Vertikale Parabeln und Quadratische Gleichungen
Reelle Nullstellen x gesucht

Eingaben für y = A x² +B x + C:

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Parabel durch 3 Punkte (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ermitteln:

Gerade y = mx + b schneidet Parabel y = Ax² + Bx + C

Hinweise, Bemerkungen

Die graphische Darstellung von der Kurve y=Ax²+Bx+C

ist für A=0 mit B≠0 eine Gerade in der xy-Ebene, welche die x-Achse in genau einem Punkt schneidet. Ist gleichzeitig aber (die Steigung der Geraden: ) B=0, erhält man eine Parallele zur x-Achse, die für C=0 mit der x-Achse zusammenfällt, und somit unendlich viele Schnittpunkte mit der x-Achse hat, nämlich die ganze x-Achse.

Für A≠0 erhält man eine Parabel. Parabeln sind spezielle Kurven zweiter Ordnung (hier wegen dem quadratischen Term als höchste reine Potenz in x). Andere Kurven zweiter Ordnung sind Ellipsen und Hyperbeln. Die allgemeine (implizite: d. h. nicht explizit nach einer der Variablen x oder y aufgelöste) Form lautet mit gegebenen Koeffizienten a bis f: ax² + b xy + c y² + d x +e y + f =0. Sie entstehen geometrisch durch ebene (horizontal, vertikal oder schief) Schnitte durch Kegel als Schnittflächen.

Setzt man y=0, bedeutet dies geometrisch die Suche nach Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse. Algebraisch ist es die Suche nach Nullstellen bzw. Lösungen der quadratischen Gleichung A x² + B x + C = 0 als Zerlegung dieses Ausdrucks in Linearfaktoren, die dann wahlweise =0 sein müssen: Dividiert man durch A≠0 und setzt: 2P=B/A, Q=C/A, erhält man die PQ-Form: x²+ 2P x +Q = 0. Ersetzt man noch P²-Q=:G, kann man die möglichen Lösungen beschreiben durch x₁=-P+√G und x₂=-P-√G, wobei die Faktorzelegung (x-x₁)(x-x₂)=0 lautet. Ist G negativ, müßte man also die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, so existiert keine reelle Lösung. Die Parabel schneidet hier also nicht die x-Achse. Ist G=0, gibt es genau eine Lösung: Die Parabel berührt die x-Achse bei x=-P=-B/2A, - das ist hier der Scheitelpunkt S=(-B/22A,0).
B/2A bedeutet hier Division von B durch 2A.