Curso de Laboratorio

Este curso de laboratorio te permitirá adquirir herramientas para un curso tradicional, lo hemos diseñado con el fin de formar ingenieros capaces de realizar prácticas de física de alto nivel. Adquirirás habilidades de trabajo individual y en conjunto; sabrás observar tu entorno y lo tomaras siempre en cuenta para explicar las posibles variaciones en tus experimentos; y aprendas a llevar una bitácora de campo, a redactar un informe e interpretar correctamente tus resultados.

Buscamos que este texto de laboratorio te guíe en actividades experimentales y que obtengas resultados con significado. De esa forma no estarás haciendo un juego con números, sino que puedes obtener resultados interesantes que te dan una intuición de las magnitudes que manejas. Deseamos que busques y compres algunos materiales de bajo costo para experimentar y que adquieras un poco de la habilidad como ingeniero.

Se diseñaron experimentos que abarcan varios temas de la física y se obtienen resultados importantes como la aceleración de la gravedad, índice de refracción, etc. Al obtener un resultado cercano al que se indica en los libros, percibirás que tu trabajo es interesante y te motivarás para continuar con el curso.

Por último se procuró que los experimentos pudieran ser realizados con equipos que no fueran costosos, de fácil adquisición y manejo, con el fin de prestarlos fuera de la universidad y que te permitan hacer tu experimento en casi cualquier lugar, sin necesidad de que sea un laboratorio acondicionado como tal.

Las actividades en el laboratorio se dividen en tres tipos: las tareas, los experimentos y exámenes. En las tareas se dan los datos en el texto y no hay que entregar un informe, solo hay que resolverlas. En el experimento se pide que obtengas los datos que vas a manejar, tienes que entregar un informe, además de tener toda la información básica en la bitácora. En los exámenes se pedirá que calcules procedimientos matemáticos hechos en las prácticas y por lo general serán al final del curso.

· Realizar investigación bibliográfica, electrónica y llevar a cabo estudio personal.

· Realizar mediciones sencillas; interpretar, registrar y realizar operaciones correctamente con las lecturas de estos datos.

· Identificar las variables independiente y dependiente, y establecer el intervalo de sus valores.

· Conocer y utilizar los procedimientos básicos estadísticos y de medición, así como representar gráficamente los resultados.

· Los informes se deben entregar en hojas blancas impresas o bien hojas rayadas o cuadriculadas si no dispones de impresora.

Tendrás la habilidad para manejar los conceptos aprendidos en el curso, en especial:

UNIDAD 1 Manejo del Cuaderno de Bitácora

Tarea I: Cuaderno de Bitácora y análisis de un artículo de la especialidad que se cursa

UNIDAD 2 Informe del experimento

UNIDAD 7 Cambio de Variable en las Gráficas

Cuando se está llevando a cabo un experimento, hay que registrar la información valiosa que se está obteniendo, pero también hay que registrar toda la información que va alrededor de los datos que se obtienen del experimento, porque también esa información es importante. Por ejemplo se están siguiendo procedimientos, que tal vez en ese momento se pensaron y se realizaron, o tal vez se improvisaron algunos dispositivos para mejorar el método de medición. Es importante tener un registro de esos hechos por que pueden ser utilizados para presentar un informe claro y recordar con buen detalle como se llevó a cabo tal parte del experimento o por que los datos tuvieron el comportamiento que están presentando los resultados.

La elaboración del informe se simplifica mucho si se empieza a escribir mientras se está haciendo el experimento, en esta etapa la ortografía no es determinante, escribe tus ideas conforme se te ocurran, esto hace más fácil el escrito porque está fresco en la mente, posteriormente, a la hora que revises tu bitácora para escribir el informe, podrás ir corrigiendo la escritura, ortografía y redactando en mejor forma tus ideas.

Al cuaderno de notas donde se va a registrar la información del experimento le llamaremos Bitácora.

Existen dos tipos de Bitácora; la Bitácora de presentación y la Bitácora de campo. La Bitácora de Presentación busca servir como un pre-informe por el orden y pulcritud en que se encuentran todas sus partes, normalmente tienen un sitio especial donde se escribe y puede ser de un tamaño voluminoso.

La Bitácora de Campo es aquella en la que se toman los datos en el lugar que se realiza la actividad, tal y como se van dando, se hacen observaciones a tiempo, es generalmente de fácil transportación y manejo, y es la que está expuesta a la intemperie.

Existen incluso unas libretas diseñadas para este tipo de trabajo como las libretas de nivel y de tránsito, pero depende de ti con cuál te acomodes más. En este curso buscamos que lleves una bitácora de campo para que no trabajes de manera doble. Si hay correcciones en las tareas no tendrás que pasar todo nuevamente en limpio, sino que se adicionarán directamente.

La bitácora debe llevar una carátula. Esta debe tener toda la información que caracterice al cuaderno: a que curso corresponde, quien es el dueño del cuaderno, quienes son los asesores, cual es el horario y el lugar de asesorías, a que institución pertenece, y alguna forma de localizar al dueño por si se pierde, etc.

La bitácora debe ser de hojas no desprendibles y tener todas sus hojas numeradas. Esta medida es con el fin de evitar la pérdida de información y en su caso, saber qué página es la faltante. La información significa tiempo y esfuerzo, y en nuestro caso, puede significar calificación.

Para cada una de las actividades, se deben anotar los siguientes datos en la bitácora: la fecha de cada una de tus actividades, las notas de clase, los datos obtenidos, los procedimientos relevantes, la ficha bibliográfica del libro o revista de donde se obtuvo la información, las referencias electrónicas si consultaste en Internet, la radio o la televisión, y párrafos sobresalientes que pueden servir para redactar el informe. Haz tus anotaciones con tinta, el lápiz se borra fácilmente con el manejo de la bitácora y además ensucia el trabajo.

Hay que anotar todos los detalles aunque algunos parezcan sin importancia, se debe considerar que cuando se tiene que hacer el informe, el dato o hecho que no se anotó puede ser importante.

Hay que pegar o engrapar si es posible todo el material suplementario usado, como hojas, fotografías, recortes de periódico, anotaciones fuera de la bitácora, notas de remisión, facturas, etc. Cuando cometas un error no borres el dato o la información, solo hazle una raya encima y, si es necesario, escribe la razón por la que se tachó.

Siempre que sea posible haz un dibujo o un bosquejo de la situación o del dispositivo, sigue siendo válido que un dibujo vale más que mil palabras. La información que hay que guardar, se debe escribir directamente en la bitácora. No debes anotarla en un papelito para luego transferirla a la bitácora porque de esa forma se pierde una de las cualidades que debe tener una bitácora. En caso contrario usa memorias USB o almacenes masivos como yahoo maletín.

El alumno tiene que buscar, experimentar en forma activa, tomar direcciones diferentes, fallar y volver a intentarlo hasta descubrir donde se encuentran los resultados que desea, cometer errores es parte del desafío. El aprendizaje representa un esfuerzo tras otro. La bitácora debe mostrar este esfuerzo de buscar, experimentar, de volver a intentar. En la bitácora se debe observar que se cometieron errores y se capitalizaron como fuente de información. Por lo tanto no es de esperar que la bitácora tenga una buena presentación. Mas bien tiene el aspecto de un borrador con correcciones porque tiene párrafos tachados, notas entre líneas, etc. El objetivo es que si se cometió un error, se pueda corregir en asesoría con los profesores.

Después de haber hecho el experimento, de haber tomado los datos, de obtener resultados y explicar porque se dieron esos resultados; no está terminado el trabajo si no se ha informado a alguien. No se puede pensar que después de que se haya hecho todo ese trabajo, sea para guardarlo en el cajón del escritorio. Uno de los pasos importantes cuando se hace un experimento es el informe, que sirve para dar a conocer a alguien la actividad realizada. Por lo tanto la claridad es esencial en el informe. Las metáforas, las expresiones idiomáticas y los embellecimientos gramaticales deben ser evitados en un informe de un experimento ya que pueden causar confusión.

Un informe aceptable debe permitir el acceso a las observaciones, debe contener la información básica para que se puedan repetir los experimentos de la misma forma como se hicieron. Debe ser un escrito que permita a una persona que no participó en el experimento comprender todo lo que se realizó.

Existen varias formas de ordenar el informe, una de las más usuales en Ciencias Básicas, y es la que se va a utilizar aquí, es: Título, Resumen, Introducción, Métodos y Materiales, Resultados, Gráficas, Discusión, Conclusiones y Apéndices. Es decir el Método Científico.

Existen varios tipos de informes; en este texto vamos a describirte los puntos más sobresalientes de cada parte de un informe de laboratorio docente.

Es importante que hagas un borrador antes de sentarte a escribir el informe de tu experimento, esto es con el fin de que sea claro, que tenga coherencia lógica y sea de fácil lectura. El borrador debe incluir tus observaciones, lo que esperabas obtener al iniciar el trabajo y el orden en que vas a ir presentando tus resultados. Debes tomar en cuenta que las palabras que vas a utilizar, deben estar de acuerdo con tu nivel de conocimientos que has adquirido hasta este momento (nivel licenciatura). Evita poner palabras innecesarias, verbos en gerundio (terminaciones “ando, iendo”), “etcétera” como recurso ante falta de información o pereza, palabras polisémicas (que puedan tener muchas interpretaciones o significados) y palabras de significado vago, por ejemplo no utilices sacar en vez de calcular o determinar.

La buena ortografía es esencial (ten un diccionario a la mano en caso de dudas) y trata de hilar todas tus oraciones. Los signos de puntuación como comas, y puntos ayudan a que se comprenda mejor lo que escribiste. Puedes distinguir muy claramente las partes de tu informe poniendo encabezados y títulos de sección.

Cuando tengas que utilizar palabras de significado difícil de entender, escribe una nota al pie de la página, para que esto ayude a su comprensión.

Practica desde ahora la honestidad intelectual, es el único modo en que puedes aprender, si falseas tus resultados terminarás por no saber cuál es el resultado correcto y estarás desperdiciando tu tiempo.

La portada es la primera hoja de tu informe y debe contener al menos los siguientes datos: Título, nombre del autor o autores, institución a la que pertenece, curso y grupo en el que se hizo, nombre del asesor o asesores, fecha de realización.

El título debe definir con la menor cantidad de palabras posibles y en forma adecuada el contenido del informe. Debe haber un equilibrio entre lo específico del concepto y el contenido que representa el título. Mientras más específico sea el concepto, el contenido será menor, así si escribimos "Gravedad" el contenido es basto porque el concepto se está refiriendo a cualquier aspecto de la gravedad, pero si escribimos "Determinación de la aceleración de la gravedad utilizando un péndulo” el contenido ha disminuido, porque el concepto se ha hecho más específico, en este caso al aumentar el número de palabras. Si el título es muy largo, podemos separarlo en título y subtítulo.

El resumen se escribe hasta el final de los trabajos y se pone inmediatamente después de la portada de un informe, es recomendable que tenga una redacción que invite a la lectura, debe permitir al lector identificar el contenido básico del documento en forma rápida y precisa, para determinar su relevancia e interés, debe ser visto como la versión en compacto del informe. Por lo tanto, el resumen debe contener un breve sumario de cada una de las secciones del informe, es decir, debe establecer los objetivos principales y el punto de vista de la investigación, describir en forma sumaria la metodología empleada, sintetizar los resultados y establecer las principales conclusiones y resultados obtenidos. De preferencia el resumen se debe escribir en pasado, porque se refiere al trabajo hecho y no debe de exceder de 250 palabras a menos que el trabajo sea muy extenso, es muy importante que se incluyan en esta parte del informe los resultados obtenidos y un resumen de las conclusiones mas importantes a las que llegaste en tu experimento.

La introducción la empezamos a escribir en nuestra bitácora inmediatamente después de que obtuvimos los resultados de nuestros cálculos. Esto nos ayudará a escribir la introducción con base en nuestras conclusiones finales. La introducción es la primera parte del documento en sí mismo, y en ella se define el objetivo u objetivos que intentamos demostrar con el experimento. Se debe dar la información básica suficiente para que el lector pueda entender y evaluar los resultados del estudio, sin necesidad de ir a consultar otros textos. Es decir, debe:

· Si alguien ha informado de resultados sobre el mismo experimento, escribir éstos y hasta donde llegó en la solución;

· Indicar la referencia bibliográfica utilizada, en especial si se tienen que justificar ciertas afirmaciones o ciertas ecuaciones;

· Enunciar los principales resultados a los que esperamos llegar con nuestra investigación.

La mayor parte de la introducción se debe escribir en presente, porque se está refiriendo al problema y estableciendo los conocimientos previos para empezar el trabajo y en futuro (hipótesis) hasta donde queremos que llegue este.

El objetivo principal de esta sección es describir el diseño experimental con suficiente detalle para que una persona competente pueda repetir el experimento. El método debe escribirse de preferencia en orden cronológico. Es similar a una receta de cocina, "Cómo" y "Cuánto" deben ser contestados satisfactoriamente.

Para materiales se deben incluir con especificaciones técnicas exactas, sus cantidades y sus fuentes o métodos de preparación. Si es necesario hay que poner la lista de reactivos con sus propiedades físicas y químicas usando sus nombres genéricos y evitando poner marcas. Esta sección debe escribirse en pasado y muy importante, no hay que incluir "Resultados".

Para escribir los resultados, previamente se hace una descripción general del experimento (sin repetir los detalles de la sección de Materiales y Métodos) y se muestran los datos que se obtuvieron, pueden estar solamente escritos, o mejor aún, en forma de gráficas. En esta sección se analizan los datos con el fin de obtener ecuaciones que describan y predigan el comportamiento del experimento en futuras repeticiones. En ocasiones el fenómeno descrito no concuerda con ninguna ecuación conocida y en estos casos se presentan los datos como los resultados en forma de tablas.

Los resultados tienen que escribirse claramente y en forma sencilla. Si solo tenemos pocos datos, debe hacerse un tratamiento descriptivo de ellos en el texto, es decir, hay que presentar los cálculos de cada uno de los datos cuidando que las unidades de estos estén en SI[1] para que sea más sencillo obtener el resultado deseado.

Si se van a presentar muchos datos, es recomendable hacerlo por medio de tablas o gráficas numerándolas adecuadamente. Al presentar tablas no hay que repetir palabras. Tampoco repetir, en las tablas o las gráficas, párrafos o frases que ya se escribieron en el texto de Métodos y Materiales. Esta sección debe ser escrita en pasado, porque se está presentando lo que se obtuvo. Si te das cuenta, el trabajo hecho en la bitácora es en gran parte esta sección del informe, por lo que tú sólo tendrás que pasarla a una escritura en tiempo pasado, mejorar las palabras que usaste y pasarlo en limpio.

b) Las excepciones, las observaciones personales, las faltas de correlación, los resultados que no concuerdan con todo el experimento (también son resultados valiosos);

Es conveniente hacer observaciones e hipótesis desde que se está trabajando en la bitácora que logren justificar el por qué de los resultados obtenidos. Las conclusiones son muy importantes y por esa razón, además de presentarse y detallarse en esta sección, deben escribirse en el resumen.

El texto debe ser escrito en pasado, pero cuando se refiera al trabajo o las conclusiones de otras personas debe presentarse en presente, porque es conocimiento establecido. Es recomendable contestar las preguntas que se ponen al final de cada actividad o las preguntas que te hayas hecho al ir desarrollando el experimento (ve anotándolas en la bitácora), ya que te pueden ayudar en la elaboración de las conclusiones; incluso puedes desarrollarlas y agregarlas al contexto de tus conclusiones (esto no significa que puedes poner el cuestionario como tus conclusiones, sino que puedes utilizar tus respuestas como parte de tus conclusiones siempre y cuando las sepas entrelazar en tus oraciones).

Compara tus conclusiones con los objetivos planteados al inicio del experimento.

Si encontraste un resultado adverso o que no esperabas, trata de explicar por qué te dio este resultado. Incluso puedes proponer, con base en tus observaciones, modificaciones para repetir el experimento y tratar de llegar al resultado deseado si es que tenemos datos previos.

Esta sección del informe la ponemos hasta al final (pero hemos arrastrado todos los datos en nuestra bitácora) porque pueden interrumpir la fluidez de la lectura del informe. Simplemente en el informe señalamos con alguna notación personal cuando hemos utilizado algún libro, revista, pagina de Internet o hasta una comunicación personal, y si al posible lector le interesa saber mas al respecto, consultará las referencias.

La información se debe escribir siempre de la misma manera, para uniformar la presentación.

Los elementos importantes en este tipo de referencias son: El autor o autores, el título completo del libro o revista. En el caso de un libro además el pie de imprenta que consiste en el lugar de edición, la editorial y la fecha de expedición. En el caso de revistas, el nombre de la revista, el número de volumen de la revista y las páginas donde viene el artículo. El caso de las páginas de Internet se ve en el siguiente tema. En forma general existen tres sistemas para la presentación de las referencias bibliográficas, que son las siguientes: Nombre y año; Número y Lista Alfabética y; ordenados según se citan. (Ver Sección 2.10.1)

Cada día hacemos más uso de la electrónica para obtener información, a través de Internet, televisión, radio, fax, teléfono, localizador, disquetes, etc. En todas ellas lo más importante es escribir el nombre del autor o la institución que le sacó a la luz, la fecha de consulta y su dirección (si la tienen). Para hacer este tipo de referencias, lo primero es identificar que estilo tiene. Existen cuatro estilos según la APA (American Psychological Association)[2] :

Artículos de Bases de Datos Propias; Documentos Formales; Sitios Regulares en Internet y Comunicados Personales. (Ver Sección 2.10.2).

Para mayor información sobre como redactar un informe y ordenar sus partes, leas a Rodríguez Plaza, J. “Guía Práctica para la Redacción de Informes Científicos”. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana, México, 1994. 55 pp. Podrías utilizarla inclusive para realizar el informe de tu proyecto terminal.

Para simplificar las reglas a seguir en los sistemas de referencias bibliografías y citas electrónicas, pondremos entre los signos <...> la información que se solicita llenar como formatos fijos.

Se coloca el nombre del primer autor, empezando por el apellido y separados por una coma se ponen las iniciales de su o sus nombres en mayúsculas. Por un punto y coma se separan los siguientes autores colocándolos en el mismo formato que el primero, si hay muchos autores se pueden enumerar todos o poner "et. al." que significa "y otros". Luego se pone el año de publicación de la referencia, después, separado por un punto se pone el título. En adelante, separado por un punto, se tienen dos opciones:

Si la referencia es un libro, se pone la edición si es de la segunda en adelante. Si es primera edición no se pone. Por último la editorial y la ciudad donde fue impreso.

Si la referencia es un artículo, se pone la revista en forma abreviada, luego el número de volumen de la revista y separada por dos puntos las páginas inicial y final con un guión de separación entre ellas.

Alegría, M.; Cohen S.; Gómez C.C.; López A.E. 1997. Apuntes para el Manejo de Información Documental. 4ª edición. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Azcapotzalco, México.

Rodríguez, P.J. 1994. Guía Práctica para la Redacción de Informes Científicos. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Azcapotzalco, México.

En este sistema se citan las referencias por número después de que fueron ordenados alfabéticamente.

1. Alegría, M.; et. al. 1997. Apuntes para el Manejo de Información Documental. 4ª edición. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Azcapotzalco, México.

2. Rodríguez, P.J. 1994. Guía Práctica para la Redacción de Informes Científicos. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Azcapotzalco, México.

Se citan las referencias por número según van apareciendo en el artículo. Se sigue el formato de Nombre y Año, y solo se cambia el año al final separándolo de las páginas por medio de un punto y coma, o por una coma si se trata de un libro.

1. Alegría, M.; Cohen S.; Gómez C.C.; López A.E. Apuntes para el Manejo de Información Documental. 4ª edición. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana, México, 1997.

2. Rodríguez, P.J. Guía Práctica para la Redacción de Informes Científicos. Editorial de la Universidad Autónoma Metropolitana, México, 1994.

2.10 CITAS ELECTRÓNICAS

Brandes, J. (1999, may 6). Citing the world wide web in style [American Psychological Association and Modern Language Association Formats] Troy State University FR Regional Library. 12pp. consultado el 25 de agosto, 1999 en Internet: http://www.tsufl.edu/library/5/Citation.htm

Existen cuatro estilos de citas electrónicas según la APA (American Psychological Association):Los Artículos de Bases de Datos Propias, los Documentos Formales y los Sitios Regulares en Internet deben tener sangría en el primer renglón y se deben escribir a doble espacio.

Este tipo de artículos son los más difíciles de citar, debido a que generalmente no poseen un URL (Uniform Resource Locator). Son del tipo de manejo comercial y bancario, que para tener acceso a ellas se requiere la clave de ingreso, el software comercial en disquetes o CD también debe presentar este formato. Los elementos que debe incluir, si los tiene, son:

a) Nombre del autor, editor, compilador o traductor, se pone completo el apellido paterno y después separados por una coma las primeras iniciales de los nombres, por último se pone un punto (.). Si se tienen varios autores se sigue el mismo estilo y se separan por punto y coma. También se puede usar el formato que se presenta en las referencias bibliográficas.

b) Fecha de publicación o de la última actualización de la página. Si no se puede encontrar la fecha, se pone la de consulta en la red. La fecha va entre paréntesis.

c) Título del documento. Los títulos de libros o documentos gubernamentales van subrayados; no así los de revistas y periódicos. Si es necesario, se pueden usar corchetes después del título para poner cualquier información adicional acerca del documento, por ejemplo [Resumen] o [Periódico, historias seleccionadas de la red] o [Citas de libros].

d) Información sobre la publicación. Los títulos de las revistas y los periódicos van subrayados.

e) Tamaño del artículo. El número de las páginas consultadas. Si se desconoce este número, poner entre corchetes el número total de páginas del artículo <[#]>. O si, no están numeradas poner entre corchetes la leyenda sin numeración <[sin numeración]>.

f) Código de Acceso. La forma de presentar el código de acceso es el siguiente:

Consultada el <Mes Día, Año> de una base de datos en línea: <Nombre de la Base de Datos [compañía que realizó la base de datos]: URL (si lo tiene)>

<Apellido paterno, primeras iniciales de los nombres>. <(Año, Mes, Día)>. <Titulo>. [<información adicional>]. <Título, volumen, número>. <número de las páginas>. Consultada el <Mes Día, Año> de una base de datos en línea: <Nombre de la Base de Datos [compañía que realizó la base de datos]: URL (si lo tiene)>

Budd, J.M. (1992, Octubre). The degrees of knowledge. Library Quarterly, 44-54. Consultada en Abril 28, 1998 de una base de datos en línea: Expanded Academic ASAP [Information Access Company].

Quinn, M. (1997, septiembre 23). Billy Graham ads zero in on Bay Area. Knight-Ridder/Tribune Business News. [23 párrafos]. Consultada en mayo 8, 1998 de una base de datos en línea: General Business File ASAP [Information Access Company].

Son los correspondientes a artículos de revistas, diarios, documentos gubernamentales o libros en la red.

b) Fecha de publicación o de la última actualización de la página. Si no se puede encontrar la fecha, se pone la de consulta en la red. La fecha va entre paréntesis.

· Si el documento es de un periódico o revista hay que seguir los pasos anteriores.

· Si el archivo es un libro o un documento gubernamental hay que poner (sin subrayar) el nombre del publicista, versión del libro, lugar de la publicación o nombre de cualquier institución responsable de tenerlo en la Red.

a. Si el documento es un periódico o revista hay que seguir los pasos anteriores.

<Apellido paterno, primeras iniciales de los nombres>. <(Año, Mes, Día)>. <Titulo>. [<información adicional>]. <el nombre del publicista, versión del libro, lugar de la publicación o nombre de cualquier institución responsable de tenerlo en la Red >. <número de las páginas>. Consultada el <Mes Día, Año> de la Red Mundial de información: <URL >

Ronsenthal, R. (1995). State of New Jersey V. Margaret Kelly Michaels: An overview [resumen]. Psycchology, Public Policy, and Law, 1, 247-271. Consultado en Febrero 25, 1996 de la Red Mundial de Información: http://www.apa.org/journals/ab1.html

Standfest, S.R. (1996, Mayo). Focus on stress: The police supervisior and stress. FBI Law Enforcement Bulletin, 65 (5), 7-10. Consultado en Abril 28, 1998 de la Red Mundial de Información: http://www.fbi.gob/leb/may962.txt.

Lee, H. (1998). User. Hsien-Chi Lee. Consultado en Mayo 14, 1998 de la Red Mundial de Información:

Christie, A. (1920). The mysterious affair at Styles. Project Bartleby Archive. Consultada en Abril 28, 1998 de la Red Mundial de Información: http://www.cc.columbia.edu/acis/bartleby/christie

Estos son las páginas comunes de la Red, obviamente no son ni artículos de revistas o periódicos, ni documentos gubernamentales ni libros.

b) Fecha de publicación o de la última actualización de la página. Si no se puede encontrar la fecha, se pone la de consulta en la red. La fecha va entre paréntesis.

e) Información sobre la publicación. Se pone quién o qué institución mantiene el documento en la Red.

f) Tamaño del artículo. Se declara la longitud del documento entre corchetes o se pone la leyenda [Sin numeración].

g) Clave de Acceso. Consultada en <Mes día, año> en la Red Mundial de Información: <URL>.

<Apellido paterno, primeras iniciales de los nombres>. <(Año, Mes, Día)>. <Titulo>. <información de la publicación>. [<tamaño del artículo>]. Consultada en <Mes Día, Año> en la Red Mundial de Información: <URL >

Morenus, D. (1997). The real Pocahontas. David´s Townhouse. [3 páginas]. Consultado en Abril 14, 1997 de la Red Mundial de Información: http://www.geocities.com/broadway/1001/poca.html

Gradson, J. (1998). Life in Ancient Egypt. Carnegie Museum of Natural History. [Sin numeración]. Consultada en Abril 7, 1998 de la Red Mundial de Información:

Los Comunicados Personales pueden ser cartas, memorándums (memos), u otras comunicaciones electrónicas (por ejemplo, E-mail, grupos de discusión {CHAT}, mensajes de boletines de pantalla), conversaciones telefónicas, faxes, televisión, radio, beeper y cosas por el estilo.

Debido a que no se pueden recuperar estas formas de información, los Comunicados Personales no se incluyen en los listados de referencia. Las citas de comunicados personales van exclusivamente en el texto.

<Primera(s) Inicial(es) del(los) Nombre(s). Apellido Paterno> (Comunicado Personal, <Fecha exacta del comunicado en el formato Mes día, año, si es posible la hora>).

También se pueden incluir las citas en el texto, poniendo el formato anterior entre paréntesis.

OBJETIVOS: Conocer algunas definiciones en metrología, realizar observaciones sencillas e interpretar correctamente sus lecturas, con el número adecuado de cifras significativas.

El problema del empleo de los términos error e incertidumbre, valor verdadero, así como la incertidumbre en las mediciones es muy antiguo y hace apenas 20 años que se empezó a trabajar internacionalmente para tratar de llegar a un acuerdo tanto matemático como de terminología. En 1981 se encomendó a un comité de la International Organization for Standarization (ISO) la elaboración de una guía que aclarase algunos términos y que indicara cómo llegar a la expresión de incertidumbres y comparar adecuadamente diversos resultados experimentales de mediciones.

En la industria es cada vez mayor el grado de estandarización que existe, es labor del ingeniero estar actualizado en estos temas, por esta razón te presentamos lo más reciente que se ha realizado en este campo. En este texto utilizamos el documento realizado en 1997 por el Buró Internacional de Pesas y Medidas y la organización ISO.

Vamos a comenzar aclarando algunos términos empleados en metrología y que aquí utilizamos con idéntico significado.

Metrología: Es la ciencia que trata de las medidas, de los sistemas de unidades adoptados y los instrumentos usados para efectuarlas e interpretarlas. Abarca varios campos como la metrología térmica, eléctrica, acústica, dimensional, etc.[3]

Metrología Dimensional: Encargada de estudiar las técnicas de medición que determinan correctamente las magnitudes lineales y angulares (longitudes y ángulos).

Mensurando[4]: Es una descripción de la magnitud que se va a medir, donde frecuentemente especificamos

ciertas condiciones y estados físicos. El mensurando no puede ser descrito completamente porque se necesitaría

Ejemplo: La velocidad del sonido en aire seco con una composición (fracción molar) de N₂=0.7808, O₂=0.2095,

Ar =0.00935, y CO₂= 0.00035 a una temperatura de T = 273.15 K y una presión de P = 101325 Pa.

Magnitud: Atributo que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. Se puede referir una magnitud en sentido general o particular.

Magnitud en sentido general: Longitud, tiempo, masa, temperatura, resistencia eléctrica, concentración de la cantidad de sustancia, etc.

- concentración de cantidad de sustancia de etanol en una muestra determinada de vino.

Magnitudes del mismo tipo: Son aquellas que pueden ser colocadas en orden relativo de magnitud una con respecto a otra

Valor de una magnitud: Dimensión de una magnitud particular generalmente expresada como una unidad de medida multiplicada por un número.

Valor verdadero convencional: Valor atribuido a una magnitud particular y al cual se le asocia una incertidumbre aceptada, algunas veces por convención, apropiada para un propósito dado. Recibe también los siguientes nombres: valor asignado, mejor estimado de un valor, valor convencional.

Para un propósito específico, el valor asignado a la magnitud realizada mediante un patrón de referencia puede ser tomado como un valor verdadero convencional.

a) el valor recomendado CODATA (1986) para la constante de Avogadro: 6.0221367 x 10²³ mol^-1.

Medición: Conjunto de operaciones que tienen por objetivo determinar un valor de una magnitud.

Procedimiento de medición: Conjunto de operaciones, descritas específicamente, usadas en la realización de mediciones particulares de acuerdo a un método dado. Normalmente este procedimiento es asentado en un documento denominado “método de medición o procedimiento de medición”.

Error: Es un concepto idealizado. Los errores no pueden ser conocidos exactamente. Existen de 2 tipos: sistemáticos y aleatorios (estocásticos). Es por la probabilidad de existencia del error que nunca se podrá conocer exactamente el valor del mensurando; lo único que podemos conocer es su valor estimado.

Error Relativo: Es la definición de error usada en la práctica: Diferencia del resultado de una medición con el valor verdadero convencional dividido entre el valor verdadero convencional.

Incertidumbre: Es una forma de expresar (como un parámetro) el hecho de que, para un mensurando y su resultado de medición dados, no hay un solo valor, sino un número infinito de valores dispersos alrededor del resultado que son consistentes con todas las observaciones, datos y conocimientos que se tengan del mundo físico y que con distintos grados de credibilidad pueden ser atribuidos al mensurando.

El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación estándar (o un múltiplo dado de ella), o la mitad del ancho de un intervalo (semintervalo) que tiene un nivel de confianza establecido {incertidumbre del instrumento}.

Algunos laboratorios de calibración han adoptado la práctica de expresar la “incertidumbre” en la forma de límites superior e inferior que definen un intervalo que tiene un “mínimo” nivel de confianza, estas incertidumbres no pueden ser convertidas a una incertidumbre estándar sin conocer cómo fue calculada.

Anteriormente se utilizaba la clasificación en incertidumbres “aleatorias y sistemáticas”, actualmente esto se deja a identificación de fuentes de error. Asimismo hoy se agrupan las incertidumbres en dos categorías según el método de evaluación,

Tipo A: aquellas que se evalúan por métodos estadísticos (Observaciones repetidas). Los componentes se caracterizan mediante las varianzas y/o desviaciones estándar y el número de grados de libertad. En algunos casos debe darse el valor de las covarianzas

Tipo B: aquellas que se evalúan por otros medios. Son todas que sean aproximaciones a las varianzas y/o desviaciones estándar cuya existencia se supone.

No existe una diferencia marcada entre los Tipos de Incertidumbre A y B sino que podemos ponerlas en función de la estimación del mensurando: las incertidumbres de Tipo A se obtienen a través de métodos estadísticos ilimitados, es decir se evalúan una misma cosa varias veces por varias técnicas e instrumentos, mientras que las de Tipo B son de recursos mas limitados, es decir, se toma solo una medición, se utiliza solo un instrumento, no se evalúan totalmente las condiciones del mensurando pero el tratamiento estadístico es el mismo y de hecho pueden combinarse siempre y cuando se ponga explícitamente el método de cómo se obtuvieron cada una de las incertidumbres

Sistema Internacional de unidades: La Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), seleccionó en sus reuniones (1954-1971) las siete magnitudes básicas base del Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, del francés Sistème International d’ Unités.

Magnitud	Unidad	Símbolo
Tiempo	Segundo	s
Longitud	Metro	m
Masa	Kilogramo	kg
Temperatura Termodinámica	Kelvin	K
Corriente eléctrica	Ampere	A
Cantidad de Sustancia	mol	mol
Intensidad lumínica	Candela	cd

Existen otros sistemas de unidades como el gaussiano y el inglés (todavía usado en Estados Unidos, Birmania y Liberia como sistema de medición).

En México se dispones de información en la norma oficial mexicana NOM-Z-1981, Sistema Internacional de Unidades (SI), editada por la Dirección General de Normas de la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial (SECOFI).[5]

Patrón: Valor verdadero convencional asignado a las unidades de las magnitudes

Segundo: Es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos de átomo de cesio 133 (13ª CGPM 1967, resolución 1).

Metro: Es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un lapso de 1/299 792 458 de segundo (17ª. CGPM 1983)

Kilogramo: Es la masa igual a la del prototipo internacional del kilogramo (1ª y 3ª CGPM 1889 y 1901)

Kelvin: es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (13ª CGPM 1967, resolución 4).

Ampere: Es la intensidad de una corriente eléctrica constante que mantenida en dos conductores paralelos rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a un metro de distancia entre sí producirá en el vacío ente estos conductores una fuerza igual de 2 x 10^-7 newton por metro de longitud (9ª CGPM 1967, resolución 2).

Mol: Es la cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales como existen átomos en 0.012 kg de carbono 12 (14ª CGPM 1971, resolución 3).

Candela: Es la intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 10¹² hertz, cuya intensidad energética en esa dirección es 1/683 watt por esterradián* (16ª. CGPM 1979, resolución 3).

Dimensiones: Nombres que se usan para caracterizar las cantidades físicas. Por ejemplo

Precisión de un instrumento: Mínima capacidad de medición que tiene un instrumento o mínima escala.

Corrección: Valor añadido algebraicamente al resultado no corregido de una medición para tratar de compensar el error sistemático.

Factor de corrección: Factor numérico por el cual se multiplica al resultado de una medición para tratar de compensar al error sistemático.

Desviación estándar experimental para una serie de n mediciones del mismo mensurando, la magnitud s (q_k) que caracteriza la dispersión de los resultados, está dada por la fórmula:

donde qk es el resultado de la k-ésima medición y es la media aritmética de los n resultados considerados.

En la recolección de datos se tienen dos tipos de errores experimentales, los sistemáticos y los estocásticos. Ambos contribuyen al error en la medida de las cantidades. Los errores sistemáticos son debidos a causas identificables y pueden, en principio, ser eliminados. El experimentador tiene que identificar y eliminar los errores sistemáticos El error sistemático se presenta como consecuencia de un efecto reconocido (o identificado) de la magnitud que influye en el resultado de una medición (efecto sistemático). Este tipo de errores se identifican, en general porque producen una variación constante en la medición de la magnitud, son consistentemente muy grandes o muy pequeños.

Un instrumento con una calibración pobre, por ejemplo, un termómetro cuya lectura nos da 102°C cuando esta inmerso en agua hirviendo y 2°C cuando esta en agua helada a presión atmosférica. Tal que los valores medidos con el termómetro pueden resultar consistentemente más altos.

Por ejemplo, paralaje al tomar la lectura con una escala métrica. Este error se elimina si el observador se coloca justo enfrente de la escala graduada y no de lado.

Hay magnitudes que son modificadas por la temperatura, la humedad o la presión ambientales, si en el momento de la medición las condiciones actuales son diferentes a las condiciones de calibración, las medidas estarán desviadas.

Debido a simplificaciones del sistema modelo o a aproximaciones en las ecuaciones que describen al sistema, por ejemplo, si una fuerza de fricción está actuando durante el experimento pero esta fuerza no está considerada en la teoría, entonces los resultados teóricos y experimentales serán completamente distintos.

Si al hacer la medición de una magnitud varias veces y en cada vez el resultado es distinto, debido a fluctuaciones, los errores son estocásticos. Estas variaciones se deben a que en la medición y en la magnitud influyen una cantidad muy grande de variables que no pueden ser controladas. Como la variación de los valores es debida a fluctuaciones es posible estimar alrededor de que valor se están dando estas fluctuaciones. Un error aleatorio se presenta por variaciones impredecibles o estocásticas, temporales y espaciales de la magnitud que influye en el resultado de una medición. Los efectos de estas variaciones, efectos aleatorios, dan origen a las variaciones en observaciones repetidas del mesurado. Las fuentes de errores estocásticos no siempre pueden identificarse, aunque dichas fuentes pueden ser las siguientes:

Por ejemplo, errores en el juicio de un observador en la lectura de la escala de un instrumento de medida que presenta pequeñas divisiones en la escala o bien errores de paralaje o ángulo bajo el cual se mira un dispositivo analógico.

Por ejemplo, fluctuaciones impredecibles en la línea de voltaje, temperatura, o vibraciones mecánicas de un equipo.

En la práctica existen muchas fuentes posibles de error, entre ellas están las siguientes:

1. Definición incompleta del mensurando (magnitud particular sujeta a medición)

2. Realización imperfecta de la definición del mesurando (medición de otro mensurando)

3. Muestreos no representativos- la muestra medida puede no representar el mensurando definido

4. Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre las mediciones, o condiciones imperfectas de dichas condiciones ambientales

5. Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos

8. Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y usados en los algoritmos de reducción de datos

9. Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos de medición

10. Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones aparentemente iguales.

Los errores estocásticos, no así los errores sistemáticos, pueden ser cuantificados por análisis estadístico; por lo tanto, los efectos de los errores estocásticos en las cantidades o leyes físicas bajo consideración pueden determinarse. Cuando se reporte el resultado de una medición de una magnitud física es obligatorio proporcionar alguna indicación cuantitativa de la calidad del resultado. Esta indicación es la Incertidumbre, que es un parámetro asociado con el resultado de una medición que caracteriza la dispersión de valores que razonablemente pudiera ser atribuida al mensurando. Como ejemplo de lo anterior podemos decir que en una determinación del valor de la aceleración de la gravedad en la Cd. de México, un estudiante minimiza sus errores sistemáticos y así obtiene una medida de 9.7 m/s² con muy poca diferencia del valor aceptado (podemos decir con muy poco error) sin embargo por el manejo de sus cantidades involucradas en la medición de esta aceleración, reporta una gran incertidumbre de ±0.5 m/s².

En el caso general, la incertidumbre en la medición se agrupa en dos categorías según su método de evaluación:

B aquellas que se evalúan por otros medios

Dado que el modelo matemático para la evaluación de la incertidumbre puede ser incompleto, todas las cantidades relevantes deberían ser variadas al máximo practicable (es decir, hay que ser pesimista) para que esta evaluación se base, tanto como sea posible en datos observados. La incertidumbre la expresaremos, a menos que se indique lo contrario, por la incertidumbre estándar la cual es la incertidumbre del resultado de una medición expresada como una desviación estándar

Como los cálculos tienen tendencias a producir resultados que consisten en largas filas de números, debemos de tener el cuidado de citar el resultado final con sensatez. Propiamente, asentar el número de cifras que representan algún significado, Cifras Significativas, con las cuales debe registrarse el resultado.

El número de dígitos conocidos con certeza en una cantidad se llama número de cifras significativas (c.s.).

Las cuatro reglas que empleamos para determinar el número de c.s. son las siguientes:

1.- El dígito no nulo más a la izquierda es la cifra más significativa (c+s).

2.- Si no hay punto decimal, el dígito no nulo más a la derecha es la cifra menos significativa (c-s).

3.- Si hay punto decimal, el dígito más a la derecha es la c-s, aunque sea cero.

4.- Todos los dígitos entre la c+s y la c-s se cuentan como cifras significativas.

Cuando se pone un número, por ejemplo 12.57, el último número de la derecha es significativo, y está indicando que el siguiente número, que debería ir más a la derecha, ya no está definido, es decir, el valor 12.57 se encuentra entre los valores 12.565 y 12.575.

Al proceso en el cual solo colocamos las cifras significativas en el resultado le llamamos Redondeo.

El redondeo consiste en eliminar las cifras que no son significativas, bajo las siguientes reglas:

a) Si la cifra que se va a eliminar es menor que cinco, la cifra significativa que está a la izquierda se deja con el mismo valor que tiene en el número completo. Por ejemplo, si se redondea 35.27 a dos cifras, como la tercer cifra es menor que cinco, el número redondeado es 35. El cinco se dejó tal cual.

b) Si la cifra que se va a eliminar es mayor o igual a cinco, la cifra significativa que está a la izquierda, aumenta en una unidad su valor que tiene en el número completo. Por ejemplo, si se redondea 35.27 a tres cifras, como la cuarta cifra es mayor que cinco, el número redondeado es 35.3, es decir, el dos se aumentó a tres.

Las incertidumbres en las escalas, son la mitad de la mínima marca. Es decir, si en una regla su mínima escala son milímetros, la incertidumbre es ±0.5mm. Si su mínima escala son centímetros, la incertidumbre es ±0.5cm. Así si medimos con la regla que tiene su escala en mm y obtenemos una lectura de 51mm, el resultado de la medición se debe registrar como 51 ± 0.5mm.

Supongamos que tenemos una regla graduada en mm y la medida de una hoja de papel nos da 27.3 cm, es decir la precisión es de

, si deseamos dar la medida de la mitad de la hoja dividimos entre dos el resultado, lo que nos da 13.65 cm, ahora tenemos una precisión de

¡No es posible! Lo que ocurrió fue que la división nos dio ese resultado que debemos desechar y en su lugar escribir 13.6 cm. Lo que deseamos poner de relieve es que las cantidades medidas no son exactas y que los cálculos derivados de ellas tampoco son exactos y dependen de la primera medida, no por dividir o multiplicar podemos tener mayor exactitud. Consideremos el caso en el que dos objetos se van a colocar juntos en el platillo de una balanza. Cada uno ha sido pesado previamente y sus pesos fueron de 19.3 gr y 1.52 gr. ¿Cuál será el peso combinado? El objeto de 19.3 gr no pesa exactamente 19.3 gr, pero su peso está comprendido entre 19.25 y 19.35 gr. La primera cifra no registrada podría ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 o -1, -2, -3, -4, -5. Esa cifra es un número desconocido, que podríamos representar por una interrogación; y, de hecho, cada cifra siguiente podría representarse por una interrogación. Una medición más precisa determinaría los números que deben reemplazar las interrogaciones.

La suma es 20.8 gr, y todos los números después del 8 son desconocidos, porque la suma de 2 y un número desconocido se desconoce.

En algunos casos un número es muy pequeño para sumarlo con otro. Se puede ver en un microscopio que una varilla se expande 0.025 cm cuando se calienta. Si se midió la longitud original y se encontró que era 75.2 cm, la longitud después del calentamiento es de:

La expansión no hace una diferencia significativa en la longitud, aunque se midió su extensión. Los ejemplos siguientes demostrarán que un razonamiento semejante se aplica a la sustracción:

La regla general es que, al sumar o restar, el resultado no puede tener más decimales que el número con menos decimales utilizado en el cálculo. Dicho de otra manera el resultado tiene la misma cantidad de cifras decimales que el número que menos tiene, empleado en los cálculos. Es recomendable redondear al mismo número de cifras decimales los números que se van a sumar o restar; p.ej., 33.6 menos 2.67 debe cambiarse a 33.6 menos 2.7, lo que da un resultado de 30.9

La técnica de utilizar interrogaciones en lugar de las cifras no registradas se puede extender también a la multiplicación y la división. Nótese que en los siguientes ejemplos cada interrogación se trata igual que si fuera un número:

El ejemplo a) muestra que el producto de dos números, cada uno con tres cifras significativas, tiene sólo tres c.s. En el ejemplo b), el producto de un número con cinco c.s. multiplicado por otro con dos c.s. tiene sólo dos c.s. Similarmente, en c) dividir un número con tres c.s. entre otro con tres c.s. da un cociente con sólo tres c. s.

En d), el cociente de un número con cuatro c.s. entre uno de dos c.s. tiene sólo 2 c.s. La regla general es que, al multiplicar o dividir, el resultado no puede tener más c.s. que el número con menos c.s. utilizado en el cálculo. Esto es razonable, porque un resultado no puede ser mejor que la peor medición usada para calcularlo.

Por ejemplo, en la multiplicación, al hacer la operación 0.91 * 1.23 el resultado queda: 1.1193. El número 1.1193 presenta una precisión mucho mayor que la precisión de los factores. No suena creíble y nos conducen a la incorrecta aplicación de un resultado de absurda exactitud.

¿Cuántas cifras debe tener el resultado? De los dos factores el que menos cifras significativas tiene es 0.91, el cual solo tiene dos cifras significativas, el 9 y el 1, hay que poner como resultado 1.1 porque así el resultado también tiene dos cifras significativas. Hay que notar que cuando se suma o se multiplica, el número de cifras significativas puede aumentar por la siguiente razón: supongamos que se mide con una cinta graduada en mm y obtenemos para el largo de un objeto 25 mm, si deseamos saber el largo de 5 objetos puestos uno tras otro, multiplicamos por 5 (o sumamos cinco veces) y obtenemos 125 mm, el resultado no lo debemos escribir como 120mm = 1.2x 10² mm, con dos cifras significativas (como dice la regla), lo correcto es escribirlo como 125. Esto significa que disponemos de una cinta que tiene más de 125 mm de largo y que por lo tanto podríamos medir cinco objetos puestos uno tras otro, si este es el caso entonces escribir 125 mm es correcto (con tres cifras significativas), aunque ni el 25 ni el 5 tengan tres cifras significativas.

En todas las ciencias es común encontrar cantidades formadas por una o dos cifras significativas seguidas de una gran fila de ceros, por lo que resulta muy incómodo expresar tales cantidades y, sobre todo, realizar operaciones con ellas.

Por ejemplo las distancias astronómicas, donde las distancias entre los astros tienen magnitudes de millones de kilómetros, por dar un ejemplo, la distancia de la tierra a la galaxia de Andrómeda es del orden de:

La notación científica hace más simple expresar estas cantidades, y por consiguiente realizar operaciones entre ellas. La unidad seguida de varios ceros se expresa con el número 10 elevado a una determinada potencia, es decir:

Así podemos expresar la distancia la galaxia de Andrómeda de la siguiente forma:

Entonces el número, en notación científica se debe expresar colocando el primer dígito y luego el punto, después todas las cifras significativas restantes y por último la potencia de 10 que corresponde. A manera de ejemplo, el diámetro de nuestra galaxia es de 25 000 pársec, un pársec en metros es igual a 30 856 780 000 000 000 m/pársec: entonces el tamaño de nuestra galaxia en metros es:

Pero usando la notación científica, se puede hacer en forma más sencilla por que nos ahorramos muchos ceros.

Así si usamos la notación científica, el diámetro de nuestra galaxia es de 2.5*10⁴ pársec, un pársec en metros es igual a 3.0 856 78*10¹⁶ m: entonces el tamaño de nuestra galaxia en metros es:

al presentar el resultado usando las cifras significativas que le corresponden queda como:

como el tamaño de la galaxia en pársec solo tiene dos cifras significativas, el resultado solo debe llevar dos cifras significativas.

Tarea III: Medidas e Incertidumbres

Desarrolla las siguientes actividades y contesta las preguntas que se te solicitan. Registra las lecturas observadas y compararlas. No olvides registrar la precisión del instrumento y su incertidumbre asociada.

Para cada resultado o resultados que obtengas justifica por que salen los valores dados y regístralo en tu bitácora. Discute con el asesor los resultados.

1. Usando una regla graduada en milímetros y el vernier que te proporcionara el profesor, llena la tabla siguiente para un vaso de vidrio.

2. Con un termómetro, que debes solicitar al maestro, mide la temperatura ambiente a diferentes horas del día y haz una gráfica de temperatura contra hora del día.

¡No coloques el termómetro a la irradiación directa del Sol! Si no puedes conseguir el termómetro ambiental usa la radio o algún otro medio electrónico para obtener la temperatura a diferentes horas del día. Apunta el lugar donde se toma la medición.

3. Busca un reloj de manecillas, de preferencia que el reloj sea grande por ejemplo de pared. Hacer una lectura del reloj, primero observándolo a 45º de su perpendicular, después en forma perpendicular. Dibuja la manera en que hiciste tus medidas y los resultados.

PREGUNTAS

1.- Con qué es más fácil medir los diámetros y la profundidad del vaso ¿Con el vernier o con la regla?

3.- ¿Menciona tres efectos del medio ambiente sobre un instrumento metálico de medición?

4.- ¿Qué instrumento, la regla o el vernier, es más preciso y cuál es la razón?

OBJETIVOS: Calcular el promedio y la desviación estándar de una distribución normal de un conjunto de lecturas, para estimar la incertidumbre asociada.

Cuando se hace una medición, tendemos a decir que ese es el valor de lo que medimos. Pero si medimos por segunda vez, usando el mismo equipo y trabajando con el mismo método y nos encontramos con la sorpresa de que el resultado numérico no es el mismo, entonces tenemos un problema; ¿Cuál es el valor de esa medición?

Estas diferencias no se deben a un mal funcionamiento de los equipos de medición, ni a que los métodos utilizados sean incorrectos. Se van a deber, más bien, a que hay muchos factores que están afectando la medición, los cuales no podemos controlar, ya hemos dicho que se trata de los errores estocásticos. Aunque estos resultados varían, es posible obtener información muy valiosa del comportamiento del fenómeno que se está estudiando. Estos datos obtenidos, tienen una cierta regularidad, forman una cierta distribución. Cuando se tienen una serie de datos es posible estimar algunos parámetros que determinan todas las características de la distribución del conjunto. Para esto es suficiente obtener una buena cantidad de datos, los más posibles considerando el tiempo y los recursos con los que se cuenta. Con esta serie de datos se deben buscar: un valor que estime cómo se agrupan, y un valor que indique cómo se dispersan alrededor de ese valor en el que se agrupan.

Lo primero que se puede hacer para definir la distribución de este conjunto de datos sería hacer una tabla agrupada de datos, los pasos serían los siguientes: determine el número de intervalos de la tabla; después calcule el tamaño de cada intervalo; se hace la tabla de datos; y por último se dibuja el polígono de frecuencias. Para explicar estos pasos con mayor claridad desarrollamos un ejemplo:

El número de intervalos debe ser tal que se tenga una gran cantidad de datos en cada uno de los intervalos y después si es posible una gran cantidad de intervalos. Por ejemplo si se tienen 100 datos se pueden hacer 8, 9, 10, 11 o 12 intervalos, así se garantiza que cada intervalo va a tener 10 datos, más o menos. Para determinar el número de intervalos N que son convenientes para la distribución se puede utilizar la fórmula:

Lo que nos indica que se dividan los datos en 9 intervalos, así se tienen una cantidad grande de datos en cada intervalo y una cantidad moderada de intervalos.

Para obtener el tamaño del intervalo, se debe buscar de entre los datos, los valores menor (x_menor) y mayor (x_mayor), y dividir su diferencia entre el número de intervalos (int), así se tiene el tamaño de intervalo D_x

Entonces el primer intervalo va desde x_menor hasta (x_menor +D_x), el segundo intervalo va desde (x_menor +D_x) hasta (x_menor +2D_x), ), el tercer intervalo va desde (x_menor +2Dx) hasta (x_menor +3Dx), el i-ésimo intervalo va desde (x_menor+[i-1]Dx) hasta (x_menor+iDx), y así sucesivamente hasta el último intervalo que va desde (x_mayor - Dx) hasta (x_mayor).

El dato que va a representar al intervalo, la marca de clase, es el punto medio del intervalo, así en el intervalo i-ésimo el punto que los representa es:

donde, x_i es el límite inferior del intervalo i-ésimo x_i+1 es el límite superior y X_i es la marca de clase del intervalo i-ésimo.

Se hace una tabla donde se registran: El límite inferior, el límite superior, el punto que marca al intervalo (la marca de clase), y la frecuencia. En la columna de las frecuencias se hace lo siguiente: para un dato dado se observa en que intervalo se encuentra, entonces se pone una raya vertical en la hilera de ese intervalo, si ya se tienen cuatro rayas verticales, como siguiente dato, se cruzan estas cuatro rayas con una diagonal y así queda un paquetito de cinco datos (conteo con palitos). Si algún dato tiene el mismo valor que el límite superior del intervalo se coloca en este intervalo, aunque coincida con el límite inferior del intervalo siguiente, solo en el caso de que sea el primer intervalo entonces si se coloca el valor en el intervalo donde el valor es el límite inferior. Cuando se terminan de colocar todos los datos, se hace la suma de cada intervalo, y se coloca el total.

Al final de la columna se pone el total de todas las frecuencias, el cual debe coincidir con el número total de datos. La Tabla IV.2 muestra la tabla de datos.

Por último, se hace una gráfica en donde en el eje de las abscisas se colocan las marcas de clase y en el eje de las ordenadas se colocan las frecuencias. La línea quebrada que une los puntos se llama polígono de frecuencias.

La Figura IV.1, presenta el polígono de frecuencias. Si la gráfica se presenta, por barras que tienen de altura (en las ordenadas) la frecuencia; de ancho el intervalo centrado en las marcas de clase como abscisas, entonces, la gráfica es un histograma

Como segundo paso, se debe estimar un número que represente esa distribución en su totalidad, este valor debe tender al centro de la distribución. Este número nos informa cómo está agrupado el conjunto de datos. Son tres las principales medidas de tendencia central: La moda, la mediana y la media.

El dato que tiene la mayor frecuencia en la tabla de datos se denomina moda. Algunas veces se pueden presentar distribuciones que tienen dos máximos, a estas se les llama bimodales. El dato que divide a la población de datos de tal forma que a cada lado de ese dato se encuentra el 50% de la totalidad de los datos recibe el nombre de mediana. Si se colocan todos los datos en orden numérico y se divide a la población de datos en dos partes iguales la división es la mediana. La media o el promedio esta definido por:

Si cada valor x_i se repite f_i veces, la fórmula anterior se puede escribir como:

Esta última expresión nos ayuda en el cálculo de la media, cuando se tienen una gran cantidad de datos. Así si se coloca una última columna en la tabla de datos que corresponda al producto de la marca de clase por la frecuencia y en la base se suma esta columna, se tiene la sumatoria de la fórmula anterior. Este resultado se divide entre el número total de datos y se obtiene la media. Si cada uno de los valores x_j es un valor muy grande, para simplificar el cálculo conviene restar a cada uno de estos un mismo número constante. Entonces se sigue el procedimiento indicado anteriormente y al resultado final, para calcular la media, se le aumenta el valor constante y se obtiene el mismo resultado que si no se hubiera quitado el número, pero con la gran ventaja de que no se manejaron números grande en las operaciones. En muchas situaciones la media se aproxima al "valor real" si n es muy grande. Para una distribución simétrica la media, la mediana y la moda coinciden todas en el centro de la distribución, pero en una distribución asimétrica cada una de ellas tendrá un valor diferente.

TABLA IV.3. Método para calcular el promedio si se tienen una gran cantidad de datos.

Siguiendo con el ejemplo de Radiación de Fondo, se completó la tabla IV.2 con una última columna, según se indicó, y en la base de la columna se hace la suma, al final se divide entre el número total de datos y se obtiene:

Si le parece interesante, le puede quitar a cada dato el valor constante de 14200. Y vuelva a hacer todo el cálculo, de: tabla de datos, polígono de frecuencias, e histograma y media. Al final sume, a la media obtenida, la cantidad que quitó y compare con estos resultados. Se recomienda que se calculen las medidas de tendencia central que faltan, usando los datos de radiación de fondo.

Ahora que hemos estimado el agrupamiento de datos, necesitamos estimar la incertidumbre de este valor, un número que represente la dispersión de esa distribución. Este número nos debe informar cómo está disperso el grupo de valores alrededor del valor de tendencia central. Algunas formas en las cuales el intervalo de datos alrededor del valor medio puede caracterizarse, son: El Rango, la Desviación Media y la Desviación Estándar.

La diferencia entre los valores menor x_menor y mayor x_mayor, del grupo de datos define el Rango, Ran.

La desviación media D_medes el promedio de las desviaciones, es decir, es la suma de todas las diferencias dato menos media (en valor absoluto) para todos los datos obtenidos, dividida entre el número de datos.

La Desviación Estándar s, es la más usual de las desviaciones. Es la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones respecto a la media, al cuadrado, dividida por el número de total de datos, o sea:

En el caso de pocos datos, es conveniente hacer la operación anterior. Cuando se tienen una gran cantidad de datos, se puede usar una forma alternativa de dicha fórmula y siguiendo con la notación:

Para aprovechar esta fórmula se agrega una columna más a la tabla de datos, la correspondiente al producto de la última columna "Marca*Frec" con la antepenúltima "Marca". En la base de la columna se pone la suma correspondiente, como se hizo en las columnas anteriores. La suma de la columna nueva es la primer sumatoria de la fórmula y el cuadrado de la suma de la tercer columna "Marca*Frec" es la segunda sumatoria. Si a todos los datos se les quita una constante, la desviación estándar obtenida es igual a la desviación estándar calculada en los datos en los que no se les quitó la constante. Si la Desviación Estándar es pequeña, como consecuencia el intervalo de los valores medidos alrededor del valor medio es pequeño; entonces, la precisión en las medidas es alta. La Desviación Estándar es siempre positiva y tiene las mismas unidades que los valores medidos. A la tabla de datos, Tabla IV.3 de la Radiación de Fondo, le agregamos la columna extra, frec*(Marca)², y se obtiene la Tabla IV.4, entonces la dispersión estándar, queda:

TABLA IV.4. Método para calcular la desviación estándar si se tienen una gran cantidad de datos.

Cuando se tiene que informar el valor obtenido con el manejo de un grupo de datos se debe poner la media y como incertidumbre la dispersión estándar.

La distribución de Gauss se utiliza en muchos tipos de mediciones físicas porque los fundamentos teóricos de la distribución se cumplen en muchas de estas mediciones, entonces se presenta como una descripción adecuada de las variaciones en las mediciones de una misma magnitud. Se debe tener cuidado cuando se manejen cierto tipo de mediciones, porque existen algunas en las que no se cumple la distribución gaussiana, por ejemplo el decaimiento radiactivo en el cual se cumple otra distribución, la Distribución de Poisson. Pero si las mediciones dan números altos y se pueden hacer muchas mediciones de un parámetro, la distribución de Gauss describe razonablemente la variación de una misma medición. Si se tiene una distribución de valores medidos alrededor del valor medio para un juego de datos, donde cada juego es n medidas repetidas de la misma cantidad física.

La distribución de datos alrededor de un valor central, se debe a una cantidad grande de pequeñas fluctuaciones. Si las mediciones son independientes entre sí, es decir el resultado de una medición no influye en el resultado de la siguiente medición; y el parámetro es continuo, cuando el número de medidas repetidas de la misma cantidad física se vuelve muy grande, es decir, tiende a infinito, n®¥,

La Desviación Estándar se denota por s. N(x), representa la frecuencia a la cual el valor x se obtiene como resultado de una simple medida.

Entonces los valores medidos son distribuidos simétricamente alrededor del valor medio, como lo muestra la figura IV.2.La expresión analítica para dicha curva es:

La ecuación anterior es la Distribución de Gauss (o Normal).Si las medidas son hechas con gran precisión, la distribución de Gauss presenta un pico agudo en el valor medio. La probabilidad de obtener el valor x como resultado de una simple medida, que es el área bajo la curva de la expresión anterior, esta dada por P(x).

El área bajo la curva para cualquier distribución de Gauss, se pueden encontrar utilizando una tabla normal estándar y cambiando a unidades estándares la escala de unidades reales. La medida de la distribución sirve como punto de referencia, y la desviación estándar como la unidad que mide distancias relativas a partir del valor medio. La tabla normal estándar fue ideada de manera que se pueda leer en unidades de z, que es el número de desviaciones estándar del valor medio. La tabla muestra el área bajo la curva (es decir, la probabilidad de que un valor quede en ese intervalo) entre el valor medio y valores seleccionados de z. Como la distribución normal es simétrica con respecto a su valor medio, el lado izquierdo de la curva es imagen del lado derecho, debido a esta simetría, en una tabla se acostumbra proporcionar solo la mitad de la distribución. El valor más probable como resultado de cualquier simple medida es el valor medio. La distribución de Gauss tiene la propiedad que el 68.26 % de las medidas caen dentro del intervalo que va desde -s hasta +s, (±s), y el 95 % de las medidas caen dentro del intervalo (±1.96s).

Si se utiliza como medida de dispersión la desviación media D_med, el 57.5 % de las medidas caen dentro del intervalo (± D_med). Es común que el valor buscado y su incertidumbre sean (±s), así lo tomaremos aquí.

Objetivo: Determinar la temperatura del cuerpo humano Evaluar las medidas de tendencia central y de dispersión para pocos y muchos datos.

II. Con 100 datos o más, sigue pasos del 1 al 5, y calcula el promedio y la desviación estándar.

Como ayuda se presentan 2 tablas con 50 datos obtenidos en prácticas anteriores.

III. Usando pocos datos, del orden de 10 calcula las medidas de tendencia central, de dispersión y realiza la gráfica de frecuencia & Temperatura.

Tabla IV.5. 50 datos obtenidos de la medición de la temperatura a personas del sexo femenino.

Tabla IV.6. 50 datos obtenidos de la medición de la temperatura a personas del sexo masculino.

3. Toma, en la axila, la temperatura de la persona. Registra el sexo de la persona a la que se

le midió la temperatura, la fecha y la hora de la medida y, la actividad física que llevó

4. Limpia el termómetro con alcohol, otra vez. Si se van a tomar más datos repite los pasos

5. Después de obtener la cantidad de datos necesarios. Realiza la tabla de datos y grafica

Sugerencia: Te recomendamos que tomes la temperatura a varias personas sin importar el sexo y después intercambies estos datos con tus compañeros de laboratorio de acuerdo al sexo que eligieron.

Nota. La sección de preguntas se agrega para que tengas una orientación de lo que se pide en el experimento. Se recomienda que se contestes las preguntas en la bitácora y que en el informe las integres al texto, pero no como preguntas, sino como parte del texto del informe que se tiene que presentar. Le da más elegancia al informe y te pueden ayudar a generar excelentes conclusiones.

¿Qué diferencia encontraste en la desviación estándar al usar 10 y 100 datos?

¿Tienes alguna explicación de los valores más alto y más bajo que obtuviste? Desarróllala.

Alrededor del valor más probable y considerando que la distribución de temperaturas medidas es Gaussiana ¿En qué intervalo caen las medidas con una probabilidad de:

OBJETIVO: Determinar propagaciones de incertidumbres en las operaciones básicas y en funciones sencillas.

Recuerda que cuando se establece una medida se hace con su incertidumbre, si esta se utiliza para el cálculo de otra variable, entonces hay que saber como tomar en cuenta la incertidumbre en la variable original.

Por ejemplo, si conoces la incertidumbre en la medida del lado de un cuadrado, cómo calculas la incertidumbre en el área.

Este tipo de preguntas es muy común en la industria y a ellas nos vamos a enfocar en esta unidad.

La propagación de incertidumbres es un método para determinar la incertidumbre cuando un valor se calcula utilizando uno o más valores con incertidumbres estimadas conocidas. Existen dos maneras de calcular la incertidumbre propagada: mediante un cálculo de valores máximos y mínimos que puede tomar el valor calculado o bien a través de derivadas parciales que supone conocimientos más avanzados de cálculo, primero vamos a utilizar el enfoque sencillo y práctico, al final, en el material complementario, explicamos y ejemplificamos el método a través de derivadas parciales. Como puedes observar el método de máximos y mínimos da una propagación un poco mayor que la calculada por derivadas parciales, en este sentido, es un método pesimista.

Para tener una visión completa de la propagación de incertidumbres es necesario que leas el material complementario. Este método se discutirá separadamente para los casos en que se tiene adición y sustracción de medidas; multiplicación y división; potencias; exponenciales; logaritmos; seno y coseno.

Sean 2 valores medidos junto con sus incertidumbres estimadas, a estas incertidumbres las llamaremos incertidumbres absolutas:

la incertidumbre de la medición es el parámetro asociado con el resultado de una medición que caracteriza la dispersión de los valores, que razonablemente pudiera ser atribuida al mensurando; ya sabemos que puede ser la mitad de la mínima división presentada por el instrumento de medición o bien por la desviación estándar de un conjunto de datos.

Se define la incertidumbre relativa como la razón entre la incertidumbre absoluta y el valor medido, por ejemplo la incertidumbre relativa de la medida x, es:

Como ejemplo se tomarán cuatro valores y se les aplicarán las operaciones que se muestran más adelante

Sean dos valores con sus correspondientes incertidumbres

x=(88 ± 4.2)=(8.8 ± 0.42)*10¹; y=3.712 ± 0.050

y dos valores exactos:

a=4; b=67

Para el valor x, su incertidumbre absoluta es 4.2 y su incertidumbre relativa es 4.2/88 = 0.048.

Si f es una función de los valores medidos y w =f(x, y), la incertidumbre “dw” se puede calcular aplicando la ecuación:

donde

representan el valor máximo y mínimo, respectivamente, que puede tomar la función de acuerdo con las incertidumbres de los valores.

Como puedes observar se trata de determinar el intervalo en que puede estar la función a calcular. Para aclarar como funciona esta ecuación vamos a calcular algunas incertidumbres que vas a utilizar a lo largo de este curso.

Pasemos ahora a una situación muy común en laboratorio, la adición y sustracción de medidas con sus incertidumbres conocidas ¿Cómo se propaga la incertidumbre a la suma? Vamos a utilizar la metodología planteada.

vamos a calcular la incertidumbre propagada, para ello calculamos primero w_M y después w_m. Recordemos que a manera de ejemplo utilizamos

Siguiendo las recomendaciones para la escritura de cifras significativas de la sección 3.4, debemos escribir tantos decimales, como haya en el número que menos decimales tenga, es decir:

Para obtener el la incertidumbre propagada procedemos de la misma forma en que lo hicimos en los ejemplos anteriores, es necesario darse cuenta en este caso que W_M se obtiene a partir de la resta

Si seguimos la regla para la escritura de cifras significativas, el resultado nos queda como:

como vemos la incertidumbre es la misma que la de la resta, en el material complementario demostramos que esto ocurre así en general.

Para el caso de la Multiplicación, suponiendo que la función w se define de la siguiente forma: w = ax donde a es constante positiva de valor conocido sin incertidumbre y x es un valor medido con incertidumbre dx conocida.

Vamos a calcular los valores máximo y mínimo de esta función, es decir w_M y w_m

Esto significa que la función w puede tomar como máximo el valor de 368.8 y como mínimo el valor de 335.2, por supuesto que puede tomar todos los valores intermedios.

Esto quiere decir que w está en un intervalo centrado en 352. Para obtener el intervalo realizamos la operación w_M- w_m = 33.6 y dividimos entre 2

esto nos permite darnos cuenta de que el valor de w está en un intervalo que va de:

es decir de 335.2 a 368.8 y que el valor medio es 352, todo lo anterior se puede escribir como:

La primera expresión es la más utilizada, en este caso la incertidumbre propagada es de

Para el caso de la División, suponiendo que la función w se define de la siguiente forma:

donde a = 4, sin incertidumbre y x=88

4.2 es un valor medido con incertidumbre dx conocida. Vamos a calcular dw, para ello calculamos los valores máximo y mínimo, así como el valor medio.

donde a es una constante de valor conocido y x,y son los valores medidos con incertidumbres estimadas dx, dy conocidas. Vamos a calcular la incertidumbre propagada, para ello calculamos primero w_M y después w_m.

La variable y su incertidumbre se expresan en radianes, vamos a proponer como medida del ángulo 1.5 rad y una incertidumbre de 0.05rad.

Con este sencillo método puedes calcular las incertidumbres propagadas, es necesario decir que este es un punto de vista pesimista acerca de las incertidumbres, pues supone que cuando utilicemos el mínimo valor de una variable la otra también estará en su mínimo, lo cual es muy improbable. En el material suplementario encontrarás un punto de vista más preciso.

· Un objeto de masa grande para utilizarlo como péndulo, de preferencia que presente forma simétrica.

1. Localiza el centro de masa del objeto que vas a utilizar. No es necesario conocer su masa, pero que alcance a tensar el hilo que utilizas.

2. Ya que vas a medir tiempos determina la incertidumbre de la medición del tiempo, es decir, mide el tiempo promedio que tardas en accionar y detener lo más rápido posible el cronómetro.

3. Construye un péndulo de 25 cm, este se mide desde el centro de masa hasta el punto de apoyo. Mide el tiempo de un periodo (es decir el tiempo que tarda en dar una oscilación completa “ida y vuelta”) utilizando 1, 10 y 50 oscilaciones, después divides entre 1, 10 y 50 respectivamente, para obtener el tiempo promedio de una oscilación (el periodo T). Cuida que el ángulo que forme el péndulo con la vertical no sea mayor que 15°.

4. Con base en tus observaciones y los resultados del punto anterior elige la mejor forma de determinar el período; si midiendo una, 10 o 50 oscilaciones. De aquí en adelante, en el experimento, cuando tengas que medir un periodo utilizarás el método que elegiste en este punto. Escribe tus razones.

5. Varía la longitud del péndulo. Comienza con 10 cm y aumenta de 15 cm en 10 cm la longitud del péndulo.

6. Mide el período de oscilación del péndulo para al menos siete diferentes longitudes del péndulo y construye una tabla de longitud del péndulo contra período.

7. Calcula la media y la desviación estándar del período para cada longitud del péndulo.

8. Haz una gráfica "Período & Longitud del Péndulo", dibujando las incertidumbres correspondientes.

9. Haz una gráfica "Período al Cuadrado & Longitud del Péndulo", dibujando las incertidumbres correspondientes.

Para cada longitud del péndulo tomar al menos cuatro veces el periodo. Cada gráfica que se elabore, de aquí en adelante, debe tener al menos cinco puntos para el trazado de la curva. Cada punto de la curva debe tener al menos cuatro datos promediados y con su desviación estándar calculada ya que la utilizaremos como medida de la incertidumbre.

8.- Si para un péndulo de 1.2m de longitud se tiene una amplitud máxima de 5cm.

9.- ¿Qué tipo de curva se obtuvo en la gráfica "Período & Longitud de Péndulo"?

Ahora veremos el método para propagar incertidumbres que emplea derivadas parciales y es más preciso que el que vimos en la sección pasada. Podrás observar y comparar las incertidumbres que se obtienen mediante un método y otro, en muchas hay coincidencias, en otras no y el resultado utilizando derivadas parciales siempre es menor.

En otras palabras el método que vimos en la sección anterior te da una cota máxima para la incertidumbre propagada, esa es la razón de que te hayamos dicho que era un método “pesimista”.

Si f es una función de los valores medidos, w =f(x, y), se puede calcular la incertidumbre “dw”, aplicando la fórmula:

a esta ecuación se le llamará Ecuación Básica para la propagación de incertidumbres y puede ser generalizada para funciones de más de dos variables:

5.9 Multiplicación y División por un Valor Exacto

Para el caso de la Multiplicación, suponiendo que la función w se define de la siguiente forma:

donde a es constante positiva de valor conocido sin incertidumbre y x es un valor medido con incertidumbre dx conocida. De la fórmula básica, se toma que no hay variable "y", entonces aplicamos:

Para el caso de la División, suponiendo que la función w se define de la siguiente forma: w = a/x donde a es constante positiva de valor conocido sin incertidumbre y x es un valor medido con incertidumbre dx conocida.

donde a,b son constantes positivas de valor conocido sin incertidumbre y x,y son los valores medidos con incertidumbres estimadas dx, dy conocidas. La incertidumbre dw se obtiene de la fórmula básica:

La parte a²dx² corresponde al cuadrado de la constante multiplicado por el cuadrado de la incertidumbre absoluta de x (dx), del mismo modo sustituimos valores para b² dy². Como podemos ver, para estos casos, la incertidumbre dw es independiente del signo de la operación. Cuando se tienen que hacer restas con cantidades con incertidumbre, se aumenta la incertidumbre relativa.

donde a es una constante de valor conocido y x,y son los valores medidos con incertidumbres estimadas dx, dy conocidos. De la formula básica obtenemos:

donde a es una constante positiva o negativa, aplicando la fórmula básica para la propagación de incertidumbres obtenemos:

nótese que en la última ecuación se omitió la constante a por motivos de interpretación de resultado quedando la solución de la siguiente manera:

donde se observa que la incertidumbre relativa dw/w es la incertidumbre relativa de x.

Cabe notar que de nuestra ecuación también podemos despejar dx, es decir si

dw = w dx

la incertidumbre de la función logaritmo es la incertidumbre relativa del valor al cual se le sacó el logaritmo.

La aproximación a la propagación de incertidumbres para las funciones trigonométricas solo es válida cuando dx es muy cercano a cero. En cambio la aproximación de la sección pasada te permite incluir incertidumbres más grandes en las mediciones de los ángulos, del orden de 10^-2. Si requieres de una propagación de incertidumbres muy precisa puedes utilizar el método mostrado en este material complementario.

5.18 Barras de incertidumbre

a) Para dibujar una medida x±dx, se traza a lo largo de la horizontal que para por x un segmento de recta que vaya desde x- dx hasta x+dx.

b) Para dibujar un valor y±dy, se traza a lo largo de la vertical que pasa por y, un segmento de recta que vaya desde y-dy hasta y+dy

c) Ejemplo de cómo se dibuja un punto en el que se tengan incertidumbres en la abscisa y en la ordenada.

Dibujarás una gráfica con escalas adecuadas para optimizar el área utilizada. Trazarás la mejor recta con el método de mínimos cuadrados para una función lineal.

El propósito de muchos experimentos y mediciones industriales consiste en encontrar relaciones entre las variables medidas. Una buena forma de realizar esto es trazar una gráfica de los datos y luego analizar dicha gráfica. Aquí mostramos como dibujar una gráfica para que nos ayude a obtener información sobre la relación entre las variables.

a) Usa un lápiz fino para trazar y una pluma para recalcar, porque un lápiz o pluma de punto grueso introducen inexactitudes innecesarias.

b) Dibuja tu gráfica, en papel milimétrico, en la página entera. Una gráfica pequeña reduce la exactitud de tu análisis gráfico. Para esto:

c) Dibuja los datos en la gráfica. Usa barras de incertidumbres en las medidas

d) Dibuja una línea a través de los puntos. Trata de que la curva trazada pase lo más cerca posible de todos los puntos.

e) Da un título consistente a la gráfica. El título debe explicar en la menor cantidad de palabras el significado de la gráfica. Debe ser suficiente para que al ver la gráfica pueda ser entendida sin necesidad de leer el párrafo en que se explica la gráfica.

NOTA: Cuando se pida que se dibuje una gráfica se pondrá como "Variable que va en eje y & Variable que va en el eje x".

Así si se pide una gráfica "Presión & Volumen", en el eje y va la presión y en el eje x va el volumen.

Al maximizar de esta manera la gráfica y poner los datos podrás fácilmente identificar qué tipo de curva o recta tienes. Las curvas son muchas veces difíciles de trabajar, recuerda tus cursos de cálculo e identifica que tipo de ecuación que más se le parece: de línea para las rectas, cuadrática para las parábolas, exponencial para las de pendiente muy pronunciada, etcétera. Dejaremos para la siguiente unidad las curvas y el tema de cambio de variable. Para este capítulo te diremos como trabajar con las rectas.

Después de que grafiques tus datos, prueba "a ojo" si tus resultados se parecen a una recta.

Para esto se coloca la gráfica a la altura de los ojos, casi en forma horizontal, y así se observa si los puntos forman la recta. Luego, con una regla transparente, trata de unir las regiones de los puntos con sus incertidumbres con "la mejor recta" y trázala. La "mejor recta" es aquella que pasa lo más cerca posible de todos y cada uno de los puntos. Posteriormente toma los valores de los puntos extremos de la recta que acabas de trazar. Hay que buscar algún punto dentro de la recta en los cuales sea fácil obtener sus coordenadas, por ejemplo, ver si hay un punto de la recta que pase por donde se cruzan las líneas de la cuadrícula del papel milimétrico.

donde los subíndices corresponden a los puntos que se encontraron en la recta. Esta última fórmula se maneja adecuadamente para darle la forma canónica:

Como ya sabes obtener la pendiente entre dos puntos cercanos y nuestra forma de gráfica es discreta (es decir, de punto a punto), podemos aprovechar la gráfica para obtener una pendiente promedio. Calcula las pendientes que obtienes dato a dato y saca su valor promedio de estas para acercarnos al valor de pendiente deseado.

Este método lamentablemente no nos puede proporcionar información sobre la ordenada al origen ni de la posición donde debe ir este valor pero para pocos datos, nos ayuda mucho a darnos una idea de la magnitud de la pendiente. Al igual que el método gráfico posteriormente podemos introducir esta pendiente en nuestra gráfica usando la formula y = mx + b, suponiendo que b=0 y usando los mismos valores de las absisas (x) de los datos y la pendiente promedio, obtenemos valores para las ordenadas (y). (Ver Gráfica VI.1)

Al dibujar la mejor recta en tu gráfica, observarás que la mayoría de los puntos que representan los datos obtenidos, no pasan sobre la línea, hay una separación entre la recta y el punto. Para que puedas definir la mejor recta, tendrás que basarte en un criterio que te indique cuándo una línea es mejor que otra. El criterio que usamos aquí es llamado mínimos cuadrados (o de regresión lineal) y se llama así porque se desea que la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre cada dato y la recta (desviaciones), tengan un valor mínimo.

El valor de la ordenada según los datos obtenidos es y_i, y el valor de la ordenada según la mejor recta es:

Como se quiere que la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre el dato y la recta tenga un valor mínimo, entonces el cuadrado de esta desviación es:

Expresamos la suma del cuadrado de todas las desviaciones (), donde el número de datos son n:

Entendamos para esta deducción, el término de derivadas parciales

como diferencias o cambios de valores (de la función) con respecto a una de sus variables.

Si queremos que las sumas de las desviaciones sea mínimo, la primera derivada de nuestra función (), con respecto a su variable m (pendiente) y otra con respecto a b (ordenada al origen) deben ser igual a cero y que la segunda derivada positiva, es decir, que se cumplan las condiciones:

las segunda y cuarta condiciones se cumplen inmediatamente, lo que garantiza que se trata de un mínimo para n y para b criterio de 2ª derivada).

de esta forma los valores de m y b garantizan que el cuadrado de la desviación de los datos a la recta es mínima.

Parece un poco complicado evaluar m y b cuando se tienen una cantidad grande de datos. Pero se puede evaluar fácilmente elaborando una tabla que en la primer columna se coloquen los valores de la variable independiente x_i; en la segunda, la variable dependiente y_i; en la tercera, el cuadrado de la variable independiente x_i²; y en la cuarta, el producto de la variable independiente por la variable dependiente x_iy_i. En la parte final de la columna se pone la suma, que son los valores que se necesitan para evaluar m y b según las fórmulas dadas. Estos métodos los vamos a ejemplificar con el siguiente experimento.

Objetivos

Encontrarás la mejor recta utilizando los métodos estadístico, gráfico y por mínimos cuadrados.

1. El siguiente experimento se realiza sobre la ruta usual que tomas para ir de la Universidad a tu casa.

2. Aborda el transporte que utilizas normalmente y toma la hora en tu reloj como tiempo cero.

3. Anota en tu bitácora el tiempo que transcurre hasta llegar a una avenida que claramente identifiques (o estación en caso del metro). No olvides observar si en ese trayecto sientes que el vehículo va rápido o lento con relación del primer tramo.

5. Identifica en un plano la ruta que seguiste y obtén, a partir de la escala, las distancias que recorriste (no olvides estimar tu incertidumbre).

7. Calcula la pendiente de la curva de la gráfica. Por esta ocasión no necesitas calcular la incertidumbre de la pendiente.

Nota: Si utilizas cronómetro no lo detengas hasta que termine tu experimento.

Según tus observaciones de rapidez del vehículo por tramos y tu gráfica, explica que pasa cuando las pendientes son mayores.

¿Cuál es el valor de la velocidad media del vehículo que tomaste? Expresa sus valores en m/s y Km/h.

Objetivo: Realizar cambios de variable para obtener la relación funcional entre dos variables. Verificar la Ley de Snell a través de un sencillo dispositivo de rayo láser y lentes de lucita y agua.

En el trabajo de laboratorio y en la industria es muy común encontrar que la relación entre las cantidades medidas no es lineal.

f(v) puede ser u², uⁿ, ln(u), e^u, sen(u), etc. Un método para encontrar la función f(v), es medir u como función de v, y graficar estos datos, sin saber de antemano la función, la figura obtenida será una curva, no una recta y por tanto será muy difícil determinar la relación entre u y v. Una buena manera de encontrar la relación entre u y v usando las gráficas es hacer un cambio de variable. No es fácil determinar de primera intención cual es la función que cumplen u y v; Generalmente se establece primero una teoría que justifique la relación entre u y v, y solo cuando se tiene mucha experiencia se puede intentar a ojo encontrar la relación funcional sin una buena teoría que respalde el cambio de variable. A modo de ejemplo te damos un experimento y sus resultados para que observes de qué manera se realiza el cambio de variable para obtener una relación simple entre dos variables.

Un experimento muy simple consiste en dejar caer un objeto a lo largo de un plano inclinado y estimar el tiempo que tarda en hacerlo. Es obvio que mientras más inclinado esté el plano, más rápido recorrerá la misma distancia de caída, pero ¿Cuál es la relación funcional entre las variables tiempo (t) e inclinación (q)?

Como dispositivo experimental vamos a utilizar un riel de aire inclinado en el que se reduce casi a cero el valor de la fuerza de fricción entre las superficies.

Consideremos el centro de gravedad de un cuerpo, que se encuentra sobre un plano inclinado que forma un ángulo q respecto de la horizontal y donde la fuerza de fricción es despreciable. En lugar de realizar un análisis de las fuerzas y obtener el tiempo en función del ángulo, realizaremos un experimento: Vamos a dejar resbalar desde el reposo un carrito de aluminio sobre el riel de aire, variando la inclinación y dejando constante el largo del riel.

La tabla de datos que se da en la siguiente página se obtuvo de un experimento en que se realizaron las siguientes actividades:

1. Se coloca un riel sobre un dispositivo que nos permite variar su inclinación respecto a la horizontal.

Se puso el riel en posición horizontal mediante el uso de un nivel, tomando esta posición como cero grados.

Se le dio una inclinación al riel, y se colocó el carrito en el extremo superior marcado para su recorrido.

Se cambió la inclinación del riel y se repitieron los pasos 6 y 7. La tabla muestra los datos obtenidos.

Tabla VII.1: Inclinación del riel de aire contra tiempo de recorrido del carrito

Observa que es una curva y que muy difícilmente podrías determinar la relación funcional entre las dos variables, para poder hacerlo dibuja una gráfica que en lugar de tener como ordenada t= tiempo de recorrido, tenga el cuadrado del tiempo de recorrido t²:

y que en lugar de tener como abscisa q = ángulo de inclinación del plano, tenga el recíproco del seno del ángulo de inclinación del plano 1/sen (q):

Si realizaste bien tus cambios de variable debes poder obtener la pendiente de esa recta y determinar la relación funcional entre t y q.

¿Por qué se hacen cambio de variable en el eje de las abscisas y en el eje de las ordenadas?

Ya que hayas respondido a estas preguntas en tu bitácora, realiza el siguiente experimento.

Experimento IV: Ley de Refracción de Snell

Determinar el índice de refracción, relativo al aire, para la lucita o para el agua.

El paso de la luz a través de otros medios diferentes al aire es un problema que se ha estudiado desde hace cientos de años y tiene múltiples aplicaciones tecnológicas.

Para abordar este problema definimos que el índice de refracción es la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad de la luz en otro medio.

donde v es la velocidad de la luz en un medio diferente al vació y c es la velocidad de la luz en el vacío.

En la práctica la velocidad de la luz en el vacío es muy parecida a la velocidad de la luz en el aire y algunas veces se realiza la aproximación entre el aire y el vacío para efectos de la medición de índices de refracción.

Ahora bien en este experimento enviarás un haz de luz a través de dos medios, cuando el haz se encuentra en la separación de los medios una parte del rayo se reflejará y la otra pasará, si está parte forma un ángulo diferente de 90° con la superficie, entonces el haz se quiebra y forma un cierto ángulo diferente al que tenía cuando entró. Este es el efecto que ocurre cuando se observa un lápiz introducido a la mitad en un vaso de agua. Este quiebre de la dirección de la luz se denomina refracción. El ángulo que hace el rayo incidente con la perpendicular a la tangente a la superficie se denomina ángulo de incidencia y el que realiza el rayo de salida con la perpendicular es el ángulo de refracción. En este experimento se modifica el ángulo de incidencia de un haz de luz para observar y medir el ángulo de refracción correspondiente. El objetivo es determinar la relación entre el ángulo de entrada y el de refracción y ligar esta relación con la velocidad de la luz.

3. Coloca el prisma sobre la hoja blanca en el centro de un plano imaginario, que corresponde a una línea que pasa por el diámetro del transportador dibujado en la hoja blanca, de tal forma que el lado recto del prisma esté sobre dicho plano.

5. El haz de luz hazlo incidir directamente en el centro del prisma, por el lado circular.

6. Coloca el láser a diferentes ángulos de incidencia (por lo menos cinco) en el intervalo de 0 a 40 grados, sobre el prisma.

7. Usando el transportador, mide el ángulo de refracción del haz de luz para cada ángulo de incidencia y regístralo

8. Por arriba de los 40 grados, abre el ángulo en forma continua para definir con mucha precisión el ángulo donde el haz que se refracta llega a 90º y desaparece. El ángulo está entre los 40 y los 60 grados.

10. Grafica el seno del ángulo de salida, q₂, respecto al seno del ángulo de entrada q₁.

12. Considerando el índice de refracción del aire igual a uno encuentra el valor del índice de refracción, relativa al aire, de la lucita o el agua mediante la ley de Snell:

donde q₁ es el ángulo de incidencia, q₂ es el ángulo de refracción, n₁ y n₂ son los índices de refracción absolutas del prisma y del aire respectivamente.

13. Busca, en los libros, el valor de la densidad óptica de la lucita o el agua y regístralo.

14. Investiga cuál es la relación entre la velocidad de la luz en un medio y en el vacío.

La Figura VII.2 nos muestra la colocación del prisma respecto al haz de luz y ángulos de incidencia y de refracción.

¿Cuál es el valor de la densidad óptica (índice de refracción) de la lucita[7] o del agua que obtuviste?

Si la luz tiene una velocidad aproximada de c=3.00x10⁸ m/s en el aire ¿Cuál es la velocidad de la luz en la lucita y en el agua?

Como buenos observadores de la naturaleza, y en este caso en el experimento de velocidad media, notamos que los cambios de velocidad en el vehículo, no son tan bruscos como indicaron nuestras gráficas, sino que los cambios de velocidad (aceleración) se daban poco a poco. De lo cual podemos suponer que el comportamiento de muchos fenómenos en la naturaleza es continuo y por lo tanto la gráfica que represente este comportamiento debe ser suave y no con segmentos lineales (como hemos hecho hasta ahora). A esta suposición de una curva continua entre nuestros valores obtenidos es lo que llamamos interpolación. De esta manera podemos explicar que el método de mínimos cuadrados (es una curva suave y continua), que pasa en su mayoría de veces por el área de nuestras incertidumbres pero muy rara vez por el punto obtenido experimentalmente.

De hecho, gran parte de la física se basa en buscar funciones que describan el comportamiento de una serie de puntos (inmersos en incertidumbres) en las gráficas. De igual forma como lo vimos en el método de mínimos cuadrados, podemos predecir en base a nuestras observaciones y la función obtenida una ordenada al origen (está fuera de nuestros datos) o para el lado contrario, tratar de predecir un comportamiento en el tiempo futuro.

A este tipo de predicciones se les llama extrapolación. Cabe recalcar que las extrapolaciones no siempre aciertan a predecir el futuro pero al menos dan una idea de los posibles hechos (pasados o futuros).

Figura VIII.1 Obtención de las incertidumbres de la pendiente y la ordenada al origen.

Para estimar las incertidumbres asociadas a la pendiente y a la ordenada al origen usaremos un método aproximado (para un mejor método, ver sección opcional de la unidad 5).

El método gráfico consiste en trazar un cuadrángulo o cuadrilongo en la gráfica que envuelva completamente los datos, donde no necesariamente son paralelas sus caras opuestas. Figura VIII.1. Esta figura debe tener sus lados más largos, con una pendiente muy parecida a la pendiente de la "mejor recta". La figura debe contener en su totalidad los datos obtenidos y debe ser lo más angosta posible, debe ocupar la menor área posible. Puedes auxiliarte para hacer tu cuadrángulo con los valores de las incertidumbres de tus datos que a su vez te pueden servir para calcular los valores de las pendientes y ordenadas al origen como lo hiciste con el método gráfico.

Los diagonales del cuadrángulo son las rectas que tienen las pendientes más grande m₂ y más pequeña m₁ del conjunto de los datos obtenidos. Entonces se obtienen las ecuaciones de estas rectas y sus pendientes son los valores límites de la pendiente, y las ordenadas al origen, b₂ y b₁, son los límites. La exactitud de este método depende, en todo sentido, de la precisión en los trazos de la gráfica y en la gráfica, es decir, mientras más cuidadoso sea el trabajo en la gráfica mayor será la exactitud de los resultados obtenidos.

Encontrar el valor de la Presión Atmosférica y el trabajo que realiza el exterior.

· Material para sellar, por ejemplo plastiloca, resina epóxica, silicón, etc.

1. Preparar las masas para poder colgarlas. Por ejemplo con un alambre hacerles un gancho.

2. Medir el diámetro interior de la jeringa, para determinar su área transversal.

NOTA: No te olvides de cambiar tus unidades a Sistema Internacional de Unidades.

3. En la jeringa, sacar el émbolo hasta que se obtenga un volumen de 20cc (o 50cc si usas jeringa de 60 ml), y sellar adecuadamente la salida de tal forma que no escape el aire de su interior. Dejar que seque el sellador, sin mover el émbolo.

4. Con un pequeño cuadro de madera delgada hacer una base que pueda ser fijada en el extremo exterior del embolo de la jeringa, dicha base deberá tener un pequeño agujero en cada esquina.

5. Introduzca por los agujeros de la base de madera el hilo, de tal forma que sobre él se coloque el peso necesario. Cuando se aplique la fuerza sobre el émbolo de la jeringa, se debe hacer sobre el eje de la jeringa, evitando movimientos laterales, es decir, la jeringa debe estar vertical.

6. Colocar las masas de una en una en los hilos de la base de madera, es decir, aumentar el peso sobre el émbolo de la jeringa de medio kg en medio kg, hasta sumar 3.5 kg, empezar por colocar un kg.

8. Registra el volumen que marca la jeringa a partir del primer peso que mueve el émbolo y hazlo sucesivamente conforme vas aumentando el peso.

9. Dibuja un Diagrama de Cuerpo Libre de las fuerzas que actúan sobre el émbolo de la jeringa. (Podemos despreciar la masa del émbolo)

11. Cambiar la Fuerza Total externa a presión (Presión = Fuerza Total / Área) y el volumen por su recíproco.

13. Obtenga la pendiente y la ordenada al origen con sus incertidumbres correspondientes, usando la gráfica, método del cuadrilongo y el método de mínimos cuadrados.

determine la presión atmosférica con su incertidumbre. Donde la pendiente m es:

¿Cuál es el valor de la presión atmosférica? Explica la diferencia con los valores de los libros.

1. Aprendemos a leer una resistencia eléctrica para conocer su valor, para eso primero comparamos el código de colores para las resistencias eléctricas, el cual se proporciona en la tabla VI.1 del material complementario.

2. En nuestro experimento vamos a utilizar una resistencia con las siguientes barras de colores: Rojo, Rojo, Rojo y Dorado, que si leemos de acuerdo a la tabla VI.1 obtendremos: 22 x 100

= 2,200

= 2.2 k

ó como en ingeniería le llamamos de 2.2 k con una incertidumbre del 5%.

4. Construimos el circuito mostrado en la figura VI.2 del material complementario, conectando las pilas, el amperímetro y la resistencia en serie.

5. Inicialmente con una sola pila medimos la intensidad de corriente eléctrica en el amperímetro. Después seguimos el mismo procedimiento para dos pilas (el voltaje que debes registrar es la suma de los dos voltajes de las pilas al conectaste y; así sucesivamente hasta completar las 10 pilas.

6. Los datos nos indican una tabla de valores para X y Y. Agregamos 4 columnas más para usar el Método Estadistico y el de Mínimos Cuadrados. (Ver Tabla VI.2).

Tabla VI.2. Datos para ejemplo de métodos de graficación de datos lineales.

7. En función de los valores obtenidos en la tabla se hace la Gráfica de Amper contra Voltaje. Para hacerla se toman en cuenta los resultados de X y Y y sus incertidumbres. Así los extremos de nuestro gráfico son: (1.33V,0.5mA); (13.43V,0.5mA); (13.43V,6.2mA); (1.33V,6.2mA).

Para un papel que tenga 200 divisiones la escala mínima de las abscisas y ordenadas

De la Gráfica VI.1 (A & V), podemos observar en primer lugar que se trata de una recta, es decir la relación entre las variables es lineal, entonces podemos obtener la pendiente de la recta. Podemos también observar que las unidades de la pendiente son mA/V mientras que las unidades de Resistencia

= V/A, es decir están invertidas y además los miliamperes afectan nuestro resultado, por lo tanto tenemos que pasar nuestros valores a Amperes.

Para determinar la relación lineal que existe entre ambas variables A y V vamos a utilizar tres métodos, que más adelante vas a utilizar en tu experimento:

- Método gráfico: Empleamos una regla transparente para trazar una recta que tenga los puntos de la gráfica distribuidos equitativamente arriba y abajo. Cada persona la traza de modo diferente, pero unos valores aceptables mediante esta técnica son:

- Método estadístico: Sacamos las 9 pendientes que se ven en nuestra grafica.

- Método de mínimos cuadrados: Sustituimos simplemente los valores de la tabla que necesitamos para m y b:

Para el experimento de la Ley de Ohm se requiere de resistencias, las cuales vienen marcadas con un código de colores que presentamos a continuación:

Color	Valor	Multiplique por	tolerancia
Negro	0	1	1%
café	1	10	2%
rojo	2	100
naranja	3	1,000
amarillo	4	10,000
verde	5	100,000	0.5%
azul	6	1,000,000	0.25%
violeta	7	10,000,000	0.10%
gris	8	100,000,000	0.05%
blanco	9	1,000,000,000
oro		0.1	5%
plata		0.01	10%
Sin color			20%

La forma en la que hay que leer el valor de una resistencia es la siguiente: la primera y segunda banda indican los dígitos, por ejemplo una resistencia con la primera banda de color rojo y la segunda en verde indica 25; la tercer banda es el múltiplo de diez de la resistencia, si la tercera banda es de color naranja indica un factor de 1000, así la resistencia será de 25000 Ohms, y finalmente la cuarta banda indica la tolerancia, si es dorada implica una tolerancia de 5% (incertidumbre relativa x 100). En pocas palabras la resistencia tendrá un valor de:

NOTA También existe un código de cinco bandas, donde las tres primeras bandas son las cifras significativas, la cuarta banda es el multiplicador y la quinta banda es la tolerancia.

Se utilizó una resistencia las siguientes barras de colores: Rojo, Rojo, Rojo y Dorado = 22 x 100

= 2,200

= 2.2 k

ó como en ingeniería le llamamos de 2.2 k con una incertidumbre del 5%.

Como sabemos que es una incertidumbre relativa multiplicada por 100 (para poder usar el porcentaje), dividimos 5 entre 100= 0.05. Utilizamos su definición de incertidumbre relativa dr = dx/x y así poder obtener la incertidumbre absoluta donde x es el valor que nos reporta el fabricante (2.2 k). Es un simple despeje de división y solo tenemos que multiplicar (dr)(x)= dx=(0.05)(2200)= 110

Se construyó un circuito como el mostrado más abajo respetando las conexiones, de otro modo se puede dañar el amperímetro.

Figura VI.2. Diagrama del circuito para estudiar la ley de Ohm, donde A es el amperímetro, R la resistencia y V el voltaje de las pilas.

[1] Sistema Internacional de Unidades (MKS).

[2] Brandes, J. (1999, may 6). Citing the wold wide web in style [American Psychological Association and Modern Language Association Formats] Troy State University FR Regional Library. 12pp. Consultado el 25 de agosto, 1999 en Internet:

http://www.tsufl.edu/library/5/Citation.htm

[3] Metrología. González G., Carlos. CENAM 2001

[4] Guía BIPM/ISO.

[5] Física Vol. 1. Resnick, R., et. al. 4a edición.

* Esterradián: es el ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera corta sobre la superficie de esta esfera un área igual a la de un cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera. (Recomendación de la Organización Internacional para la Normalización (ISO) en Ginebra, Suiza).

[6] Termodinámica. Wark, Kenneth . p12

[7] También llamada plexiglás, este nombre es más usual en los libros de texto.

LABORATORIO DE FÍSICA I

UNIDAD 1 Manejo del Cuaderno de Bitácora

UNIDAD 2 Informe del experimento

UNIDAD 7 Cambio de Variable en las Gráficas

2.10 CITAS ELECTRÓNICAS

Magnitud

Símbolo

B aquellas que se evalúan por otros medios

Tarea III: Medidas e Incertidumbres

PREGUNTAS

5.9 Multiplicación y División por un Valor Exacto

Cabe notar que de nuestra ecuación también podemos despejar dx, es decir si

dw = w dx

5.18 Barras de incertidumbre

Objetivos

Tabla VII.1: Inclinación del riel de aire contra tiempo de recorrido del carrito

Experimento IV: Ley de Refracción de Snell