Definicion Trasformacion Continua: El echo de trasformar una curva cerrada de modo que durante la trasformacion la curva sigue siendo unica y cerrada. El echo de trasformar una superficie de modo que durante la trasformacion la superficie sigue siendo unica. Simbolo Y (H,G) que significa trasformacion continua de H a G.

          El presente intento de resolver el problema de la simple conexidad de la 4 esfera se basa en estos 8 enunciados, que son a mi entender triviales:

1. Todo circulo F definido sobre una 4-esfera S puede ser representado por la interseccion de un plano P con la 4-esfera. " F, F=P ÇS

Dem 1. Por definicion el circulo esta contenido en un plano. " F, F=P ÇS
 
2. La interseccion de un plano L con una 4 esfera S representa o un circulo R, o un punto A o el conjunto vacio O. " L, L ÇS={R o A o 0}


Dem 2. Verificado, todo plano que interseca con la esfera lo hace en un punto o en un circulo por su isotropia. " L, L ÇS={R o A o 0}
 

3. Existe un plano M+e .....+e+e +e paralelo a M de modo que M+e ......+e+e +e intersecion S es un punto A. $ M+e .......+e +e +e½ (M+e .......+e +e +e ) Ç S = A½ (M+e .......+e +e +e ) || M


Dem 3. El conjunto T de los vectores directores de modulo uno asociados a los planos tangentes a S contiene a todos los posibles vectores directores de modulo uno en R4. De modo que todos los planos de R4 son paralelos a los planos tangentes a S.
$ M+e .......+e +e +e½ (M+e .......+e +e +e ) Ç S = A½ (M+e .......+e +e +e ) || M
 

4. Dado un plano M existe un plano M+e.....+eparalelo a M de modo que (M interseccion S) >(M+e.....+einterseccion S). Siempre que M interseccion S no sea el conjunto vacio. $ (M + e ....e )½(M Ç S) > (( M + e ....+e )Ç S ), "(M Ç S) ¹ 0½M||(M+e ....+e )


Dem 4. Alguno de consecuentes planos paralelos (M+e .....+e ) a un plano M que delimita un circulo es un plano que intersecado con la 4 esfera contiene un punto unico A. Siendo la 4 esfera continua $. (M + e ....+e )½ (M Ç S) > (( M + e ....+e )Ç S ), " (M Ç S) ¹ 0½ M || (M+e ....+e )
 

5. Existe una Trasformacion Continua de (M interseccion S) a (M+e interseccion S). Siempre que ninguna de las intersecciones sea el conjunto vacio.$ Y (MÇ S , (M+e )Ç S)½ (M Ç S) ¹ 0, ((M+e ) Ç S) ¹ 0½ M || (M+e )


Dem 5. Siendo la 4 esfera continua se verifica que los circulos definidos por la intersecion de dos planos infinitamente proximos sobre la 4 esfera son dos circulos infinitesimalmente diferentes. De modo que $Y (MÇ S , (M+e )Ç S)½ (M Ç S) ¹ 0, ((M+e ) Ç S) ¹ 0½ M || (M+e ). Integrando dicho resultado se obtiene que $Y (MÇ S , (M+e ....+e +e +e )Ç S)½ (M Ç S) ¹ 0.
 

6. Toda curva cerrada K puede ser representada como la interseccion de una superficie continua e infinita G con S.

" K, K=(S Ç G)

Dem6 . Existen infinitas superficies G que contienen a K. Toda recta que atraviesa S tiene a lo sumo dos puntos de interseccion en S, si a cada punto X de K le asociamos una recta perpendicular a S, el conjunto de rectas definidos fuera del volumen de S representan una superficie continua e infinita que no vuelve a intersecar a S. " K, K=(S Ç G).
 

7. Toda superfice G es posible trasformarla continuamente a un plano M.

" (G , M) $ Y (G , M) ½ K=(S Ç G) y (K+e ....+e +e +e )=(S Ç G+e ....+e +e +e )½ (G+e ....+e +e +e +e +e +e )=M

Dem7 Existen infinitas colecciónes de superficies continuas e infinitas infinitesimalmente diferentes tal que G y M son extremos en dicha colección. G y M representan curvas sobre S, por ser S continua infinitas colecciónes de superficies representaran curvas sobre S. Existen infinitas colecciónes donde G disminuye constantemente su curvatura para aproximarse a la nula de un plano M, a modo que no surgiran nuevas intersecciones aisladas sobre S, ni se dividira la curva K, porque para ello es necesario un aumento en la curvatura. " (G , M) $ Y (G , M) ½ K=(S Ç G) y (K+e ....+e +e +e )==(S Ç G+e ....+e +e +e )½ G+e ....+e +e +e +e +e +e )=M
 

8. Para toda curva cerrada definida sobre una 4 esfera S existe una Trasformacion Continua a otra curva cerrada sobre la 4 esfera S de modo que R es un circulo sobre la 4 esfera." (K Ì S), $Y (K , R)


Dem8 Ya que para G existe una trasformacion continua a M, K=(S Ç G) se trasformara continuamente a R=(M ÇS) por tratarse de subconjuntos de G y M respectivamente. " (K Ì S), $ Y (K , R).