Kostenersparnis bei Gruppenprüfung

Kostenersparnis bei Gruppenprüfung

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Eine Anzahl von Personen soll auf eine Blutkrankheit geprüft werden. Es sei bekannt mit welcher Wahrscheinlichkeit p im Bevölkerungsschnitt eine Person gesund ist. Der Test kann verbilligt werden, indem man r Personen zu einer Gruppe zusammenfasst, also das Blut mischt und dann testet, anstatt alle einzeln. Ist ein Gruppentest positiv, müssen alle nochmal einzeln getestet werden. Frage ist, wie gross eine Gruppe von r Personen zu wählen ist, um eine optimale Kostenreduktion zu erhalten. Beispiel: Zu p=0.99 (=99%) ist r=11 und die Ersparnis pro Person ist 80%. Maximal kann 99.99999 eingegeben werden.

p(gesund)in %:

Personenzahl r:
Ersparnis E in %:

Formeln:

Einzelprüfung: Man braucht r Tests.
Gruppenprüfung: Das Blut von r Personen wird vermischt und untersucht.
Mit p^r sind alle gesund, mit 1-p^r ist mindestens einer krank. Alle r Personen müssen jetzt einzeln getestet werden. Man braucht also (r+1) Tests. Der Erwartungswert für die Anzahl von Tests ist 1*p^r + (r+1)(1-p^r) = r+1-rp^r. Man spart also rp^r-1 Analysen bei r Personen. Pro Person der Gruppe spart man damit p^r-1/r. In Prozent: 100*(p^r-1/r)%. Diese Funktion ist zu maximieren für das jeweilige p. Es kommen natürlich nur ganzzahlige positive Werte r in Frage. Bei p≤ 0.693 tritt keine Ersparnis ein:

Es muss p≥1/r^1/r gelten, damit eine Ersparnis überhaupt auftritt. Das Minimum der rechten Seite liegt gerade bei 0.693. Für 0.693≤p≤0.876 liegt die optimale Gruppengröße bei r=3 Personen.

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