Binomialverteilung approximiert mit Normalverteilung

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

P(a≤S_n≤b) = ∑_k=a^b (n über k) * p^k(1-p)^n-k

Summe = P(a≤S_n≤b) ≈ Φ((b+0.5-np)/σ) - Φ((a-0.5-np)/σ),
Für eine gute Approximation muss σ=(np(1-p))^½ ≥ 9 sein.
Das Näherungsintegral ist gegeben durch die Vorschrift für die Normalverteilung:

Φ(z) = (2π)^-½ ∫_-∞^z exp(-x²/2) dx

Für große σ ist der 0.5/σ Korrekturterm vernachlässigbar.

P(S_n-np ≤ zσ) ≈ Φ(z+0.5/σ)
P(S_n-np ≥ zσ) ≈ 1-Φ(z-0.5/σ)
P(|S_n-np| ≤ zσ) ≈ 2*Φ(z+0.5/σ)-1
P(|S_n-np| ≥ zσ) ≈ 2-2*Φ(z-0.5/σ)

Literatur