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KURVEN UND FLÄCHEN ZWEITEN GRADES Thomas Anton Gobold, Juni 2001

    Für einen Germanisten ist eine Ellipse als Stilmittel ein abgekürzter Satz, eine Hyperbel ist für ihn eine Übertreibung.
    Der Mathematiker hingegen betrachtet eine Ellipse als einen geschlossenen Kurvenzug, für den eine interessante Eigenschaft zutrifft, nämlich, dass die Summe der Abstände von zwei fixen Punkten konstant ist . Die Hyperbel ist für den Mathematiker eine ähnlich edle Kurve, hier verhält es sich so, dass die Differenz der Abstände von zwei fixen Punkten konstant ist. Die exakte Defintion beider Kurven folgt im Text.
    So unterschiedlich die Anschauungen des Germanisten und die exakteren Definitionen des weisen Mathematikers auf den ersten Blick auch sein mögen, drücken sie letztlich doch das Gleiche aus.

    In der Polarform lautet die Gleichung aller Kegelschnitte

                            r = p / ( 1 + e * cosr )

    Der entscheidende Parameter welcher über die Art des Kegelschnitts (also Ellipse, Hyperbel, Parabel, Kreis) entscheidet ist das Epsilon. Für Epsilon = 1 haben wir die Parabel. Wird diese Epsilon nun größer als 1, also übertrieben, so erhalten wir eine Hyperbel, wird das Epsilon gekürzt (also kleiner als 1), so erhalten wir eine Ellipse. Die Gleichung ist Unterrichtsstoff der Analysis (und wurde in den Analysis-Vorlesungen von Prof. Josef Hofbauer auch durchgenommen).
    Ellipse und Hyperbel sind zwei der wohl bekanntesten Objekte aus dem reichhaltigem Reservoir der in der linearen Algebra zu behandelnden Kurven und Flächen zweiten Grades.
    Der Mathematiker betrachtet im Zusammenhang mit diesen Kurven die quadratischen Formen der Art

                ax² + by² + gxy + hx + jy + f = 0 (im zweidimensionalen)

    Die Gleichung im dreidimensionalen Raum lautet analog. Die auf den ersten Blick merkwürdig scheinende Wahl der Koeffizienten ist so gewählt, dass sie gleichzeitig in Wolframs Mathematica verwendet werden können.
    Im zweidimensionalen erhalten wir neben einigen entarteten Fällen nur die Kegelschnitte, also Ellipse (Sonderform: Kreis), Hyperbel und Parabel. Ellipse und Hyperbel haben eine Haupt- und eine Nebenachse. Liegt der Mittelpunkt einer der beiden im Ursprung, die Hauptachse a auf der ersten Achse des kartesischen Koordinatensystems, die Nebenachse b auf der zweiten Achse des kartesischen Koordinatensystems, so liegt die Ellipse (bzw Hyperbel) in erster Hauptlage.

Die nichtentarteten Kegelschnitte, Ellipse, Hyperbel und Parabel

    Aus der planimetrischen Definition für die Ellipse als Ortslinie (Menge aller Punkte mit der Eigenschaft, dass die Summe von zwei fixen Punkten, den Brennpunkten, konstant und gleich 2a ist. Also nicht die Fläche, nur der geschlossene Kurvenzug ) kann leicht gezeigt werden (Hinweis: Bei den Gleichungen der Kegelschnitte in Hauptform haben a, b eine andere Bedeutung als die Koeffizienten bei der Quadrik).
            x²/a² + y²/b² = 1 (Ellipse, ell; erste Hauptlage)
(Beweis sh AHS-Bücher), für a=b=r erhalten wir den Kreis und somit
            x² + y² = r² (Kreis, Mittelpunkt im Ursprung)
Die Brennweite e (auch lineare Exzentrizität) ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Ursprung. Bei Betrachten einer Skizze einer Ellipse ist unmittelbar ersichtlich
            e² = a² - b²


Für die Hyperbel gilt sodann
            x²/a² - y²/b² = 1 (Hyperbel, hyp; erste Hauptlage)
            e² = a² + b²
Bei der Hyperbel erhalten wir für a=b=1 das Pendant zum Einheitskreis, die Einheitshyperbel für welche analog zu den Winkel- bzw Kreisfunktionen die Hyperbelfunktionen definiert werden.
            x² - y² = 1            

cosh²A - sinh²A = 1

A ist dabei die Fläche des doppelten Hyperbelsektors.

Die Parabel ist definiert als die Menge aller Punkte der Ebenen, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und einer Leitlinie den gleichen Abstand haben. Die Scheitelgleichung der nach rechts offenen Parabael lautet (Beweis und Skizzen sh AHS-Bücher).
            y² = 2px

Kegelschnitte, die nicht in Hauptlage liegen: Mit Verschieben oder Drehen erhält man die Kegelschnitte in allgemeiner Lage

   

Zum Beispiel:            x² + 4x + y² - 8y + 45 = 0 Hier ist das Verschieben in Hauptlage noch relativ leicht             (x + 2)² + (y - 4)² = 25 Substitution bringt             u² + v² = 25

 

Etwas schwieriger ist bereits             7x² + y² + 8xy - 1 = 0 Hier haben wir einen Kegelschnitt mit Mittelpunkt im Ursprung (Fehlen linearer Terme!), der allerdings aus der Hauptlage gedreht wurde (deswegen 8xy!). Tatsächlich handelt es sich bei dieser Kurve um eine Hyperbel.

Das genauere Berechnen mittels Hauptachsentransformation oder das raschere Einteilen in Äquivalenzklassen sind Thema dieses Kapitels.

Zunächst interessieren wir uns für die Begriffe Spaltform, Pol, Polare und den Hauptsatz der Polarentheorie!

Die Spaltform, ein tool für die AHS

Beispiel: Wir wollen an den Kreis x² + y² = 25 (also Mittelpunkt im Ursprung) am Punkt T(3/4) eine Tangente anlegen. Dazu entwickeln wir aus der Kreisgleichung x² + y² = 25 die sogenannte Spaltform             xTx + yTy = r² und wenden sie mit dem Punkt T(3/4) auf diesem Kreis x² + y² = 25 an. Die Tangente lautet sodann           3x + 4y = 25

Stimmt das? Nun, der Punkt T(3/4) erfüllt die Tangentengleichung (er hat ja auch vorher die Kreisgleichung erfüllt). Wir wissen, dass der Radiusvektor immer senkrecht zur Tangente steht, hier ist der Radiusvektor (3,4) identisch mit dem Normalvektor (3,4) der Tangentengleichung , also haben wir mit 3x + 4y = 25 tatsächlich die geforderte Tangente, welche die korrekte Richtung aufweist und den Tangentialpunkt enthält.

Spaltform: Für T(xT/yT) und T Î k gilt Tangente t: xTx + yTy = r² ist die Tangente des T am Kreis k.

Diese Gleichung kann mit einfachen affinen Transformationen auf die anderen Kegelschnitte in beliebiger Lage erweitert werden.

Der Pol, ein Punkt außerhalb des Kegelschnitts und seine zugehörige Polare

Wir nehmen nun einen Punkt P außerhalb des Kreises, diesen Punkt nennen wir Pol. Unter solchen Voraussetzungen lassen sich vom Pol aus 2 Tangenten an den Kreis (oder Kegelschnitt) anlegen. Im Grenzfall sind die beiden Tangenten parallel, dann ist der zugehörige Pol ein Fernpunkt. Durch diese beiden Tangenten erhalten wir am Kreis zwei Berührpunkte. Diese beiden Berührpunkte legen eindeutig eine Gerade fest, welche wir die " POLARE " nennen.

Wie erhalten wir diese Polare? Wenn wir den einen Berührpunkt T (T entstehe wenn wir vom Pol aus die Tangente anlegen) in die Spaltform einsetzen, so erhalten wir
            x_Tx + y_Ty = r²
Der Pol P(x_P/y_P) ist ein Element dieser Tangente (unter dieser Voraussetzung kam sie zustande), also gilt
            x_T x_P + y_T y_P = r²
Wenn der Pol außerhalb des Kreises und im Endlichen liegt erhalten wir 2 Tangenten. Für beide Tangenten gilt obige Überlegung. Damit haben wir mit
            x x_P + y y_P = r²
eindeutig eine Gerade festgelegt (in der typischen Gestalt der Spaltform), welche die beiden Berührpunkte der beiden Tangenten enthält. Die Polare schneidet also den Kreis an 2 Punkten, die Tangenten dieser beiden Punkte gehen durch den der Polaren zugehörigen Pol. Hier haben wir bereits die embryonale Form des Hauptsatzes der Polarentheorie. Mit dem Einsetzen des Pols als Punkt in die Spaltform erhalten wir sher rasch die Polare (genauso wie wir mit Einsetzen des Berührpunktes in die Spaltform die Tangente erhalten).

Der Hauptsatz der Polarentheorie

Wir stellen uns einen Pol (außerhalb des Kreises, im Endlichen) vor und legen von diesem Pol aus 2 Tangenten an. Dem Pol ist eindeutig eine Polare p zugeordnet, welche die beiden Berührpunkte der Tangenten enthält. Nun wählen wir auf dieser Polaren p außerhalb der Kreisfläche einen beliebigen Punkt Q an. Dieser Punkt Q sei nun ein weiterer Pol. Q enthält eindeutig eine Polare q. Das bemerkenswerte und gleichzeitig die Aussage des Hauptsatzes ist, dass die neue Polare q durch den ursprünglichen Pol P geht.

Was wir nun anhand des Spezialfalles kennengelernt haben, gilt für alle nicht ausgearteten Kurven und Flächen zweiten Grades (kurz: Quadriken) in allgemeiner Lage. Um auch für solche beliebigen Quadriken rasch eine Polare oder Tangente (oder Pol- bzw Tangentialebene) brauchen wir noch einige zusätzliche Werkzeuge um weiterhin die Spaltform zu verwenden.

Betrachten wir wieder die Gleichung
            ax² + by² + gxy + hx + jy + f = 0
die zugehörige symmetrische Matrix A lautet dann
            a     g/2
            g/2     b
Eine symmetrische Matrix hat u.a. den Vorteil, dass sie nur reelle Eigenwerte enthält. Für 2x2-Matrizen ist das analytisch sehr leicht nachzuvollziehen, für 3x3-Matrizen erhält man den cassus irreducibillis in der Formel von Cardano, welche Tartaglia und Scipio del Ferro herleiteten. ....
Jetzt beweisen wir allgemein, dass jede symmetrische Matrix A nur reelle Eigenwerte hat.
            l á y , y ñ = á l y , y ñ =
Jetzt verwenden wir, dass ly=Ay
            = á A y , y ñ =
Jetzt gelangt A auf die rechte Seite, wir verwenden dass A^t = A
            = á y , A^t y ñ = á l y , Ay ñ =
Nun verwenden wir wieder Ay = ly
            = á y , l y ñ
Nun heben wir l von der linken Seite heraus. Da wir im Komplexen operieren ist demnach der konjugierte Eigenwert von l, also l' vorne anzuschreiben.
            = l'á y , y ñ =
Jedoch muß l á y , y ñ = l'á y , y ñ
gelten, so haben wir ja angefangen. Also ist ein beliebiger Eigenwert einer symmetrischen Matrix gleich seinem konjugierten Wert. Das ist nur dann der Fall, wenn der Imaginärteil gleich Null ist, also ist der Eigenwert Lambda reell. Also sind alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix reell (Lemma 4.1. und Beweis, S147, Skript w.o.)



Wenn wir die Quadrik projektiv betrachten, so ergänzen wir mit einer dritten Variablen, in der üblichen Notation sind es x-1 und x-2, welche mit einem x-0 ergänzt werden. Hier sei aus drucktechnischen Gründen mit u ergänzt.
            ax² + by² + gxy + hxu + jyu + fu² = 0
Die neue Quadrik A' lautet daher
            f     h/2    j/2
            h/2     a     g/2
            j/2     g/2     b
Unter anderen erkennen wir, dass die ursprünglichen Koeffizienten in einer untergeordneten Matrix vorhanden sind.

áAx,xñ entspricht dem Term einer Quadrik. Matrizenmultiplikation und anschließendes Bilden des inneren Produktes erzeugen die uns vertraute Termdarstellung der Quadrik.
Wenn wir nun bei einer nicht ausgearteten Quadrik mit ihrer zugeordneten Matrix A in das Matrizenprodukt für x den Punkt P einsetzen (es ist genauso wie bei der Spaltform, es ist tatsächlich das selbe), also áAP,xñ , so erhalten wir für den zweidimensionalen affinen Raum eindeutig eine Gerade . (Tangente oder Polare).

Bemerkungen:Die Beziehung zwischen Pol und Polare ist bijektiv. Die Tangente ist ein Grenzfall der Polaren. Man stelle sich einfach und anschaulich vor, dass man mit dem Pol immer mehr zum Kreis hinwandert, der Winkel den die beiden Tangenten einschließen wird immer stumpfer. Im Grenzfall trifft der Pol auf den Kreis, der Winkel zwischen den beiden Tangenten geht gegen 180 Grad, die beiden Tangenten fallen mit der Polaren zusammen, wir haben nur noch eine Tangente und einen Tangentialpunkt.

Beispiel: An die Quadrik             x² + 6xy + y² - 8x -32 = 0 soll im Punkt T(4/y>0) eine Tangente angelegt werden. Lösung: Wir berechnen das y, wir setzen x=4 ein und erhalten eine quadratische Gleichung in y, die beiden Lösungen für y sind -26 und +2. Wir legen die Tangente also am Punkt T(4/2) an. Die Gleichung der Quadrik lautet im projektiven Raum             x² + 6xy + y² - 8xu -32u² = 0 Der Punkt T(4/2) wird im projektiven Raum zu (1/4/2), nur mit u=1 stimmt diese Gleichung. Die Matrix E' lautet             -32     -4     0             -4     1     3             0     3     1 Angewandt auf den projektiven Punkt (1/4/2) ergibt sich der Spaltenvektor (-48,6,4). Diesen multiplizieren wir mit (1,x,y), wir brauchen das u nicht mehr, es hat seinen Zweck erfüllt. Die Tangentengleichung lautet also (jetzt wieder im affinen)             -48 + 6x + 14y = 0 Das vertraute Hantieren mit der Spaltform ist im wesentlichen die selbe Rechnung, die Quadrik             x² + 6xy + y² - 8x -32 = 0 wird im Projektiven mit Einführung der Variablen u zu             xx + 3xy + 3yx + yy - 4xu - 4ux -32uu Die Koordinaten des Punktes (1/4/2) = (u/x/y)werden in der Spaltform, wie wir es gewohnt sind, links und passend eingesetzt.             4x + 12y + 6x + 2y - 16u - 4x - 32u = 0 Im affinen erhalten wir dann für u=1             -48 + 6x + 14y

Beweis des Hauptsatzes der Polarentheorie:
Die beiden Polaren p, q (P und Q seien die beiden Punkte, A die der Quadrik zugehörige symmetrische Matrix) seien gegeben durch (wir betrachten sie projektiv, also haben wir homogene Systeme):
            p: á A P , x ñ = 0
            q: á A Q, x ñ = 0

Wenn der Punkt P auf der Polaren q (des Punktes Q) liegt, so ist die Polarengleichung von q , mit P für x eingesetzt erfüllt
            á A Q , P ñ
Die der Quadrik zugeordneten symmetrische Matrix A wechselt die Seite (hiezu wird die transponierte genommen, die Verwendung der hierfür zugrunde liegenden Rechenregel wird bei der Hauptachsentransformation erläutert)
            á Q , A ^t P ñ
Da A symmetrisch ist und trivialerweise eine symmetrische Matrix gleich ihrer transponierten ist gilt daher
            á Q , A P ñ
Das innere Produkt ist auch symmetrisch
            á A P, Q ñ
Das ist die Polare p, auf ihr liegt der Punkt Q.

Man stelle sich ganz einfach vor, dass unser Pol zunächst der Fernpunkt ist. Die zugehörige Polare ist dann der Durchmesser, welcher den Kreis an zwei Punkten schneidet. Die Tangenten dieser beiden Punkte sind parallel. Dann gehen wir mit dem Pol von außen (von der Ferne) auf die Quadrik zu, der Winkel zwischen den beiden Tangenten ist zunächst noch spitz. Allmählich wird der Winkel, den die beiden Tangenten einschließen immer stumpfer, im Grenzfall konvergiert der Winkel gegen 180 Grad, dann fallen die beiden Tangenten und die Polare auf eine einzige Tangente zusammen, wir haben auch nur noch einen Berührpunkt (welcher aus dem Pol und den beiden Schnittpunkten der Polaren mit dem Kreis entstanden ist). Es liegt damit, zumindest rein anschaulich betrachtet nahe, dass, wenn wir den Pol in das Innere des Kreises gehen lassen, die zugehörige Gerade nach außen geht.

Weiters ist dann dem Mittelpunkt des Kreises die Ferngerade zuzuordnen. Es hält uns ja niemand auf, in die Spaltform einfach einen solchen Punkt (der innerhalb des Kreises liegt) einzusetzen Diese anschauliche Schilderung mit dem Kreis wird auf beliebige Quadriken verallgemeinert (sh Def. 1.4. und Satz 1.3., S 176, Skriptum für die Vorlesung zu Lineare Algebra von Prof. H. Rindler).

Die Eigenschaft Polare eines Punktes bezüglich einer Quadrik (bzw. Tangente an eine Quadrik zu sein) ist invariant gegenüber projektiven Abbildungen (zitiert nach Satz 1.4., S 177).

KONJUGIERTE DURCHMESSER oder wie man eine Ellipse eindeutig konstruieren kann

Wir stellen uns eine Ellipse vor. Auch hier ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt der Ellipse geht, als Durchmesser definiert. Diese Sehne, welche den Durchmesser, d, trägt, schneidet die Ellipse an zwei Punkten, die zugehörigen Tangenten, t,u, an diesen zwei Punkten sind wegen der zentrischen Symmetrie bezüglich des Mittelpunktes parallel. Im allgemeinen schließen sie mit dem Durchmesser einen Winkel ungleich 90 Grad ein. Zu diesem Durchmesser gibt es natürlich auch zwei zugehörige parallele Tangenten, r,s. Der (nun zweite) Durchmesser, e, welcher die Berührpunkte dieser beiden Tangenten verbindet ist der zum Durchmesser d konjugierte Durchmesser.

Dass es sich genauso verhält ist u.a. leicht vorstellbar, wenn man die Ellipse als affine Abbildung eines Kreises betrachtet. beim Kreis stehen Durchmesser und Tangenten immer im rechten Winkel zueinander. Bei einer affinen Transformation bleiben parallele Geraden parallel!

Hinweis: Mit der Kenntnis zweier konjugierter Durchmesser (also deren Endpunkte an der Ellipse) läßt sich eine Ellipse eindeutig konstruieren (RYTZsche Achsenkonstruktion, nach David Rytz, 1801-1868).

DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION

Eine quadratische Form der Art
            ax² + by² + gxy + hx + jy + F = 0
kann auch angeschrieben werden als
           á A X , X ñ + á a, Xñ + f
A ist dabei die den Koeffizienten a,b,g zugehörige symmetrische Matrix, der Koeffizient g wird halbiert, g/2 wird dann an den beiden Stellen der Nebendiagonalen eingetragen. a ist der den Koeffizienten H und J zugehörige Spaltenvektor. Einfaches Nachrechnen der Matrizenmultiplikation und das Bilden der inneren Produkte zeigt, dass das so stimmt.

Beispiel: Für 5x² - 9y² + 8xy -3x + 7y - 12 = 0 lauten die zugehörige symmetrische Matrix (aus den drei Gliedern zweiten Grades) und der zugehörige Spaltenvektor (aus den beiden linearen Gliedern)             5     4                              -3             4     -9                             7

Nun benützen wir folgende wichtige Definition: Zwei quadratische Formen, D,E heißen orthogonal äquivalent, falls es eine orthogonale Matrix T gibt, sodass
            D = T^t E T
T ist also die Transformationsmatrix, welche die Quadrik von einer beliebigen Lage in eine Hauptlage (d.h. die Koordinatenachsen sind zu den Hauptachsen der Quadrik parallel) dreht. Bekanntlich hat im zweidimensionalen die Matrix für die Drehung um den Winkel j die Gestalt
            cosj     -sinj
            sinj     cosj

Die beiden Eigenvektoren der Transformationsmatrix müssen also normiert sein, sie müssen also wie der Ortsvektor eines beliebigen Punktes am Einheitskreis die Länge 1 haben. Für eine solche Transformationsmatrix gilt darüber hinaus, dass die transponierte gleich der inversen ist ( ist im zweidimensionalen auch sehr leicht zu zeigen)
            T^t = T^-1
Wir führen also eine Transformation durch und setzen X =TY. Aus
           á A X , X ñ + á a,Xñ + f
folgt mit X=TY
           á A T Y, T Y ñ + á a , T Y ñ + f
            T gelangt als T^t auf die linke Seite.
           á T^t A T Y, Y ñ + á a , T Y ñ + f

Dieser (letzte) Rechenkniff stimmt, weil trivialerweise u^t*v = áu,v ñ (u,v Spaltenvektoren) gilt. Obiges ist eine Verallgemeinerung davon.

Der nächste faszinierende Rechenkniff ist nun folgender: T^t A T ist nichts anderes als eine zugehörige die Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten von A als Eintragungen. Das stimmt, weil die Transformationsmatrix T den Einheitsvektor einer Koordinate auf dem zugehörigen Eigenvektor abbildet, die symmetrische Matrix A bildet diesen Einheitsvektor auf das dem Eigenwert entsprechende Vielfache ab, die transponierte Transformationsmatrix bildet das zuletzt erhaltene Produkt schließlich auf das dem Eigenwert entsprechende Vielfache des Einheitsvektors ab. Das Hintereinanderausführen dieser Abbildungen ist umgekehrt, also T^t A T zu schreiben. Damit kann die Hauptachsentransformation durchgeführt werden.

Kurzgefaßt erhalten wir also folgendes Resultat:
Für eine symmetrische (und quadratische) Matrix A gilt, dass eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren aus A existiert und dass A mittels einer orthogonalen Transformation diagonalisierbar ist. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen aufeinander senkrecht. (Satz 4.2., Skript, S 148) Jede quadratische Form ist durch eine symmetrische Matrix A darstellbar (Satz 4.3., Skript, S 149).

Zwei quadratische Formen, heißen orthogonal äquivalent, falls es eine orthogonale Matrix T gibt, sodass für die entsprechenden symmetrischen Matrizen, D, A, gilt
            D = T^t A T
Als Resultat dürfen wir also eine beliebige quadratische Form
            ax² + by² + gxy + f = 0
durch eine orthogonale Transformation auf die Form
            l1 u² + l2 v² + f = 0
bringen (nach Def. 4.3., S 149 und Satz 4.4., S 150; Skript).
Eine Verfeinerung hinsichtlich der Kreativität (oder Vergröberung hinsichtlich der Koeffizienten) ist der Trägheitssatz von Sylvester. Hier wird so transformiert, dass die Koeffizienten der einzelnen Variablen nur noch -1, 0 oder +1 betragen.

Darüber hinaus gilt auch noch
            á A x , y ñ = á x , A y ñ
genau dann, wenn A eine symmetrische Matrix ist:
Beweis:
            á A e_k , e_i ñ = á a e_k , e_i ñ = a_ik
            á e_k , A e_i ñ = á e_k , a e_i ñ = a_ki
Da wir jedoch eine symmetrische Matrix vorausgesetzt haben, gilt a_ik = a_ki (nach Satz 4.1. und Beweis, Skriptum w.o., S 147)



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Acknowledgements:

Prof. Harald Rindler, chief of the institue, for making the lessons with us

Mag. Klaus Brandl
MMag Jutta Haas
Prof. Friedrich Haslinger
Prof. Johannes Schoißengeier
Mrs. Beatrice Schönthaler

Prof. Josef Hofbauer for a wonderful calculus-course and all the other aid in the past two years