linearen Eintragungen, (-1/Ö2 , 5 1/Ö2 ) ergeben sich die beiden Eintragungen 4 und -6. . Die neue, der Transformationsmatrix entsprechend gedrehte Quadrik lautet daher             u² + 4u - v² - 6v - 6 = 0 Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat ergibt             (u+2)² - (v+3)² - 1 = 0 Neuerliche Substitution bringt nun noch eine achsenparallele Verschiebung             m² - n² - 1 = 0 ....die Einheitshyperbel!

Beispiel: Es ist die affine Äquivalenzklasse der Quadrik 7x² + 1xy + 8y² -3x + 15y -Pi = 0 festzustellen. Lösung: Dieses Mal kann die Aufgabe sehr rasch gelöst werden. Es genügt hier, sich die Eigenwerte oder die ihnen zugrunde liegenden Koeffizienten der Quadrik anzuschauen, oder gar einfach nur abzuschätzen. Da 7 und 8 im Vergeich zu 1 relativ groß sind, werden wir 2 positive Eigenwerte erhalten. Wenn sie nicht entartet ist, kann die Quadrik nur eine Ellipse sein. Die Quadrik ist sicher nicht entartet, da beim quadratischen Ergänzen das konstante Glied, welches bereits negativ ist, nur noch kleiner werden kann. Also haben wir eine Ellipse. Aber wie machen wir das bei einer Quadrik, bei der die Zahlen nicht so günstig liegen?

Explizites Ausdrücken einer Variablen

    Wir wollen also aus einer beliebigen Quadrik,
                ax² + by² + gxy + hx + jy + f = 0 (im zweidimensionalen)
etwa im Rahmen einer Aufgeabenstellung für ein beliebtes Proseminar, mit möglichst wenig Arbeit die affine Äquivalenzklasse der Quadrik bestimmen. Es reicht, eine der beiden Variablen explizit durch die andere auszudrücken. Das Ergebnis lautet sodann
            y_1.2 = (1/2b) * (-gx - j ± [ ( gx + j)² - 4B(ax² + hx + f)]^(1/2)                                            (T)
Wir betrachten die Quadrik im Reellen, somit setzen wir auch reelle Koeffizienten aus. Entscheidend in der obigen Termdarstellung ist die Diskriminante unter der Wurzel.
    Diese Diskriminante ist ihrerseits eine quadratische Funktion der ersten Variablen x. Eine solche quadratische Funktion kann keine Nullstellen haben und eine nach unten offene Parabel sein. Die Diskriminante ist dann immer kleiner Null, somit erhalten wir keine relle Wurzel, die zugehörige Quadrik ist entartet, die Lösungsmenge ist die leere Menge.
    Die Parabel im Term der Diskriminante kann nach unten offen sein und die erste Achse berühren. Somit erhalten wir eine reelle Lösung, die zugehörige Quadrik besteht aus einem Punkt.
    Diese Parabel im Term der Diskriminante kann nach unten offen sein und zwei reelle Nullstellen haben. In diesem Fall haben wir ein nach oben und unten beschränktes Intervall in x, für welches die Diskriminante positive Werte und somit reelle Wurzeln hat. Die zugehörige Quadrik ist eine Ellipse.
Die Parabel im Term der Diskriminante kann nach oben offen sein. In diesem Fall ist es egal, ob die Parabel relle Nullstellen hat oder nicht. Die Quadrik ist dann eine Hyperbel (und nimmt ev in einem abgeschlossenem Intervall einige Werte nicht an).

    Es gibt noch zwei Spezialfälle:
    Die Parabel im Ausdruck der Diskriminante kann nach oben offen sein und die erste Achse berühren. Dann ergibt sie ein vollsändiges Quadrat, Quadrat und Wurzel werden gekürzt, die zugehörige Quadrik ist entartet, sie besteht aus 2 parallelen Geraden.
    Einer der Eigenwerte ist Null: Die Quadrik kann eine entartete oder nicht entartete Parabel sein, es ist in der obigen Formel (T) nachzuschauen, welches Lösungsintervall möglich ist.

Klaasifizierung der Quadriken im zwei- und dreidimensionalen

under construction, coming soon

Sylvester, Trägheitssatz

Prof. Rindler hat gemeint, ich habe eh schon genug zu tun, also: under construction, coming soon!

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Notiz: Diese web site dient als zusätzlicher Text zur Prüfungsvorbereitung und Wiederholung der von Prof. Harald Rindler im Sommersemester 2001 geführten Vorlesung "Lineare Algebra 2". Das Referat dazu fand Ende Juni 2001 statt. Die meisten Definitionen und Sätze und eine Auswahl der Beweise der beiden Texte
Kap. 7,§ 4 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen (S 146 - S 151),
Kap. 8, § 1 Grundlagen (Kurven u Flächen zweiter Ordnung)(S 174 - S 177)
sind in dieser web site.

Persönliche Nachbemerkung: Ich habe mich bemüht, die Ausführungen möglichst anschaulich zu verfassen. Hinweise auf mögliche Fehler oder Verbesserungsvorschläge nehme ich gerne entgegen (Gästebucheintragungen oder e-mail me). Um diese website in nicht allzu langer Zeit zu erstellen habe ich vor allem bei den Bezeichnungen am wenigsten zeitraubend und HTML-freundlich gewählt, einige weichen daher von der üblichen Notation ab. Themenmäßig wird die website noch ergänzt und korrigiert.....

Literature:
Skriptum für lineare Algebra, Prof. Harald Rindler, Universität Wien, Wien, 2000
Elementary linear algebra ( applications version, 7th edition); Howard Anton and Chris Rorres, Wiley, New York, 1994
Lineare Algebra, 5. Auflage, K.Jänich, Springer-Verlag
Darstellende Geometrie DG8, Pillwein-Müllner-Kollars, Wien, 1994


Acknowledgements:

Prof. Harald Rindler, chief of the institue, for making the lessons with us

Mag. Klaus Brandl
MMag Jutta Haas
Prof. Friedrich Haslinger
Prof. Johannes Schoißengeier
Mrs. Beatrice Schönthaler

Prof. Josef Hofbauer for a wonderful calculus-course and all the other aid in the past two years



Thank you for visiting my home page

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Complex numbers (prologue)













































under construction, expect the next texts in these days of June or July working area brown red Ö2 x^n: xⁿ
a indicated with n: a_i

root: Ö arrow east ®
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