Extremwertaufgabe für Kartons und Kisten

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Berechnunug S der Schnitte in rechteckiges Material

Ziel: Es soll aus einem Rechteck ein oben offener Quader mit möglichst großem Inhalt gefaltet werden. Dazu müssen aus den Ecken Quadrate der unbekannten Kantenlänge x ausgeschnitten werden. Wir rechnen in Zentimeter [cm]. Hinweis: Ist die zweite Ableitung des Volumens V an der berechneten Extremstelle x zu V'(x)=0 kleiner als Null, handelt es sich um ein (relatives) Maximum. Das Material werde mit der Dicke d≥0 angenommen. Dann wird der Extremwert zu d=0 und das innere Volumen zu positivem d brechnet. Aber NICHT der Extremwert des inneren Volumens!

Höhe h [cm]:

Breite b [cm]:

Dicke d [cm]:

Außenmaße (Berechnung mit d=0: V=V_a)

Lösung(en) der quadratischen Gleichung V'(x)=0:

x1:
x2:

Extremwerte:

Schnitt x [cm]:
Inhalt V [cm3]:
Inhalt V [Liter]:
Wert V''(x):

V''(x)=

x +

V'(x)=

x2 + x + =0

V(x)=

x3 + x2 + x

Innenmaße(V=V_i)

Inhalt V [cm3]:
Inhalt V [Liter]:

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Hinweise

Fall d=0: Hierauf bezieht sich die Extremwertrechnung

V(x) = x(h-2x)(b-2x) = 4x³ - (2b+2h)x² + hbx
V'(x) = 12x² - (4b+4h)x + hb [=0 setzen für Extrema]
V''(x) = 24x - 4b - 4h [muss kleiner Null sein für (relatives) Maximum]

Fall d>0:

V(x) = (x-d)(h-2x-2d)(b-2x-2d) = 4x³ - (2b+2h-4d)x² + (h-2d)(b-2d)x - (h-2d)(b-2d)d