Lebenslauf Hilberts Eltern und Großeltern waren bereits in Königsberg, Ostpreußen angesiedelt. Die Männer waren als Juristen und Ärzte tätig. David Hilbert wurde am 23. Jänner 1862 geboren, er war der einzige Sohn. Ab 1870 besuchte er in Königsberg das Friedrichskolleg wo er sich nicht besonders wohl fühlte - vor allem wegen der gedächtnismäßigen Methoden des Sprachunterrichts. 1880 bestand er im Wilhelms-Gymnasium das Abitur. Später bemerkte Hilbert: "Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit Mathematik beschäftigt, denn ich wußte ja, daß ich das später tun würde".
Hilbert war bald mit Hermann Minkowski, welcher 1883 den Preis der Pariser Akdemie erhielt, befreundet. 1884 wurde Adolf Hurwitz als Extraordinarius nach Königsberg berufen, welcher Hilbert und Minkowski in die Funktionentheorie einführte. Hilbert lernte auch nicht so sehr durch systematischen Unterricht oder durch Buchstudium, sondern durch schnelle und tiefe Auffassung und Durchdenken von Dingen, über welche bei Spaziergängen mit den anderen beiden diskutiert wurde. Hilbert: " Einer nahm den Kroneckerschen Beweis für die eindeutige Zerlegung in Primideale vor, der andere den Dedekindschen, und beide fanden wir scheußlich". Am 11. Dezember. 1884 bestand Hilbert das Doktorexamen (invariante Bedingungen für diejenigen Formen, die sich projektiv in eine Kugelfunktion n-ter Ordnung transformieren lassen). Im Juni 1886 folgte die Habilitation. Bis 1892 beschäftigte sich Hilbert mit Formen- und Invariantentheorie [Jedes System in n Variablen besitzt ein endliches Basissystem], bis dahin war er auch Privatdozent. Hilbert hat auch gerne Gebiete, die er zu bearbeiten beabsichtigte, zuerst in Vorlesungen behandelt. 1892 heiratete Hilbert die Königsberger Kaufmannstochter Käthe Jerosch.
Hilberts Arbeitsweise:Hinabsteigen zu den tiefsten Grundlagen einer Fragestellung , und eine überlegene Kenntnis und Beherrschung des Formalismus, die ihm die rechnerischen Hilfsmittel mit fast unbewußter Selbstverständlichkeit in die Hände spielt. [1]
1893 erhielt Hilbert das Königsberger Ordinariat. Hilbert lancierte daraufhin Minkowski für das Extraordinariat. Bei Mathematiker-Vereinigungen hielten die beiden dann Referate über Zahlentheorie. 1895 übersiedelte Hilbert nach Göttingen.
Hilberts Vorlesungen waren schmucklos. Streng sachlich, mit einer Neigung zur Wiederholung wichtiger Sätze, auch wohl stockend trug er vor, aber der reiche Inhalt und die einfache Klarheit der Darstellung ließen die Form vergessen. Er brachte viel Neues und Eigenes, ohne es hervorzuheben. Er bemühte sich sichtlich, allen verständlich zu sein, er las für die Studenten, nicht für sich. Sein Verhalten im Seminar ist legendär geworden: sehr aufmerksam, im allgemeinen mild, für gute Leistungen gern anerkennend, konnte er grober Verständnislosigkeit der Vortragenden genüber plötzlich die Geduld verlieren und in origineller Weiser ungewollt scharfe Kritiken abgeben. [1]
Ab 1898 hielt Hilbert eine Vorlesung über die Elemente der euklidischen Geometrie. Hilbert: "Man muß jederzeit an Stelle von "Punkte, Geraden, Ebenen" "Tische, Stühle, Bierseidel" sagen können." Später erschienen seine "Grundlagen der Geometrie". Ab 1902 beschäftigten sich Hilbert und Minkovski mit Mechanik und Physik. In dieser Zeit, um 1900, galt Hilbert als einer der bedeutendsten Mathematiker. Im Jänner 1909 verstarb Hilberts Freund Minkovski.
Nach 1918 hatte sich Hilbert von Pflichtvorlesungen und Prüfungstätigkeit freigemacht. Gegen sein Leberleiden benützte er ab 1927 als einer der ersten das neue Präparat des Amerikaners Minot. In Göttingen wurde 1930 Hermann Weyl sein Nachfolger, Hilbert verstarb am 23.1.1943.
Hotel des Hilbert Denkmodell zur Verdeutlichung der Problematik beim Umgang mit Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten. Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrer echten Teilmengen ist. Daher kann auch im Hotel des Hilbert, welches unendlich viele durchnummerierte, bereits besetzte, Zimmer hat, ein weiterer Gast problemlos untergebracht werden: Der weitere Gast erhält das Zimmer 1, der Gast vom Zimmer 1 zieht ins Zimmer 2, der Gast vom Zimmer 2 zieht ins Zimmer 3.... .
Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung. (David Hilbert, 1922)
Hilbert: "Diese Mitteilung ist der wesentliche Inhalt der Vorträge, die ich im Frühjahr dieses Jahres in Kopenhagen auf Einladung der dortigen Mathematischen Gesellschaft und im Sommer in Hamburg auf Einladung des Mathematischen Seminars der Universität daselbst gehalten habe."
Nach Hilbert ist die Begründung unserer Wissenschaft, der Mathematik, schwierig, aber durchaus lösbar.
Betrachten wir die reellen Zahlen: Während nach Hilberts Auffassung einige Definitionen der reellen Zahlen durchaus nebeneinander bestehen können, kritisiert er Weyls konstruktives Prinzip als künstlich und zirkulär.
Hilbert geht u.a.. auch von der Dedekindschen Schnitteigenschaft aus, behandelt aber auch daraus entstehende Einwände. In diesem Zusammenhang läuft der Begriff der rationalen Zahlen auf jenen der Menge hinaus. Der begriff der Menge, v.a. in der naiven Mengenlehre, "führte zu einigen Paradoxien". 1901 etwa formulierte der Waliser Mathematiker B. Russell eine Antinomie über Mengen, die auf sich selbst Bezug nehmen.
Russellsche Antinomie (1901) M sei die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. M müßte sich genau dann selbst enthalten, wenn sie sich selbst nicht enthält. Bekannter, bis hin zur Unterhaltungsmathematik, ist diese Antinomie in der Formulierung des Barbier-Pardoxon (korrekter: Barbier-Antinomie, 1918).
Diese und andere Antinomien treten in der naiven Mengenlehre (anschauliche Mengenlehre, nach Cantor, intuitiv, Menge als Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung...) auf. Deswegen schlägt Hilber, zur sicheren Begründung der Mathematik, die axiomatische Methode vor. Deswegen wurde die axiomatische Mengenlehre entwickelt. Ihr ist eine Präzision eigen, um solche Antinomien zu vermeiden. Die Axiomenlehre hebt die Naivität auf. Nach Hilbert ist die Widerspruchsfreiheit der Axiome noch zu zeigen. Eine solche Axiomatik machte es Hilbert auch leichter, das Unendliche zu erfassen.
Die Details seiner weiteren Ausführungen (1, 1+1, 1+1=2, ....) geben auch Anlass, über ganz andere Aspekte, etwa die "Wahrnehmung von Zahlen" und dem "Zählen", nachzudenken. Wie hat alles angefangen??
Nach dem Entwickeln des Kommutativgesetz und einer Nomenklatur über die Zeichensetzung stellt Hilbert fünf Axiome auf, mit denen er die (natürlichen) Zahlen und das Addieren von Zahlen charakterisiert. Weiters modifiziert er die fünf Axiome (Axiom 6 ersetzt Axiom 2). Damit kann man schon ganz gut rechnen.
Gegen Ende des Textes behandelt er noch das Axiom der vollständigen Induktion, Axiome des logischen Schließens, Axiome der mathematischen Ungleichheit sowie arithmetische Axiome.
Hermann Minkowski (1864-1909) beschäftigte sich vorwiegend mit höherer Analysis und der Arithmetik quadratischer Formen. Er zeigte, dass zur Behandlung des von Einstein und Lorentz formulierten Relativitätsprinzip ein vierdimensionaler Raum des Raum-Zeit-Kontinuums erforderlich ist.
Adolf Hurwitz (1859-1919) beschäftigte sich mit vielen Gebieten der Analysis und elliptischen Funktionen.
Claus Hugo Hermann Weyl (1885-1955) Weyl gilt auch als Schüler Hilberts. 1933 emigrierte er und setzte sich auch stark für die aus Deutschland geflohenen Mathematiker ein. Er suchte seinen Zugang zur Mathematik intutionistisch, Ideen und Resultate stellte er gerne geschickt und elegant dar. Weyl hatte auch einen linearen Zusammenhang zwischen Entfernung und Rotverschiebung vorausgesagt.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) Er bewies 1911, dass bei topologischen Abbildungen von Mannigfaltigkeiten die Dimensionszahl invariant ist. In diesem Zusammenhang entwickelte er "seinen" Fixpunktsatz.
Zermelo axiomatisierte 1908 die Cantorsche Mengenlehre: Zu jeder Menge M von Mengen N gibt es eine Auswahlfunktion, die jeder Menge N(i) aus M ein Element aus N(i) zuordnet.
Quellennachweis: Der Lebenslauf stellt im wesentlichen eine inhaltliche Wiedergabe der in den gesammelten Abhandlungen abgedruckten Lebensgeschichte von Otto Blumenthal dar. Die "Neubegründung der Mathematik..." ist wohl als Rezension zu betrachten.
[1] David Hilbert gesammelte Abhandlungen, Dritter Band; 10. Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung (S 157 ff) sowie Lebensgeschichte (S 388 ff, von Otto Blumenthal) (Verlag von Julius Springer, Berlin 1935.
[2]Lexikon der Mathematik in sechs Bänden (Berlin Heidelberg; Spektrum, 2001
[3] Paradoxon (Widersprüchliche Streitfragen, zweifelhafte Rätsel, unmögliche Erläuterungen) von Nicholas Falletta (Hugendubel, 1985; mathematische Unterhaltungsliteratur, in einem kurzen Text wird Hilberts Hotel behandelt)
[5] Das Unendliche, Spektrum der Wissenschaft: Spezial ; 2001.1 [Chefred.: Reinhard Breuer, Heidelberg, Spektrum der Wissenschaft Verl.-Ges. , 2001 ]