Numerische Berechnung von ∫0∞ e-s t J0(a [t2 + 2bt + 1]½) dt : 0 ≤ b ≤ 1,     s ≥ 0,     a2+s2 > 0.

Autor: Klaus Rottbrand ©
Stand: 12 DEZ 2008


Laplace-Parameter s =
Faktor-Parameter a =
Faktor-Parameter b =
Teilintervall-Anzahl n =

Integral:

Bemerkung: Der Parameter b muss im Intervall [0,1] liegen. Das Integral wird durch folgende Formel, die für 'kleine' Parameter s geeignet ist, berechnet:

∫0∞ e-s t J0(a [t2 +2tb + 1]½) dt =
es b ( cos([(s2+a2)(1-b2)]½) / [s2+a2]½ + (1-b2)½ ∫01 sin(s t(1-b2)½) J0(a [(1-b2)(1 - t2)]½) dt - e- s b b ∫>01 es b t J0(a [1+b2(t2-2t)]½) dt )


Numerische Berechnung von ∫N k∞ e-|z-z0|[x2-k2]½ J0(r x) x dx / [x2-k2]½


Laplace-Parameter |z-z0| =
Brechungsindex N =
Wellenzahl k =
Faktor-Parameter r =
Teilintervall-Anzahl n =

Integral:



Beschreibung:

Das untere Integral ist eine einfallende sphärische Welle. Der Wert ist gerade das Nk e-sb fache des oberen Integrals. Es stellt einen sogenannten inhomogenen Anteil dar (reelle Teile bei Integration von Nk bis ∞).
Umrechnungen: a=Nkr, s=Nk|z-z0|, b=(1-N-2)½.

Literatur
Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover (101972), Formel 25.4.20 auf Seite 887 (Integration), Gradshteyn I.S Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Series, and Products ACADEMIC PRESS,62000, Formel 8.411.4 auf Seite 902 (Jν).
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