Kubische Gleichung

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 26 OKT 2007
x3 + x2 + x + = 0

   



Ausgabe

Veinfachung mit Substitution x = X - ergibt die Normalform
X3 + X + = 0
Eine reelle Lösung dieser Normalform lautet X0 =
Dabei gilt für die Diskriminante: q*q/4+p*p*p/27 =
Eine reelle Lösung der urspr. Gleichung ist x =
Polynomdivision der Normalform durch X - ergibt die quadratische Gleichung

X2 + X + = 0
Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung lauten:
X1 = + i
X2 = + i
Damit lauten die Lösungen der uspr. kubischen Gleichung
x0 =
x1 = + i
x2 = + i


Formeln:
Die kubische Gleichung hat die Form: A x3 + B x2 + C x + D = 0. Nach Divsion durch A folgt die Gleichung x3 + a x2 + b x + d = 0. Hierzu berechnet man die Vereinfachung auf die Normalform: X3 + p X + q = 0 mittels der Substitution x=X-a/3 und den neuen Koeffizienten p=b-a2/3 sowie q=c+2a3/27-ab/3. Danach berechnet man D=p3/27+q2/4 für die Diskriminante. Die Normalform besitzt in jedem Fall eine reelle Lösung. Für die Ermittlung sind zwei Fälle zu betrachten:
D<0: Setze cos(φ)=-q/(2*Wurzel(p3/27)). Dann ergibt sich die reelle Lösung X0=2*(|p|/3)1/2*cos(φ/3).
D≥0: Setze u3=-q/2+Wurzel(D), und v3=-q/2-Wurzel(D). Dann ergibt sich die reelle Lösung X0=u+v.
Die Polynomdivision durch (X-X0) macht aus der Normalformgleichung eine quadratische Gleichung: (X3+pX+q)/(X-X0) = X2+X0X+p+X02=0. Man beachte, dass sich der Rest (X03+pX0+q) zu Null ergibt, da X0 eine Nullstelle ist. Die quadratische Gleichung lässt sich nach Standard lösen.
Hosted by www.Geocities.ws

1