Gleichungssysteme

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Inhalt: 1. Gleichungen in zwei Variablen (Äquivalenzumformungen), 2. Zwei Gleichungen in zwei Variablen, 3. Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen (Eliminationsverfahren, Einsetzverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Lösungsmehtode mit Determinanten, Überbestimmte Gleichungssysteme), 4. Gleichungssysteme mit drei Variablen (Zwei Gleichungen mit drei Variablen, Drei Gleichungen mit drei Variablen, Beispiele (lineare Abhängigkeit), 5. Gauß-Algorithmus, 6. Weitere Beispiele, Lösungsmethoden und Aufgaben. Diese Seite dient als Ergänzung zu einer Lehrveranstaltung (Dauer 90 Minuten). Zielgruppe: Studienanfänger, Maturanten und AHS-Schüler (Oberstufe).

1. Gleichungen in zwei Variablen
Eine Gleichung mit zwei Variablen kann als Gerade in der Ebene aufgefasst werden. Zwei gebräuchliche mathematischen Darstellungen sind die Parameterform und die implizite Form

      g: (x,y) = (1,3) + λ*(-2,5)
      g: 5x + 2y = 11

In der impliziten Form stellen die Koeffizienten der Koordinaten, (5,2), den Normalvektor der Geraden dar.

Äquivalenzumformungen Wird zu beiden Seiten einer Gleichung die selbe Zahl addiert oder subtrahiert, bleibt die Gleichung (hinsichtlich ihrer Aussage) unverändert. Ebenso unverändert bleibt die Gleichung, wenn beide Seiten der Gleichung mit der selben Zahl multipliziert oder durch die selbe Zahl (ungleich Null) dividiert werden.

2. Zwei Gleichungen in zwei Variablen
Beim Untersuchen eines solchen Gleichungssystems treten drei Fälle ein:

Beispiel 1: Zwei Gerade können einander in genau einem Punkt schneiden       g: 5x + 2y = 7       h: x + y = 2 Diese beiden Geraden schneiden einander im Punkt (1,1), der erfüllt beide Gleichungen. Die Lösung dieser Gleichung ist (1,1).

Beispiel 2:       g: 5x + 2y = 7       h: -10x - 4y = - 14 Durch Multiplikation der einen Gleichung (g) mit -2, einer Äquivalenzumformung, entsteht die andere Gleichung (h). Die beiden Gleichungen sind nicht unabhängig voneinander, die Geraden g und h sind ident. Das Gleichungssystem enthält unendlich viele Punkte als Lösung.

Beispiel 3:       g: 5x + 2y = 11       h: -10x - 4y = -14 Die eine Gleichung kann nicht in die andere übergeführt werden. Jedoch sind die beiden zugehörigen Normalvektoren, (5,2) und (-10,-4), kolinear. Hier haben wir zwei parallele Geraden. Die Lösungsmenge dieses Systems ist die leere Menge.

3. Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Eliminationsverfahren (Additionsverfahren): Die beiden Gleichungen werden mit geeigneten Zahlen multipliziert, sodass bei anschließender Addition eine Variable wegfällt!

Beispiel 4:       2x + y = 5       x + 4y = 6 Multiplikation der unteren Zeile mit -2 und anschließende Addition führt zu       -7y = -7 Also gilt y=1, Einsetzen von y=1 in eine der beiden übrigen Gleichung führt zu 2x+1=5 und somit zu x=2. Die beiden Geraden schneiden einander im Punkt (2,1).

Einsetzverfahren Aus einer der beiden Gleichungen wird eine der Variablen in Abhängigkeit von der anderen ausgedrückt und in die zweite Gleichung eingesetzt!

Beispiel 5:       2x + 3y = 7       x - 4y = -2 Aus der zweiten Gleichung folgt       x = 4y - 2 Einsetzen in die erste Gleichung liefert       2*( 4y - 2 ) + 3y = 7       11y = 11       y = 1 ...... → x = 2

Gleichsetzungsverfahren: In beiden Gleichungen wird dieselbe Variable ausgedrückt, diese beiden (expliziten) Zeilen werden dann gleich gesetzt!

Beispiel 6:       x + 3y = 5       2x - 2y = 2 x kann in beiden Gleichungen explizit ausgedrückt werden:       x = 5 - 3y       x = 1 + y Gleichsetzen liefert       5 - 3y = 1 + y ........ → y = 1 → x = 2

Lösungsmethode mit Determinanten  Diese Methode ist wie auch der Gauß-Algorithmus (siehe unten) vor allem bei umfangreicheren Gleichungssystemen praktisch. Ein allgemeines Gleichungssystem mit zwei Variablen kann wie folgt gelöst werden:

ax + by = c       dx + ey = f       D:= ae - bd       Dx:= ce - bf       Dy:= af - cd       x = Dx/D       y = Dy/D (Falls die den Gleichungen zugehörigen Geraden parallel oder ident sind beträgt der Wert der Determinante D Null)

Überbestimmte Gleichungssysteme Die Anzahl der Gleichungen ist höher als die Anzahl der Variablen. Bei manchen Aufgaben treten solche Fragestellungen auf ( etwa beim Schneiden zweier Geraden im Raum oder beim Feststellen ob drei Vektoren im Raum linear unabhängig sind....). Bei drei Gleichungen in zwei Variablen wählt man zwei Gleichungen aus und versucht sie zu lösen. Falls eine Lösung gefunden wird, stellt man fest, ob diese Lösung die dritte Gleichung erfüllt.

4. Gleichungssysteme mit drei Variablen
Gleichungen mit drei Variablen können als Ebenen im Raum aufgefasst werden. Die Koeffizienten der drei Variablen stellen den auf die Ebene normal stehenden Vektor dar.

Zwei Gleichungen mit drei Variablen Beim Untersuchen eines solchen Systems sind die Fälle "parallel", "ident" oder "schneidend in einer Schnittgeraden" möglich. Ob sie parallel oder ident sind, kann ähnlich wie bei Gleichungen mit zwei Variablen festgestellt werden.

Beispiel 11:       e1: 5x + 2y - z = 3       e2: -10x - 4y + 2z = -6       e3: 10x + 4y - 2z = 4 Die ersten beiden Ebenen sind ident, die dritte Ebene ist zu den ersten beiden parallel.

Drei Gleichungen mit drei Variablen Unter anderem sind folgende Fälle möglich:
• Die drei Ebenen bilden ein Ebenenbüschel d.h. sie schneiden einander in einer Schnittgeraden.
• Die drei Ebenen schneiden einander in drei parallelen Schnittgeraden (welche nicht ident sind).
• Die drei Ebenen schneiden einander in genau einem Punkt.

Die anderen Fälle beinhalten, dass zumindest zwei der drei Ebenen parallel oder ident sind (was auch leichter zu erkennen ist). Um drei Gleichungen mit drei Variablen zu lösen, können die Algorithmen für das Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen modifiziert werden (falls man nicht mit Determinanten rechnet, wird zuerst eine der drei Variablen eliminiert....).

Beispiel 12 (lineare Abhängigkeit):       5x + 2y + z = 4       x - y + 2z = 1 Die den Gleichungen zugehörigen Normalvektoren (5,2,1) und (1,-1,2) sind nicht kolinear (durch keine Multiplikation mit einer reellen Zahl ineinander überführbar). Also schneiden einander die beiden Ebenen in einer Schnittgeraden. Wir ergänzen das System mit einer dritten Gleichung:       5x + 2y + z = 4       x - y + 2z = 1       6x + y + 3z = 5 Die dritte Gleichung ist nur die Addition der ersten beiden Gleichungen und daher auch nicht unabhängig von den ersten beiden Gleichungen entstanden. Es bleibt bei genau einer Schnittgeraden als Lösungsmenge.

Beispiel 13 (lineare Abhängigkeit):       5x + 2y + z = 4       x - y + 2z = 1       6x + y + 3z = 7 Hier ist die dritte Gleichung nicht aus Kombination der ersten beiden Gleichungen entstanden, wohl aber der Normalvektor der dritten Gleichung:       (5,2,1) + (1,-1,2) = (6,1,3) Je zwei der drei Ebenen schneiden einander in einer Schnittgeraden, insgesamt erhalten wir genau drei verschiedene Schnittgeraden.

Im Allgemeinen kann man bei solchen Systemen nicht mehr auf einen Blick erkennen, ob eine Gleichung (oder ein Normalvektor) durch irgend eine Kombination aus den anderen beiden Gleichungen (Normalvektoren) entstanden ist (in einem solchen Fall sind sie "linear abhängig"). Die Determinante der Koeffizienten kann nach der Regel von Sarrus (Summe der Produkte der Elemente der Hauptdiagonalen weniger Summe der Produkte der Elemente der Nebendiagonalen; beachte: Diese Regel ist nicht auf Systeme mit mehr als drei Variablen verallgemeinbar) ausgerechnet werden. Beträgt der Wert der Determinante Null, sind die Normalvektoren der Ebene linear abhängig. Ist der Wert ungleich Null sind die Normalvektoren der Ebenen linear unabhänig, wir erhalten genau einen Punkt als Lösung.

Beispiel 14:       x + 2y + z = 7       2x - y + 2z = 9       3x + 2y - z = 5 Die zugehörigen Normalvektoren sind nicht kolinear. Eliminieren von y in den ersten beiden und in den letzten beiden Gleichungen führt zu       5x + 5z = 25       7x + 3z = 23 Eliminieren von z führt zu       20x = 40 → x = 2 → z = 3 → y = 1 Das Gleichungssystem hat genau einen Punkt als Lösung, der lautet P(2,1,3).

Beispiel 15:       x - y + z = 6       2x - 2y - 2z = 4       -3x + 3y - z = -2 Die zugehörigen Normalvektoren sind nicht kolinear. Als Lagebeziehungen der drei Ebenen kommen nur "ein Schnittpunkt", "eine Schnittgerade" oder "drei parallele Schnittgeraden" in Frage. Eliminieren von x in den ersten beiden und in den letzten beiden Gleichungen führt zu       -4z = -8 → z = 2       -8z = 8 → z = -1 Das ist ein Widerspruch, die letzten beiden Gleichungen, z=2 und z=-1, können nicht gleichzeitig gelten. Dieses System hat keine Lösung, die für alle drei Gleichungen zutrifft. Je zwei der drei Ebenen schneiden einander in einer Schnittgeraden sodass wir drei parallele Schnittgeraden erhalten (siehe auch Beispiel 13).

5. Gauß-Algorithmus - eine Verfeinerung des Eliminationsverfahren

Das Verfahren: Ein jeweils geeignetes Vielfaches der ersten Zeile wird von den anderen Zeilen subtrahiert, sodass die erste Variable in allen anderen Zeilen (bis auf die erste Zeile) wegfällt. Die erste Zeile bleibt während der folgenden Eliminationen unverändert (lediglich ein manchmal vorteilhaftes Vertauschen der Variablen/Spaltentausch wird in allen Zeilen durchgeführt). Dann wird ein Vielfaches der zweiten Zeile von den darunter stehenden Zeilen (3, 4, ...) subtrahiert, sodass nun in den Zeilen 3, 4, ... die zweite Variable wegfällt..... Bei n Variablen und n Gleichungen erhält man wenn das System eindeutig lösbar ist, ein Gleichungssystem, bei dem die letzte Zeile eine Gleichung mit einer Variablen, die vorletzte Zeile eine Gleichung mit zwei Variabeln etc. und die erste Zeile eine Gleichung mit n Variablen darstellt. Wenn es eine eindeutige Lösung gibt, können die einzelnen Variablen von unten nach oben leicht ausgerechnet werden.

Beispiel 21:       x + y + 2z - u = 2       x + 2y - z + u = 6       x - y + z + u = 5       -x + 3 y + 3z - u = 1 Durch geeignete Umformungen (Hier: Addieren bzw. Subtrahieren der ersten Zeile von den anderen) erhalten wir       x + y + 2z - u = 2          -y + 3z - 2u = - 4          -2y - z + 2u = 3          4y + 5z - 2u = 3 Neuerliches Umformen (sodass y eliminiert wird) liefert       x + y + 2z - u = 2          -y + 3z - 2u = - 4             -7z + 6u = 11             3z + 2u = 9 Weiters       x + y + 2z - u = 2          -y + 3z - 2u = - 4             3z + 2u = 9               -16z = -16 Daraus folgern wir (nach bereits bewährten Methoden) z=1, sodann u=3, y=1 und schließlich x=2

Beispiel 22:       x - y + z = 6       2x - 2y - 2z = 4       -3x + 3y - z = -14 Eliminieren von x führt zu       x - y + z = 6             -4z = -8             2z = 4 Bei der Elimination von x ist zugleich y weggefallen, im Gegensatz zu Beispiel 15 haben wir hier keinen Widerspruch. Die Lösung dieses Systems kann geometrisch als eine Schnittgerade (der drei Ebenen) gedeutet werden. Aus z=2 und dem Setzen x:=λ folgt y=λ-4. Die Schnittgerade lautet daher:       g:(x,y,z) = (0, -4, 2) + λ*(1, 1, 0)

Beispiel 23:       x + y + z = 5       2x - y + 3z = 2 Diese System ist unterbestimmt. Geometrisch betrachtet haben wir zwei Ebenen im Raum, welche genau eine Schnittgerade gemeinsam haben (die zugehörigen Normalvektoren sind nicht kolinear). Das Anwenden des Algorithmus führt hier zu       y + x + z = 5          3x + 4z = 7

6. Weitere Beispiele, Lösungsmethoden und Aufgaben

Beispiel 31: Die Ebene x+3y-2z=7 ist parameterfrei darzustellen:       x + 3y - 2z = 7 Eine Lösung der inhomogenen Gleichung x+3y-2z=7: Einen "speziellen" Punkt des Systems erhalten wir bei der Wahl y=z=0, dann folgt x=7       P(7/0/0) Lösung der homogenen Gleichung x+3y-2z=0: Da es drei Variable und eben nur eine Gleichung ist, haben wir zwei Freiheitsgrade (beispielsweise können zwei Variable beliebig gewähltwerden, die dritte ergibt sich daraus). Daher wählen wir zwei Parameter       z:=λ, y:=μ → x=2λ-3μ Die Lösung dieser Gleichung (Ebenengleichung in der Parameterform) lautet zusammenfassend       (x,y,z) = (7, 0, 0) + λ*(2, 0, 1) + μ*(-3, 1, 0)

Beispiel 32: Ermittle die Lagebeziehung folgender drei Gleichungen:       2x + 3y + z = 4       4x + y - z = -2       -2x + 7y + 5z = 16 Mit Hilfe der ersten Zeile eliminieren wir x in der zweiten und dritten Zeile:       2x + 3y + z = 4          -5y - 3z = -10          10y + 6z = -20 Die dritte Gleichung ist mit der zweiten äquivalent. Da wir somit nur zwei unabhängige Gleichungen haben, werden wir später eine Schnittgerade als Lösung erhalten. Da es zwei Gleichungen mit drei Variablen sind, kann im inhomogenen System nur eine Variable frei gewählt werden. Ebenso enthält die Schnittgerade auch nur einen Parameter.       2x + 3y + z = 4          5y + 3z = 10 Um die spezielle Lösung des inhomogenen Systems (irgend ein Punkt, der beide Gleichungen erfüllt) zu erhalten, wählen wir       z:=0 → y=2 sowie x=-1       → P(-1, 2, 0) Fü die Lösung des homogenen Systems 2x+3y+z=0, 5y+3z=0 ergibt sich       z:=5λ → y=-3*λ sowie x=2λ Die Schnittgerade lautet daher       ( x, y, z) = ( -1, 2, 0) + λ*( 2, -3, 5) Bemerkung zur homogene Lösung: Wir fassen (2,-3,5) als Vektor im Raum auf. Die skalare Multiplikation von (2,-3,5) mit jedem der beiden Normalvektoren der Ebenengleichungen ergibt jeweils Null (es ist ja eine homogene Lösung!). Der Vektor (2,-3,5) steht also normal auf jeden der beiden Normalvektoren, liegt deswegen auch in jeder der beiden Ebenen und stellt daher auch die Richtung der Schnittgeraden der zwei Ebenen dar.