Senkrechter und schiefer Wurf auf einen Anstieg

Ohne Einfluss des Luftwiderstandes

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Eingabe der Parameter

Abwurfwinkel in Grad: αo =
Anstellwinkel der Ebene in Grad: βo =
Abwurfhöhe h[m] =
Erdbeschleunigung g[m/s2] =
Wurfgeschwindigkeit vo[m/s] =
X-Koordinate des Fusspunktes k[m] =

Freier Fall in einen Brunnen

Zeit bis zum Aufprall [s]: t =
Erdbeschleunigung g[m/s2] =

Beschreibung:

Dieses JavaScript berechnet einen schiefen Wurf ohne Einfluss von Luftreibung. Der Abwurf erfolgt bei (0,h) mit der konstanten Geschwindigkeit v und dem Abwurfwinkel α. In (k,0) sei der Fußpunkt einer Böschung (Hindernis), welche eine schiefe Ebene mit dem Anstellwinkel β sein soll und gegebenenfalls getroffen werde. Die Frage ist, wann und wo getroffen wird. Es werden weiter die Scheitelhöhe, Steigzeit und Wurfweite bestimmt. Natürlich gibt es hier Sitationen, wo der Scheitel nicht tatsächlich erreicht wird.

Die physikalischen Maßseinheiten sind Meter [m] und Sekunde [s]. Winkel werden in Grad [o] gemessen. Sowohl der Abwurfwinkel α wie auch der Anstellwinkel β müssen zwischen Null und 90 Grad liegen, insbesondere α ≠90o. Es sei bemerkt, dass der freie Fall durch den Luftwiderstand verzögert wird. Bei einer Feder ist dies extrem. In der Realität würde man also weiter werfen. Die zugehörigen Bewegunggsgleichungen sind Differentialgleichungen: (x=X(t), y=Y(t))

X'' = K/M * X'c     [X(0)=0, X'(0)=vocosα]
Y'' = K/M * Y'c - g,     [Y(0)=h, X'(0)=vosinα]

Solche Gleichungen lassen sich in der Regel nicht mehr geschlossen lösen. Man kann ein Runge-Kutta Näherungsverfahren verwenden.
In unserem Spezialfall ist c=0=K/M. Hinweis: M ist die Masse, K=0.5Aρcw setzt sich zusammen aus dem Querschnitt A[cm2], der Dichte ρ[g/cm3] und einer dimensionslosen Zahl, dem cw Wert. Besser wäre bei Unterschallgeschwindigkeit c=2.

In unerem Fall gilt

x = vot cosα
y = h + vot sinα - g/2 t2, [Steigzeit ts=vo/g sinα ergibt Wurfscheitel (xs,ys)]

Eingesetzt folgt

y = h + x tanα - g/(2vo2cos2α) x2 [Wurfparabel]
y = x tanβ - k tanβ [Hindernis: Schiefe Ebene]

In der Lösungsformel der resultierenden quadratischen Gleichung ist das Pluszeichen zu nehmen.

Im weiteren wird auch der senkrechte Wurf (|α|=90o) behandelt. Dabei sind

x = 0
y = h + vot - g/2 t2 [wobei y≥0]

Beim Wurf nach oben ist die Steigzeit bei vo ≥0 gleich ts = vo/g.
Dazu gehört ys = h + vo2/(2g).

Beim Wurf nach unten (α=-90o) erfolgt der Aufprall auf den Boden y=0 nach der Fallzeit
tf = [-|vo| + (vo2+2gh)½]/g.

Beim freien Fall in einen Brunnen ist dessen Tiefe = 1/2 g t2.
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