Reglas para expresar una medida y su error
Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del
Sistema Internacional de Unidades de medida.
Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir
una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo,
cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con
un termómetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energía o "calor"
se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un
pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir.
Así, el
instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos
medir. Además, todas las medidas está afectadas en algún grado por un error
experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de
medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de
registrar la información.
1.-Todo resultado experimental o medida hecha en el
laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la
medida y a continuación, las unidades empleadas.
Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido
297±2 mm.
De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud está en
alguna parte entre 295 mm y 299 mm.
En realidad, la expresión anterior
no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté
entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de
que esté ahí.
2.- Los errores se deben dar solamente con
una única cifra significativa. Únicamente, en casos
excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó
0).
3.-La última cifra significativa en el valor de una magnitud
física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de
corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas,
unidades, décimas, centésimas).
- Expresiones incorrectas por la regla 2
24567±2928 m
23.463±0.165 cm
345.20±3.10 mm
- Expresiones incorrectas por la regla 3.
24567±3000 cm
43±0.06 m
345.2±3 m
24000±3000 m
23.5±0.2 cm
345±3 m
43.00±0.06 m
Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá,
en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como
variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura,
presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las
condiciones de observación del experimentador.
Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos
varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los
resultados obtenidos son x1, x2, ... xn
se adopta como mejor estimación del valor verdadero, el valor medio
<x>, que viene dado por
El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la
magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores
aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo,
en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En
general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5.
Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es
pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede
ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo
resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el
valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la
repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que
solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.
De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que
estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor
estimación del error, el llamado error cuadrático definido por
El resultado del experimento se expresa como
<x>±Dx
y la unidad de medida
4.-La identificación del error de un valor experimental con el
error cuadrático obtenido de n medidas directas
consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error
cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél
que viene definido por la resolución del aparato de medida.
Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el
resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error
cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere
decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error
instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre
las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error
de la medida.
-
Si al hacer una medida de la intensidad con un
amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña
es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante
(no se observan variaciones al medir en diferentes
instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01
A como su error. La medida se expresará así
0.64±0.01 A
-
Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t,
cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite
conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han
sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho
anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:
El error cuadrático será
Este error se expresa con una sola cifra significativa,
(regla 2), Dt=0.05 s. Pero
el error cuadrático es menor que el error instrumental, que
es 0.1 s, por lo que debemos tomar este último como el error
de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio,
(regla 3) por lo que el resultado final de la medida es
t=6.3±0.1 s
-
Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que
los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos:
5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es
5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático
es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que
debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la
regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra
significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el
error con el mismo número de decimales), expresamos la
medida finalmente como
t=6.0±0.2 s
Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son
los errores absolutos. El error relativo se define como el
cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir
donde <x> se toma en valor absoluto, de forma que e
es siempre positivo.
El error relativo es un índice de la precisión de la medida.
Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud
física con aparatos convencionales tenga un error relativo del
orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son
posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.
En muchos casos, el valor experimental de una magnitud se
obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a
partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se
trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de
los errores de las magnitudes medidas directamente.
Funciones de una sola variable
Supongamos que la magnitud y cuyo valor queremos
hallar, depende solamente de otra magnitud x, mediante la
relación funcional
y=f(x).
El error de y cuando se conoce el error de x
viene dado por la expresión.
de nuevo <x> es el valor medio y f' indica la
derivada de la función f(x) respecto de x.
Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las
medidas indirectas es el siguiente:
-
Supongamos que queremos medir el periodo P de un
oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una
oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que
aprecia las décimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que
tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4.6 s,
dividiendo este tiempo entre 10 resulta P=0.46 s, que
es el periodo "medio".
Obtenemos para el error DP=0.01
s. Por tanto, la medida la podemos expresar como
P=0.46±0.01 s
Es evidente, que podemos aumentar indefinidamente la
resolución instrumental para medir P aumentando el
número de periodos que incluimos en la medida directa de t.
El límite está en nuestra paciencia y la creciente probabilidad
de cometer errores cuando contamos el número de oscilaciones.
Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto
tiempo.
Función de varias variables
La magnitud y viene determinada por la medida de
varias magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada
por la función
y=f(p, q, r ...).
El error de la magnitud y viene dado por la siguiente
expresión.
Casos más frecuentes
-
La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm,
y 10.2±0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del
rectángulo y el error de la medida indirecta.
El área es z=1.53×10.2=15.606
cm2
El error relativo del área Dz/z
se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos
magnitudes.
El error absoluto con una sola cifra significativa es
0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del área junto con
el error y la unidad se escribirá como
15.6±0.6 cm2
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