Autor: Lairett Guevara

UNIVERSIDAD YACAMBU

Tema: Limite y Derivadas

INTRODUCCION

La siguiente investigación es con la finalidad de conocer, estudiar los diferentes límites y derivadas en sus procedimientos de cada situación real en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatorio continúa. Utilizar las propiedades de la distribución normal, cuando sea posible asociarlas al fenómeno aleatorio, objeto de estudio, y calcular las probabilidades de uno o varios sucesos.

DESARROLLO

LIMITE

¿Que es Limite de una Función?

Es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Límite de una función

La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito).

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p.

Ejemplo

Dado $\lim_{x \to p}2x$ calcúlese su límite únicamente en base a la definición.

Supóngase que el límite buscado existe y que es L, entonces por definición:

$0< |x-p|<\delta \Rightarrow |2x-L|< \varepsilon$

Dividiendo la segunda expresión por 2 tenemos:

$0< |x-p|<\delta \Rightarrow |x-\frac{L}{2}|< \frac{\varepsilon}{2}$

Luego entonces con $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$ existirá el límite por lo que:

$p=\frac{L}{2}, L=2p$

Así tenemos que:

$\lim_{x \to p}2x = 2p$

Con un análisis igual para f(x)=kx se comprueba que:

$\lim_{x \to p}kx = kp$

1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

A) LIMITE EN UN PUNTO.

A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por
(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)

A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

C) LIMITES LATERALES.

C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN EL INFINITO.

A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas.

Dada la función y = f(x), si se verifica que

a) b) c)

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - -
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

(Usa la fórmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

4. Función continua en un punto y en un intervalo.

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
Existe el .
Ambos valores coinciden, es decir .

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).

Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:

y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.

TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)

TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

Demostración:
Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a.

Conceptos de Derivada y sus Aplicaciones en el Campo de las Ciencias Administrativa.

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cuál separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de $f$ , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto $x$ . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Otorga los conocimientos necesarios para llevar a cabo operaciones de cálculo financiero, amortizaciones de préstamos, empréstitos, sistemas de ahorro y préstamos y análisis de proyectos de inversión, así como otras aplicaciones similares en administración de empresas.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ADMINISTRACION E INTERPRETACION

El concepto de derivada es un concepto matemático y tiene, por ejemplo, su

Aplicación en el campo de la física. La interpretación de la formulación matemática de la derivada constituye un marco teórico donde tiene su justificación conceptos tales como velocidad, aceleración, entropía, etc. Análogamente, la tasa de cambio, coste marginal, elasticidad, etc., tienen su fundamento en una interpretación de la formulación de la derivada.

El siguiente ejemplo nos facilita una de las forma de cómo llevar a cabo la interpretación económica de la formulación de la derivada aplicado al concepto de coste marginal.

El coste marginal es un concepto englobado en el Análisis Marginal, que es un área de la economía en la cual se estima el efecto producido en el coste1 cuando el nivel de producción cambia en una unidad. Por ejemplo, si C(x) es el coste de producir x unidades de un cierto artículo determinado, el coste de producir la (x0 + 1) unidad es C(x0 + 1) - C(x0).

Por otro lado, matemáticamente nuestros alumnos conocen la derivada de la función coste (definición de función derivada construida punto a punto):

dC (x)= C( x)= Lím C( x+ Δ x)- C( x)

dx Δ x → 0 Δ x

De aquí se deduce que ( ) 0 C′ x se puede aproximar de la siguiente manera (realizando las oportunas operaciones con el límite):

C′( x0) ≈ C( x0+ Δ x) -C( x0)

Δ x

de modo que cuando Δx = 1,

C( x0 + Δ x) -C( x0) =C( x0+ Δ x)- C( x0)

Δ x

con lo cual, se puede hacer la aproximación:

C′( x0) ≈ C( x0+ Δ x) -C( x0)

Esta relación nos expresa que, en el nivel de producción x = x0, el coste de

producir una unidad adicional (coste marginal) es aproximadamente igual a la derivada

en ese punto de la función coste ( ) 0 C′ x . De este modo relacionamos la derivada (concepto matemático) con el concepto de coste marginal (concepto económico). Esto,

entre otras, es lo que consideramos como interpretación económica de la derivada.

Generalizando para cualquier función, obtenemos las siguientes relaciones, con definiciones análogas a la comentada:

- De la función de coste C(x), la función de coste marginal C’(x).

- De la función de ingreso I(x), la función de ingreso marginal I’(x).

- De la función de beneficio B(x), la función de beneficio marginal B’(x).

- De la función de utilidad U(x), la función de utilidad marginal U´(x).

Se observa así, que los economistas utilizan la palabra marginal (concepto económico) apoyándose en el cálculo de la derivada de una función (concepto matemático), es decir, se ha obtenido una formulación económica en base a una formulación matemática.

Otra faceta distinta y complementaria, es la de adquirir destreza en la técnica de derivar mediante las prácticas aplicable a funciones formuladas desde el punto de vista económico. Aparecen así los ejemplos, ejercicios, problemas, etc., como medio para reforzar y afianzar la concepción teórica aprendida.

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

Sea f una función tal que

i. Sea continua en un intervalo cerrado [a,b].

ii. Sea diferenciable en el intervalo abierto (a,b).

iii. f(a)=0 y f(b)=0.

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que f'( c ) =0

Ejemplo

Dada f(x)=4x³- 9x, verificar que se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle para el intervalo [-3/2, 0] .

Solución
F'(x)=12x² - 9, f'(x) existe para todos los valores de x, luego f es diferenciable en (-¥ ,+ ¥). Las condiciones (i) y (ii) del teorema de Rolle se cumplen en cualquier intervalo. Para determinar en que intervalo se cumple la condición (iii), obtenemos los valores de x para los cuales f(x)=0

F(x)= 4x(x² - 9/4) = 0 si y sólo si x= 0 ó x= +3/2 , x= -3/2, con a= -3/2 y b= 0, el teorema de Rolle es válido en [-3/2, 0]

Teorema del Valor Medio

Sea f una función tal que:

i) Sea continua en un intervalo cerrado [a,b].

ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a,b).

Ejemplo

Hallar todos los números c que satisfagan la conclusión del teorema del valor medio para la función

f(x)= 1+x+x²-2x³ en el intervalo [-1,1]

Solución

La función f por ser un polinomio es continua y diferenciable en todo R y en particular en el intervalo [-1,1], nos piden encontrar los números c en el

Intervalo abierto (-1,1) tales que F(1)=1; F(-1)=3

F'(x)=1+2x-6x², entonces f'( c)=1+2c-6c²

Reemplazando estos valores en (*)

1+2c-6c²=-1 si y sólo si 2+2c-6c²=0

luego c¹ y c² pertenecen al intervalo cerrado [-1,1].

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTE

i) Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente si sólo si f(x₁) < f(x₂) siempre que x₁< x₂ donde x₁ y x₂.

Son dos números cualesquiera en el intervalo.

ii. Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo si y sólo si f(x₁) > f(x₂) siempre que x₁< x₂, donde x₁ y x₂ son dos números cualesquiera en el intervalo.

Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

1. f(x)=3x+8

Solución: f'(x)=3

Se observa que f'(x)=3>0 para todo x en R; en consecuencia la función es creciente en R.

2. f(x)=x²+2x-3

Solución: f'(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f'(x)=0, donde la función f no es creciente ni decreciente.

2x+2=0

x=-1. Es decir para x=-1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el comportamiento de la derivada antes y después de x=-1 f'(x)=2(x+1).

Intervalo	F'(X)	La Función es
(- oo ,1)	-	Decreciente
(-1,+ oo )	+	Creciente

Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x= c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo.

Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x= c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el intervalo.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Teorema: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b):

i) Si f'( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].

ii) Si f'( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

Teorema: Prueba de la primera derivada para extremos

Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f'( x) existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c:

i) Si f'( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f'( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.

ii) Si f'( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f'( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

MAXIMO Y MINIMOS EN TODO SU DOMINIO Y EN UN INTERVALO.

MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

Definición: Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:

I) Si f(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función, f alcanza un valor máximo absoluto

II) F( c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función.

Teorema del Valor Extremo

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b, entonces f tiene máximo mínimo en [a,b], es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c ) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo.

Punto Crítico

Definición: Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:

ii. f'(c)=0 ii). f'(c) no existe

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION

Definición: La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c,f (c))

Si existe f'(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado.

Definición: La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c,f (c))

Si existe f'(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado.

TEOREMA

Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces:

1. si f(x)>0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en [a,b]

2. si f(x)<0. la gráfica es cóncava hacia abajo e [a,b]

Ejemplo: Determinar las concavidades y puntos de inflexión de las gráfica de la función f( x)=x³+3x²-3x-3

Solución: Hallaremos aquellos valores de x en donde f(x)=0 o no existe

f'(x)=3x²+6x-3; f"(x)=6x+6

f"(x)=6(x+1); hacemos 6x+6=0 (f"(x) existe para toda x)

luegox=-1.

Estudiaremos las concavidades en los intervalos (- oo,-1) y (-1,+ oo), con el signo de f"(x) en cada intervalo.

Si x (-oo ,-1) entonces f"(x)<0. La función es cóncava hacia abajo.

Si x (-1,+ oo) entonces f"(x)<0. La función es cóncava hacia arriba.

En consecuencia el punto (-1,f(-1))=(-1,2) es un punto de inflexión.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

1).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

2).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA

Una función, F, se denomina antiderivada de f en un intervalo I, si
F'(x) = f (x) para toda x en I.

Las antiderivadas no son únicas, ya que la derivada de una constante es cero. Si F(x) es una antiderivada de f(x), también F(x) + c para todo número c.

Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas antiderivadas son:

F(x) = x² + 2

F(x) = x² + 1

F(x) = x²

F(x) = x² - 1

F(x) = x² - 2

Si F es una antiderivada de f, entonces se expresa de la forma:

el cual se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x es F(x) + c". El símbolo se conoce como el símbolo de integración, f(x) es el integrando y c es la constante de integración.

CONCLUSION

La importancia que tiene al estudiar derivadas y límites, nos permite conocer como se ejecuta todos sus pasos; es decir Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito). Y Se dice que la derivada se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la economía y la sociología.

BIBLIOGRAFIA

http://personales.com/espana/madrid/Apuntes/integra.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html

Elibros