Estadística

Desviación Estándar

La desviación estándar (DS/DE), también conocida como desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. De hecho específicamente las desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, $\sigma^{}_{}$ .

La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media.

Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.

Es posible calcular la desviación estándar como la raíz cuadrada de la integral

${\sigma}^2 = \int_{-\infty}^\infty {(x - \mu)}^2 f(x) dx$

donde

$\mu = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx$

La DS es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución

$\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2$

Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n-1 (Corrección de Bessel)

$s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n-1}$

También hay otra función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener equivocaciones:

$s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 }{n-1} - \overline{x}^2$

Valor Esperado

(Redirigido desde Esperanza matemática)

En estadística el valor esperado o esperanza matemática (o simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Definición

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles $x_1, x_2 \ldots x_n$ y sus posibilidades representadas por la función de masa $p(x i)$ la esperanza se calcula con

$E[X]=\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)$

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos valores y la función de densidad $f(x)$ :

$E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx$

Las esperanzas $E[X k]$ para $k = 0,1,2...$ se llaman momentos de orden $k$ . Más importantes son los momentos centrados $E[(X - E[X]) k]$ .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado (por ejemplo la distribución de Cauchy).

El valor esperado es una función lineal. Por eso

$E[aX + b] = aE[X] + b$

Varianza

En teoría de probabilidad y estadística la varianza es un estimador de la divergencia de una variable aleatoria $X$ de su valor esperado $E [X]$ . También se utilizan la desviación estándar, la raíz de la varianza.

La varianza $V [X]$ de una variable aleatoria $X$ se define como

$V = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n}= \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 }{n} - \overline{x}^2$

También se expresa como la diferencia entre el momento de orden 2 y el cuadrado del valor esperado:

$V(x)= \langle X^2 \rangle - {\langle X \rangle}^2$

Mientras que la desviación estandar es el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio la varianza es como un área.

Media

Una media, en matemáticas, es un promedio de un conjunto de números. Existen distintas medias matemáticas, como la media aritmética, la media geométrica y la media armónica.

Distribución Binomial

En estadística la distribución binomial es una distribución probabilidad discreta describiendo el numero de éxitos de $n$ experimentos independientes con probabilidad $p$ de un éxito.

Su función de densidad es

$P(X=x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}$

Eso es por que en $n$ experimentos hay $n$ sobre $x$ (el coeficiente binomial) posibilidades para un numero de $x$ éxitos (probabilidad $p k$ ) y $n - x$ no-éxitos ( $(1 - p) n - x$ ).

El valor esperado de una variable aleatoria de probabilidad binominal es $E [x] = np$ y su varianza $V [x] = np (1 - p)$ .

Experimento binomial

La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones:

El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija antes del experimento.
Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en dos posibles resultados, que denotamos por éxito (S) o fracaso (F).
Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.
La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro.

Siguiendo estas premisas la variable aleatoria binomial X está definida como

X = el número de 5 entre los 3 intentos.

Distribución de Poisson

En estadística la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta con un parámetro $λ < 0$ cuya función de masa para sucesos $x=0,1,2,\ldots$ es

$P(X=x)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$

Aquí $e$ significa el número e y $x!$ significa el factorial de $x$ .

La distribución de Poisson describe el número de sucesos en una unidad de tiempo de un proceso de Poisson. Muchos fenómenos se modelan como un proceso de Poisson, por ejemplo las llamadas en una empresa o los accidentes en una carrera.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria $X$ de distribución Poisson son:

$E [X] = V [X] = λ$

Probabilidad

La teoría de probabilidad es una teoría muy intricada y desarrollada para describir los sucesos aleatorios. Las figuras prominentes incluyen matemáticos rusos como A. N. Kolmogorov. Se puede ver la teoría de probabilidad de dos puntos de vista: la sin teoría de medidas, o la con teoría de medidas. El primer punto de vista es lo que se enseña primero, y entonces se introduce la teoría de medidas. Aquí damos los conceptos básicos de la probabilidad.

El espacio de resultados, que normalmente se denota por $Ω$ , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por $ω 1,ω 2$ , etcétera, son elementos del espacio $Ω$ .

La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como

$\mathbb{P}\{S\}$ ,

y mide con qué frecuencia pasa algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.

La probabilidad tiene muchas propiedades importantes, que se muestra en la página Axiomas de probabilidad.

Una variable aleatoria es una función

$X:\Omega\to\mathbb{R}$

que da un valor numérico a cada suceso en $Ω$ .

La función de densidad o densidad de probabilidad de una variable aleatoria es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.

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Última actualización: 11 de octubre de 2005.

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