Labyrinth

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Nichterreichen eines Zieles

N Mäuse werden durch ein Labyrinth in k Käfige geschickt. Für jeden Käfig sei die Auswahlwahrscheinlichkeit gleich, und zwar p=1/k. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Käfig leer bleibt.

Anzahl der Mäuse N:

Anzahl der Käfige k:

P(mindestens ein Käfig bleibt leer):
P in Prozent %:

Formeln: P=P(n,k)

P(n,k) = ∑_i=1^k (-1)^i-1 [ k über i] ((k-i)/k)ⁿ

Sei A_i das Ereignis: "Käfig i bleibt leer". Es ist z.B.: P(A_i) = ((k-1)/k), P(A_i∩A_j) = ((k-2)/k)² (Käfig i und j bleiben leer)

2 Käfige kann man auf [k über 2] Arten auswählen.

Es sei noch bemerkt, dass

P(A und B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A und B und C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C), usw.

Es ist etwa P(n,4) = (3ⁿ-3*2^n-1+1)/4^n-1